Квадрат круга

Геометрическая задача

Возведение круга в квадрат: площади этого квадрата и этого круга равны π. В 1882 году было доказано, что эту фигуру нельзя построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки.. Некоторые очевидные частичные решения долгое время давали ложные надежды. На этом рисунке заштрихованная фигура - Луна Гиппократа. Его площадь равна площади треугольника ABC (найденного Гиппократом Хиосским ).

Возведение круга в квадрат - задача, предложенная древними геометрами. - это задача построения квадрата с той же площадью, что и данный круг, используя только конечное количество шагов с циркулем и линейкой. Сложность Проблема подняла вопрос о том, подразумевают ли указанные аксиомы евклидовой геометрии, касающиеся существования линий и окружностей, существование такого квадрата.

В 1882 г. задача заключалась в доказано, что это невозможно, как следствие теоремы Линдеманна – Вейерштрасса, которая доказывает, что pi (π) является трансцендентным, а не алгебраическим иррациональным числом; то есть, это не корень любого полинома с рациональными коэффициентами. На протяжении десятилетий было известно, что построение было бы невозможным, если бы π было трансцендентным, но π не было доказал свою трансцендентность до 1882 г. Приближенное возведение в квадрат с любой заданной несовершенной точностью, напротив, возможно за конечное число шагов, поскольку существуют рациональные числа, сколь угодно близкие к π.

Выражение «квадратура круга» иногда используется как метафора для попытки сделать невозможное.

Термин квадратура круга иногда используется для обозначения То же, что и возведение круга в квадрат, но это также может относиться к приближенным или численным методам определения площади круга.

• 1 История
• 2 Невозможность
• 3 Современные приближенные конструкции
  • 3.1 Строительство Кочански
  • 3.2 Строительство Якоба де Гелдера
  • 3.3 Строительство Хобсона
  • 3.4 Строительство Рамануджан
  • 3.5 Построение с использованием золотого сечения
• 4 Возведение в квадрат или квадратура как интегрирование
• 5 Утверждения о квадрате круга
  • 5.1 Связь с проблемой долготы
  • 5.2 Другие современные утверждения
• 6 В литературе
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Методы аппроксимации площади данного круга квадратом, что можно рассматривать как проблему, предшествующую возведению в квадрат. круг, были известны уже вавилонским математикам. В египетском папирусе Ринда 1800 г. до н.э. площадь круга указана как 64/81 d, где d - диаметр круга. Говоря современным языком, это эквивалентно приближению π как 256/81 (приблизительно 3,1605), числа, которое появляется в старом Московском математическом папирусе и используется для аппроксимации объема (например, hekat ). Индийские математики также нашли приблизительный метод, хотя и менее точный, задокументированный в Сутрах Шульбы. Архимед доказал формулу для площади круга (A = πr, где r - радиус окружности) и показал, что значение π находится между 3 + 1/7 (приблизительно 3,1429) и 3 + 10/71 (приблизительно 3,1408). См. Численное приближение π для получения дополнительной информации об истории.

Первым известным греком, который связался с этой проблемой, был Анаксагор, который работал над этим в тюрьме. Гиппократ Хиосский возводил в квадрат определенные луны в надежде, что это приведет к решению - см. Луна Гиппократа. Антифон Софист считал, что вписывание правильных многоугольников в круг и удвоение количества сторон в конечном итоге заполнит площадь круга, а поскольку многоугольник можно возводить в квадрат, это означает, что круг можно возводить в квадрат. Даже тогда были скептики - Евдем утверждал, что величины не могут быть разделены без ограничений, поэтому площадь круга никогда не будет использована. Проблема была даже упомянута в пьесе Аристофана Птицы.

Считается, что Энопид был первым греком, которому потребовалось плоское решение (то есть использование только компас и линейка). Джеймс Грегори попытался доказать его невозможность в работе Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинное квадратирование круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой пытались решить проблема использования алгебраических свойств π. Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал его невозможность.

Частичный рассказ Флориана Каджори о попытках решения проблемы.

