Войти
Модельный круг Гудвина, как описано в разделе 2 законопроекта. Он имеет диаметр 10 и заявленную окружность «32» (не 31,4159 ~); хорда 90 ° имеет длину, указанную как "7" (не 7,0710 ~). Билл Индианы Пи - популярное название законопроекта № 246 о заседании генерала Индианы от 1897 года. Ассамблея, одна из самых печально известных попыток установить математическую истину посредством законодательного указа. Несмотря на свое название, основным результатом, заявленным в законопроекте, является метод возведения круга в квадрат, а не определение определенного значения математической константы π, отношения окружности круга до его диаметра. Счет, написанный чудаком Эдвардом Дж. Гудвином, действительно подразумевает различные неправильные значения π, например 3,2. Законопроект так и не стал законом из-за вмешательства профессора К. А. Уолдо из Университета Пердью, который, как оказалось, присутствовал в законодательном собрании в день, когда оно было выставлено на голосование.
Невозможность возвести круг в квадрат с использованием только конструкций циркуля и линейки, подозреваемых с древних времен, была строго доказана в 1882 году Фердинандом фон Линдеманном. Лучшее приближение π, чем подразумевается в законопроекте, было известно с древних времен.
Политическая карикатура 1897 года, высмеивающая Билль Индианы Пи В 1894 году Индиана врач и математик-любитель Эдвард Дж. Гудвин (ок. 1825–1902) считал, что открыл правильный способ возведения круга в квадрат. Он предложил представителю штата Тейлору И. Рекорд законопроект, который Рекорд представил в Палате представителей под длинным названием «Законопроект за акт, вводящий новую математическую истину и предложенный в качестве вклада в образование, который будет использоваться только штатом Индиана. стоимости путем выплаты любых лицензионных отчислений с того же самого, при условии, что это принято и утверждено официальным актом Законодательного собрания 1897 года ".
Текст законопроекта состоит из серии математических утверждений (подробно изложенных ниже), за которыми следует перечисление предыдущих достижений Гудвина:
... его решения трисекции угла, удвоение куба и квадратура круга, которые уже были приняты как вклад в науку American Mathematical Monthly... И следует помнить, что эти отмеченные проблемы были давно признаны научными организациями как неразрешимые загадки и превышающие способность человека постигать.
«Решения» Гудвина действительно были опубликованы в American Mathematical Monthly, хотя с оговоркой «опубликовано по просьбе автора.
После внесения в Палату представителей штата Индиана язык и тема законопроекта вызвали замешательство среди членов; член Блумингтона предложил передать его в Финансовый комитет, но спикер принял рекомендацию другого члена передать законопроект в Комитет по болотам, где законопроект может «найти заслуженную могилу». Он был передан в Комитет по образованию, который дал положительный отзыв; после предложения приостановить действие правил законопроект был принят 6 февраля 1897 г. без голосования против. Известие о законопроекте вызвало встревоженный отклик со стороны Der Tägliche Telegraph, немецкоязычной газеты в Индианаполисе, которая отнеслась к мероприятию менее благосклонно, чем его англоязычные конкуренты. По окончании дискуссии Университет Пердью Профессор К. А. Уолдо прибыл в Индианаполис, чтобы обеспечить ежегодные ассигнования для Академии наук Индианы. Член законодательного собрания вручил ему счет, предлагая познакомить его с гением, написавшим его. Он отказался, сказав, что уже встретил столько сумасшедших, сколько хотел.
Когда он дошел до Сената Индианы, к законопроекту не отнеслись так хорошо, поскольку Уолдо тренировал сенаторов. ранее. Комитет, которому он был назначен, отрицательно отозвался об этом, и Сенат представил его 12 февраля 1897 г.; его почти приняли, но мнение изменилось, когда один сенатор заметил, что Генеральная Ассамблея не имеет полномочий определять математическую истину. На некоторых сенаторов повлияло сообщение о том, что основные газеты, такие как Chicago Tribune, начали высмеивать ситуацию
Согласно статье Indianapolis News от 13 февраля 1897 г., стр. 11, столбец 3:
... законопроект был внесен и высмеян. Сенаторы ругали его, высмеивали и смеялись над этим. Веселье длилось полчаса. Сенатор Хаббелл сказал, что Сенату, который обходится штату в 250 долларов в день, неуместно тратить свое время на такую легкомыслие. Он сказал, что, читая ведущие газеты Чикаго и Востока, он обнаружил, что законодательный орган штата Индиана подвергся насмешкам из-за действий, уже принятых по законопроекту. Он считал, что рассмотрение такого предложения недостойно и недостойно Сената. Он предложил отложить внесение счета на неопределенный срок, и это предложение было принято.
