Московский математический папирус

редактировать

Московский математический папирус
Государственный музей изобразительных искусств имени А.С. Пушкина в Москве
14-я проблема Московского математического папируса (В. Струве, 1930)
Дата	13-я династия, второй промежуточный период Египта
Место происхождения	Фивы
Язык (и)	Иератический
Размер	Длина: 5,5 м (18 футов) Ширина: от 3,8 до 7,6 см (от 1,5 до 3 дюймов)

Московского математического папируса, также названный Голенищев Математический папирус после его первого неегипетскими владельца, египтолога Владимира Голенищева, это древний египетский математический папирус, содержащий несколько проблем в арифметике, геометрии и алгебры. Голенищев купил папирус в 1892 или 1893 году в Фивах. Позже он вошел в коллекцию ГМИИ им. А.С. Пушкина в Москве, где находится и по сей день.

Основываясь на палеографии и орфографии иератического текста, текст, скорее всего, был записан во времена 13-й династии и основан на более старых материалах, вероятно, относящихся к 12-й династии Египта, примерно 1850 г. до н.э. Примерно 5½ м (18 футов) в длину и от 3,8 до 7,6 см (1,5 и 3 дюйма) в ширину, его формат был разделен советским востоковедом Василием Васильевичем Струве в 1930 году на 25 задач с решениями.

Это хорошо известный математический папирус, на который обычно ссылаются вместе с Математическим папирусом Райнда. Московский математический папирус старше Математического папируса Райнда, в то время как последний является более крупным из двух.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Упражнения из Московского папируса
- 1.1 Проблемы с судовыми деталями
- 1.2 Ага проблемы
- 1.3 Проблемы Pefsu
- 1.4 Бакинские проблемы
- 1.5 Проблемы с геометрией
2 Две геометрические задачи
- 2.1 Проблема 10
- 2.2 Задача 14: Объем усеченной пирамиды квадратной пирамиды
3 Резюме
4 Другие папирусы
5 См. Также
6 Примечания
7 ссылки
- 7.1 Полный текст Московского математического папируса.
- 7.2 Другие ссылки

Упражнения, содержащиеся в Московском папирусе

Задачи в Московском папирусе не следуют определенному порядку, и их решения содержат гораздо меньше деталей, чем в Математическом папирусе Райнда. Папирус хорошо известен своими геометрическими проблемами. В задачах 10 и 14 вычисляются площадь поверхности и объем усеченного конуса соответственно. Остальные проблемы имеют более общий характер.

Проблемы с судовой частью

Проблемы 2 и 3 относятся к частям корабля. Одна из задач вычисляет длину судового руля, а другая вычисляет длину судовой мачты, учитывая, что она составляет 1/3 + 1/5 длины кедрового бревна, первоначально длиной 30 локтей.

Ага проблемы

Ага

Эра : Новое царство (1550–1069 до н.э.)

Египетские иероглифы

Проблемы Aha включают поиск неизвестных величин (называемых Aha), если дана сумма количества и части (ей). Папирус Ахмес также содержит четыре из этих типов проблем. Проблемы 1, 19 и 25 Московского папируса - это проблемы Ага. Например, в задаче 19 требуется вычислить количество, взятое 1 и ½ раза и прибавленное к 4, чтобы получить 10. Другими словами, в современной математической нотации человека просят решить. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} x + 4 = 10}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} x + 4 = 10}$

Проблемы Pefsu

Большинство задач являются проблемами pefsu (см.: Египетская алгебра ): 10 из 25 задач. Pefsu измеряет крепость пива, приготовленного из геката зерна.

{\ displaystyle {\ t_dv {pefsu}} = {\ frac {\ t_dv {количество буханок хлеба (или кувшинов пива)}} {\ t_dv {количество гектаров зерна}}}}

{\ t_dv {pefsu}} = {\ frac {{\ t_dv {количество буханок хлеба (или кувшинов с пивом)}}} {{\ t_dv {количество гек зерна}}}}

Более высокое число пефсу означает более слабый хлеб или пиво. Номер pefsu упоминается во многих списках предложений. Например, проблема 8 переводится как:

(1) Пример расчета 100 буханок хлеба пефсу 20

(2) Если кто-то говорит вам: «У вас есть 100 хлебов пефсу 20.