Математик, логик и писатель Викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл, также выразил заинтересованность в развенчании нелогичных теорий возведения круга в квадрат. В одной из своих дневниковых записей за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, в том числе одну под названием «Простые факты для квадроциклов». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре квадратов, заявив:

Первый из этих двух заблудших провидцев наполнил меня огромным стремлением совершить подвиг. Я никогда не слышал о том, что совершил человек, а именно о том, чтобы убедить квадратного круга в его ошибке! Мой друг выбрал для Пи значение 3,2: огромная ошибка соблазнила меня мыслью, что она может быть легко продемонстрирована как БЫТЬ ошибкой. Обменялось более десятка писем, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет шансов.

Высмеивание квадрата круга появляется в статье Августа де Моргана Бюджет парадоксов, посмертно опубликованной его вдовой в 1872 году. Первоначально работа была опубликована в виде серии статей. в Афинэуме он редактировал его для публикации во время своей смерти. Квадрат круга был очень популярен в девятнадцатом веке, но сегодня вряд ли кто-то увлекается им, и считается, что работы де Моргана помогли добиться этого.

Две другие классические проблемы древности, прославившиеся своей невозможностью, были удвоение куба и деление угла пополам. Как и возведение круга в квадрат, их нельзя решить методами циркуля и линейки. Однако, в отличие от квадрата круга, они могут быть решены немного более мощным методом построения оригами, как описано в математике складывания бумаги.

Решение задача возведения круга в квадрат циркулем и линейкой требует построения числа √π. Если √π конструктивно, из стандартных конструкций следует, что π также будет конструктивным. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что длины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями некоторых полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Таким образом, конструктивные длины должны быть алгебраическими числами. Если бы проблему квадратуры круга можно было решить, используя только циркуль и линейку, то π должно было бы быть алгебраическим числом. Иоганн Генрих Ламберт предположил, что π не было алгебраическим, то есть трансцендентным числом, в 1761 году. Он сделал это в той же статье, в которой доказал его иррациональность даже до того, как было доказано общее существование трансцендентных чисел. Лишь в 1882 г. Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность π и тем самым показал невозможность этой конструкции.

Превосходство π подразумевает невозможность точного «обвода» квадрата, а также квадрат круга.

Можно построить квадрат с площадью, произвольно близкой к площади данного круга. Если рациональное число используется в качестве приближения к π, то возведение круга в квадрат становится возможным в зависимости от выбранных значений. Однако это только приближение и не соответствует ограничениям древних правил решения проблемы. Несколько математиков продемонстрировали работоспособные процедуры, основанные на различных приближениях.

Изменение правил путем введения дополнительного инструмента, позволяющего бесконечное количество операций циркуля и линейки или выполнения операций в определенных неевклидовых геометриях, также позволяет возводить окружность в квадрат в какой-то смысл. Например, квадрат Гиппия предоставляет средства для квадрата круга, а также для разрезания произвольного угла, как и архимедова спираль. Хотя круг не может быть возведен в квадрат в евклидовом пространстве, иногда он может быть в гиперболической геометрии при подходящей интерпретации терминов. Поскольку в гиперболической плоскости нет квадратов, их роль должны выполнять правильные четырехугольники, то есть четырехугольники, у которых все стороны совпадают, а все углы совпадают (но эти углы строго меньше прямых). В гиперболической плоскости существует (счетно) бесконечно много пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников одинаковой площади, которые, однако, строятся одновременно. Не существует метода, чтобы начать с правильного четырехугольника и построить круг равной площади, и нет метода, чтобы начать с круга и построить правильный четырехугольник одинаковой площади (даже если круг имеет достаточно малый радиус, такой, что правильный четырехугольник равной площади).