Хотя законопроект стал известен как «Пи Билл», его текст не соответствует упомянуть имя «пи» вообще, и Гудвин, похоже, считал соотношение между длиной окружности и диаметром круга явно второстепенным по отношению к своей основной цели - квадрату круга. Ближе к концу Раздела 2 появляется следующий отрывок:
Кроме того, он показывает соотношение хорды и дуги в девяносто градусов, что равно семи к восьми, а также соотношение диагонали и одной стороны квадрата. что равно десяти к семи, раскрывая четвертый важный факт, что отношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем [.]
Это близко к явному утверждению, что π = 4 / 1,25 = 3,2, и что √2 = 10/7 ≈ 1.429.
Эту цитату часто читают как три взаимно несовместимых утверждения, но они хорошо сочетаются друг с другом, если принять утверждение о √2 о вписанном квадрате (с диаметром круга как диагонали), а не о квадрате на радиус (с хордой 90 ° по диагонали). Вместе они описывают показанный на рисунке круг, диаметр которого равен 10, а окружность - 32; хорда 90 ° принимается равной 7. Оба значения 7 и 32 находятся в пределах нескольких процентов от истинных длин для круга диаметром 10 (что не оправдывает представления Гудвином их как точных). Окружность должна быть ближе к 31,4159, а диагональ «7» должна быть квадратным корнем из 50 (= 25 + 25) или ближе к 7,071.
Главной целью Гудвина было не измерить длину круга, а возвести его в квадрат, что он интерпретировал буквально как нахождение квадрата с такой же площадью, что и круг. Он знал, что формула Архимеда для площади круга, которая требует умножения диаметра на одну четверть длины окружности, не считается решением древней проблемы квадрата круга. Это связано с тем, что проблема состоит в том, чтобы построить область, используя только циркуль и линейку, а Архимед не дал метода построения прямой линии той же длины, что и окружность. Очевидно, Гудвин не знал об этом главном требовании; он считал, что проблема формулы Архимеда состоит в том, что она дает неправильные числовые результаты и что решение древней проблемы должно состоять в замене ее «правильной» формулой. В законопроекте он без аргументов предложил свой собственный метод:
Было обнаружено, что площадь круга равна квадрату на прямой, равной квадранту окружности, как площадь равностороннего прямоугольника равна квадрату. с одной стороны.
Это выглядит излишне запутанным, поскольку «равносторонний прямоугольник» по определению является квадратом. Проще говоря, утверждение состоит в том, что площадь круга такая же, как у квадрата с таким же периметром. Это утверждение приводит к другим математическим противоречиям, на которые Гудвин пытается ответить. Например, сразу после вышеприведенной цитаты в банкноте говорится:
Диаметр, используемый в качестве линейной единицы в соответствии с настоящим правилом при вычислении площади круга, совершенно неверен, так как он представляет площадь круга один и один. в пять раз больше площади квадрата, периметр которого равен окружности круга.
В приведенном выше модельном круге площадь Архимеда (принимая значения Гудвина для окружности и диаметра) будет равна 80, тогда как предлагаемое правило Гудвина приводит к площадь 64. Теперь 80 превышает 64 на одну пятую от 80, и Гудвин, похоже, путает 64 = 80 × (1 - 1/5) с 80 = 64 × (1 + 1/5), приближение, которое работает только для фракций намного меньше 1/5.
Площадь, найденная по правилу Гудвина, в π / 4 раз больше истинной площади круга, что во многих отчетах о Пи Билле интерпретируется как утверждение, что π = 4. Однако в законопроект, которым Гудвин намеревался предъявить такое требование; напротив, он постоянно отрицает, что площадь круга имеет какое-либо отношение к его диаметру.
Относительная погрешность площади 1 - π / 4 составляет около 21 процента, что намного серьезнее, чем приближения длин в модельном круге в предыдущем разделе. Неизвестно, что заставило Гудвина поверить в то, что его правило могло быть правильным. Как правило, фигуры с одинаковыми периметрами не имеют одинаковой площади (см. изопериметрия ); типичной демонстрацией этого факта является сравнение длинной тонкой формы с небольшой замкнутой областью (площадь, приближающаяся к нулю при уменьшении ширины) с одной из тех же периметров, высота которой примерно равна ширине (площадь, приближающаяся к квадрату ширины). ширину), очевидно, гораздо большей площади.