Хотя возведение круга в квадрат с идеальной точностью является невозможной задачей с использованием только циркуля и линейки, приближения к квадрату круга можно получить, построив длины, близкие к π. Требуется лишь минимальное знание элементарной геометрии, чтобы преобразовать любое данное рациональное приближение π в соответствующую конструкцию из циркуля и линейки, но конструкции, сделанные таким образом, имеют тенденцию быть очень длинными по сравнению с точностью они достигают. После того, как точная проблема оказалась неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность, чтобы найти изящные аппроксимации квадрата круга, которые грубо и неформально определены как конструкции, которые особенно просты среди других мыслимых конструкций, дающих подобную точность.

Конструкция Кочанского

Одно из ранних исторических приближений - это приближение Кочанского, которое отличается от π только в пятом десятичном разряде. Он был очень точным на время своего открытия (1685 г.).

Примерное сооружение Кочанского Строительство по Кочанскому с продолжением

На левой диаграмме

$|\; P\; 3\; P\; 9\; |\; =\; |\; P\; 1\; P\; 2\; |\; 40\; 3\; -\; 2\; 3\; \approx \; 3,141\; 5\; 33\; 338\; \cdot \; |\; P\; 1\; P\; 2\; |\; \approx \; \pi \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; P\_\; \{3\}\; P\_\; \{9\}\; |\; =\; |\; P\_\; \{1\}\; P\_\; \{2\}\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{40\}\; \{3\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 3,141\; \backslash ,\; 5\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; 33\; \backslash ,\; 338\}\; \backslash \; cdot\; |\; P\_\; \{1\}\; P\_\; \{2\}\; |\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; pi\; r.\}$

Конструкция Якоба де Гелдера

Конструкция Якоба де Гелдера с продолжением

В 1849 г. элегантная и простая конструкция Якоба де Гельдера (1765-1848) была опубликована в Архиве Грюнерта. Это было на 64 года раньше, чем аналогичное строительство Рамануджаном. Он основан на приближении

$\pi \; \approx \; 355\; 113\; =\; 3,141\; 592\; 920\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{355\}\; \{113\}\}\; =\; 3,141\; \backslash ;\; 592\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; \backslash ;\; 920\; \backslash \; ;\; \backslash \; ldots\}\}$

Это значение имеет точность до шести десятичных знаков и известно в Китае с 5 века как дробь Цзу Чунчжи, а в Европе - с 17 века.

Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти следующее значение

$AH\; ¯\; =\; 4\; 2\; 7\; 2\; +\; 8\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{AH\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; ^\; \{2\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\; +\; 8\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

На иллюстрации напротив - описанной ниже - показана конструкция Якоба де Гелдера с продолжением.

Нарисуйте две взаимно перпендикулярные центральные линии окружности с радиусом CD = 1 и определите точки пересечения A и B. Проведите отрезок CE = $7\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{7\}\; \{\; 8\}\}\}$фиксируем и соединяем E с A. Определите на AE и от A отрезок линии AF = $1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$. Проведите FG параллельно CD и соедините E с G. Нарисуйте FH параллельно EG, тогда AH = $4\; 2\; 7\; 2\; +\; 8\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{4\; ^\; \{2\}\}\; \{7\; ^\; \{2\}\; +\; 8\; ^\; \{2\}\}\}.\}$Определите BJ = CB, а затем JK = AH. Разделите AK пополам и используйте теорему Фалеса вокруг L из A, в результате получится точка пересечения M. Отрезок BM является квадратным корнем из AK и, следовательно, длиной стороны $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$искомого квадрата с почти такой же площадью.

Примеры для иллюстрации ошибок:

• В круге радиусом r = 100 км ошибка длины стороны a ≈ 7,5 мм
• В случае круга с радиусом r = 1 м, погрешность площади A ≈ 0,3 мм

Конструкция Хобсона

Среди современных приблизительных построек была одна конструкция E. У. Хобсон в 1913 году. Это было довольно точное построение, основанное на построении приблизительного значения 3,14164079..., которое с точностью до трех десятичных знаков (то есть отличается от π примерно на 4,8 × 10).

Конструкция Хобсона с продолжением

"Мы находим, что GH = r . 177246..., а поскольку $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\; \}\}\}$= 177245 мы видим, что GH больше, чем сторона квадрата, площадь которого равна площади круга менее чем на двести тысячных радиуса. "

Хобсон не упоминает формулу приближения π в своей конструкции. На приведенном выше рисунке показана конструкция Хобсона с продолжением.

Построения Рамануджана

Индийский математик Шриниваса Рамануджан в 1913 году, Карл Олдс в 1963 году, Мартин Гарднер в 1966 году и Бенджамин В 1982 г. жирным шрифтом были выделены геометрические конструкции для

$355\; 113\; =\; 3,141\; 592\; 920\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{355\}\; \{113\}\}\; =\; 3,141\; \backslash ;\; 592\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; \backslash ;\; 920\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\}\; \}$

с точностью до шести десятичных знаков числа π.

Примерное построение Рамануджана с использованием подхода 355/113. DR - сторона квадрата Эскиз «Рукописная книга 1 Шриниваса Рамануджана» стр. 54

В 1914 году Рамануджан дал конструкцию линейки и компаса, которая была эквивалентна принятию приблизительного значения π равным

$(9\; 2\; +\; 19\; 2\; 22)\; 1\; 4\; =\; 2143\; 22\; 4\; =\; 3,141\; 592\; 65\; 2\; 582\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (9\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{19\; ^\; \{2\}\}\; \{22\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}\; ]\; \{\backslash \; frac\; \{2143\}\; \{22\}\}\}\; =\; 3.141\; \backslash ;\; 592\; \backslash ;\; 65\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; 2\; \backslash ;\; 582\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\}\}$

, что дает восемь десятичных знаков числа π. Он описывает свою конструкцию до отрезка OS следующим образом.

«Пусть AB (рис.2) будет диаметром окружности с центром в O. Разделите дугу ACB пополам в точке C и разделите AO пополам в точке T. Соедините BC и отсеките. от него CM и MN равны AT. Присоединяйтесь к AM и AN и отсекайте от последнего AP, равное AM. Через P проведите PQ, параллельный MN, и встретите AM в Q. Присоединитесь к OQ и через T проведите TR, параллельно OQ и встретившись AQ в R. Нарисуйте AS перпендикулярно AO и равное AR, и присоедините OS. Тогда среднее значение, пропорциональное между OS и OB, будет почти равным шестой части окружности, а ошибка будет меньше двенадцатой дюйма, когда диаметр составляет 8000 миль ".

В этой квадратуре Рамануджан не построил длину стороны квадрата, ему было достаточно показать отрезок OS линии. В следующем продолжении построения линейный сегмент OS используется вместе с линейным сегментом OB для представления средних пропорциональных величин (красный линейный сегмент OE).

Возведение круга в квадрат, приблизительное построение согласно Рамануджану 1914 г., с продолжением построения (пунктирные линии, средняя пропорциональная красная линия), см. анимацию.

Продолжение построения до желаемой длины стороны a квадрат:

Продлить AB за пределы A и обогнуть дугу окружности b 1 вокруг O с радиусом OS, в результате получится S '. Разделите пополам отрезок BS 'в D и проведите полукруг b 2 над D. Проведите прямую линию от O через C до полукруга b 2, она разрезает b 2 в E. Отрезок OE является средним, пропорциональным между OS 'и OB, также называемым средним геометрическим. Вытяните линейный сегмент EO за пределы O и перенесите EO еще дважды, в результате получится F и A 1, и, таким образом, длина линейного сегмента EA1 с описанным выше значением аппроксимации π, половиной окружности круга. Разделите пополам отрезок EA 1 в G и проведите полукруг b 3 над G. Перенесите расстояние OB от A 1 на отрезок EA 1, получается H. Создайте вертикаль от H до полукруга b 3 на EA 1, получится B 1. Соедините A 1 с B 1, таким образом будет построена искомая сторона a квадрата A 1B1C1D1, площадь которой почти такая же, как у данного круга.

Примеры для иллюстрации ошибок:

• В круге радиусом r = 10 000 км ошибка длины стороны a ≈ -2,8 мм
• В случае круга с радиусом r = 10 м погрешность площади A ≈ −0,1 мм

Построение с использованием золотого сечения

• В 1991 г. Роберт Диксон дал конструкцию для

$6\; 5\; \cdot \; (1\; +\; \phi )\; =\; 3,141\; 640\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right)\; =\; 3,141\; \backslash ;\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; 640\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\},\}$

где $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$- это золотое сечение. Три десятичных разряда равны таковым в π.

• Если радиус $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$и сторона квадрата

$a\; =\; 6\; 5\; \cdot \; (\; 1\; +\; \phi )\; знак\; равно\; \phi \; +\; 1\; +\; 1\; 5\; \cdot \; (1\; +\; \phi )\; =\; 1,772\; 4\; 67\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varphi\; +1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; varphi\; \backslash \; right)\}\}\; =\; 1.772\; \backslash ;\; 4\; \{\backslash \; color\; \{красный\}\; 67\; \backslash ;\; \backslash \; ldots\}\}$

затем развернутая вторая формула показывает последовательность шагов для альтернативного построения (см. Следующую иллюстрацию). Четыре десятичных знака равны таковым в √π.

Построение приближения с использованием золотого сечения. $AE\; ¯\; +\; 1\; +\; 1\; 5\; \cdot \; (1\; +\; AE\; ¯)\; =\; AG\; =\; a\; \approx \; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; overline\; \{AE\}\}\; +\; 1\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; (1\; +\; \{\backslash \; overline\; \{AE\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{AG\}\}\; =\; a\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$.

Нахождение площади под кривой, известное как интегрирование в исчислении, или квадратура в численном анализе была известна как квадратура до изобретения математического анализа. Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат следует производить с помощью геометрических построений, то есть с помощью циркуля и линейки. Например, Ньютон писал Ольденбургу в 1676 году: «Я считаю, что М. Лейбниц не будет недолюбливать теорему в начале моего письма стр. 4 для возведения в квадрат кривых линий Геометрически »(выделено автором). После того, как Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление, они все еще называли эту проблему интегрирования квадратом кривой.

Связь с проблемой долготы

Математическое доказательство того, что квадратура круга невозможна с использованием только циркуля и линейки. не оказалось помехой для многих людей, которые в любом случае потратили годы на решение этой проблемы. Возведение круга в квадрат - это известное утверждение чудака. (См. Также псевдоматематика.) В преклонном возрасте английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось возвести круг в квадрат. Утверждение, которое было опровергнуто Джоном Уоллисом как часть спора Гоббса и Уоллиса.

В течение 18 и 19 веков представление о том, что проблема квадрата круга каким-то образом связана с проблемой долготы, похоже, стало распространены среди потенциальных квадрантов. Используя «циклометр» вместо квадрата круга, Август де Морган писал в 1872 году:

Монтукла говорит, говоря о Франции, что он находит три основных понятия среди циклометров: 1. Что существует за успех предлагается большая награда; 2. Что проблема долготы зависит от этого успеха; 3. Решение - это великая цель и объект геометрии. Те же три понятия одинаково распространены среди одного и того же класса в Англии. Правительство обеих стран никогда не предлагало никакой награды.

Хотя с 1714 по 1828 год британское правительство действительно спонсировало приз в 20 000 фунтов стерлингов за решение проблемы долготы, именно поэтому была установлена ​​связь с квадратом круга. непонятно; тем более, что к концу 1760-х годов были обнаружены два негеометрических метода (астрономический метод определения расстояний до Луны и механический хронометр ). Де Морган продолжает, что «проблема долготы никоим образом не зависит от идеального решения; существующих приближений достаточно с точностью, намного превосходящей то, что можно было бы ожидать». В своей книге де Морган также упоминает о получении множества писем с угрозами от потенциальных квадратов, обвиняющих его в попытке «обмануть их и лишить их приза».

Другие современные утверждения

Даже после того, как это было доказано, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин утверждал, что он разработал метод возведения круга в квадрат. Техника, которую он разработал, не позволяла точно квадрировать круг и обеспечивать неправильную площадь круга, которая по существу переопределяла число Пи как равное 3,2. Затем Гудвин предложил закон о Индиане Пи в законодательный орган штата Индиана, позволяющий штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект прошел без возражений в государственной палате, но он был внесен на рассмотрение и никогда не голосовал в Сенате на фоне растущих насмешек со стороны прессы.

Математический чудак Карл Теодор Хейзель также утверждал, что возведет круг в квадрат в своей книге «Смотри!: большая проблема больше не остается нерешенной: круг возведен в квадрат без опровержения». Пол Халмос назвал книгу «классической книгой о чудаках».

В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу «Квадратура круга», в которой утверждал, что построил круг в квадрате. Его метод фактически произвел приближение числа π с точностью до шести цифр.

Оронс Фине, Quadratura circi, 1544 , Диссертация, открытая, и др. Демонстрации квадратурной математической теории., 1747

Проблема квадрата круга упоминалась такими поэтами, как Данте и Александр Поуп, с различными метафорическими значениями. Его литературное использование восходит к 414 году до нашей эры, когда впервые была поставлена ​​пьеса Птицы Аристофана. В ней персонаж Метон Афинский упоминает квадрат круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу его утопического города.

Райская песнь Данте XXXIII строки 133–135 содержат стихи:

Как геометр, его разум применяет. К квадрату круга, ни при всем своем уме. находит правильную формулу, как бы он ни пытался

Для Данте возведение круга в квадрат представляет собой задачу, недоступную человеческому пониманию. он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай.

К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своей Дунсиады, попытки возведения в квадрат кругов достигли цели. быть замеченным как «дикий и бесплодный»:

Безумный Матезис не был ограничен,. Слишком безумен, чтобы связывать его материальными цепями,. Теперь в чистое пространство поднимает ее экстатический взгляд,. Теперь, бегая вокруг круг, находит квадрат.

Точно так же в комической опере Гилберт и Салливан Принцесса Ида есть песня, в которой сатирически перечисляются невыполнимые цели женского университета, которым руководит главный герой, например, найти вечный двигатель. Одна из этих целей - «И круг - они возведут его в квадрат / В один прекрасный день».

sestina, поэтическая форма, впервые использованная в XII веке Арнаутом Даниэлем., как было сказано, возводит в квадрат круг, используя квадратное количество строк (шесть строф по шесть строк в каждой) с круговой схемой из шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма вызывает символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат обозначает землю. Похожая метафора использовалась в рассказе О.К. в квадрате круга »1908 года. Генри, о давней семейной вражде. В названии этой истории круг представляет собой мир природы, а квадрат представляет город, мир людей.

В более поздних работах квадратные круги, такие как Леопольд Блум в Джеймс Джойс <150 Роман>Улисс и юрист Паравант в Томас Манн Волшебная гора рассматриваются как грустно заблуждающиеся или потусторонние мечтатели, не осознающие своей математической невозможности и строить грандиозные планы для достижения результата, которого они никогда не достигнут.

• Для более современной связанной проблемы см. задачу возведения в квадрат круга Тарского.
• squircle - это математическая форма со свойствами квадрата и круга.

Викиисточник содержит исходный текст, относящийся к этой статье: Квадрат круга

• Квадрат круга в Архив истории математики MacTutor
• Квадрат круга в разрезать узел
• Квадрат круга в MathWorld, включает информ Использование процедур, основанных на различных аппроксимациях числа пи
• "в квадрате круга "в" сходимости "
• Квадратура круга и лунок Гиппократа в сходимости
• Как Раскрутите круг Пи с точностью до восьми знаков после запятой, используя линейку и циркуль.
• Квадрат круга и другие невозможности, лекция Робина Уилсона в Gresham College, 16 января 2008 г. (доступно для скачивания в виде текстового, аудио- или видеофайла)
• Грайм, Джеймс. «В квадрате круга». Numberphile. Брэди Харан.
• «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов кругов?» от Burkard Polster