(3) обменять на пиво пефсу 4

(4) как 1/2 1/4 солодового финикового пива "

(5) Сначала подсчитайте количество зерна, необходимое для 100 буханок хлеба пефсу 20.

(6) Результат 5 хекат. Затем посчитайте, что вам нужно для дес-кувшина пива, например, пива под названием 1/2 1/4 солодового финикового пива.

(7) В результате получается 1/2 доли heqat, необходимой для удаления кувшина пива из верхнеегипетского зерна.

(8) Вычислите 1/2 от 5 гекатов, результат будет 2 1/2.

(9) Возьмите это 2 1/2 четыре раза

(10) Результат - 10. Затем вы говорите ему:

(11) «Вот! Количество пива определено правильно».

Бакинские проблемы

Проблемы 11 и 23 - это проблемы Баку. Они рассчитывают выпуск рабочих. Задача 11 спрашивает, если кто-то принесет 100 бревен размером 5 на 5, то сколько бревен размером 4 на 4 это соответствует? Задача 23 связана с производительностью сапожника, учитывая, что он должен вырезать и украсить сандалии.

Проблемы геометрии

Семь из двадцати пяти проблем, проблемы геометрии и варьируются от вычисления площади треугольников, чтобы найти площадь поверхности полусферы (проблема 10) и найти объем усеченного (а усеченной пирамиды).

Две проблемы геометрии

Проблема 10

Десятая задача Московского математического папируса требует вычисления площади поверхности полушария (Струве, Жиллингс) или, возможно, площади полуцилиндра (Пит). Ниже мы предполагаем, что проблема относится к области полушария.

Текст задачи 10 звучит так: «Пример расчета корзины. Вам дана корзина с отверстием 4 1/2. Какова ее поверхность? Возьмите 1/9 из 9 (поскольку) корзина - это половина яйца. -shell. Вы получаете 1. Вычислите остаток, который равен 8. Вычислите 1/9 от 8. Вы получите 2/3 + 1/6 + 1/18. Найдите остаток от этой 8 после вычитания 2/3 + 1/6 + 1/18. Вы получите 7 + 1/9. Умножьте 7 + 1/9 на 4 + 1/2. Вы получите 32. Вот это его область. Вы нашли его правильно ».

Решение сводится к вычислению площади как

{\ displaystyle {\ text {Area}} = \ left ({\ frac {2 \ times 8} {9}} \ right) ^ {2} \ times ({\ text {Diameter}}) ^ {2} = {\ frac {256} {81}} ({\ text {диаметр}}) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ text {Area}} = \ left ({\ frac {2 \ times 8} {9}} \ right) ^ {2} \ times ({\ text {Diameter}}) ^ {2} = {\ frac {256} {81}} ({\ text {диаметр}}) ^ {2}}

Это означает, что писец Московского папируса использовался для аппроксимации числа π. ${\ displaystyle {\ frac {256} {81}} \ приблизительно 3,16049}$ ${\ frac {256} {81}} \ приблизительно 3,16049$

Задача 14: Объем усеченной пирамиды квадратной пирамиды

Четырнадцатая задача Московского математического общества вычисляет объем пирамиды.

Задача 14 утверждает, что пирамида была усечена таким образом, что верхняя область представляет собой квадрат длиной 2 единицы, нижняя часть - квадрат длиной 4 единицы и высотой 6 единиц, как показано. Объем составляет 56 кубических единиц, что правильно.

Текст этого примера звучит так: «Если вам скажут: усеченная пирамида из 6 для вертикальной высоты, 4 на основании и 2 на вершине: вы должны возвести 4 в квадрат; результат 16. Вы должны удвоить 4. ; результат 8. Вы должны возвести в квадрат эти 2, результат 4. Вам нужно сложить 16, 8 и 4. результат 28. Вы должны взять 1/3 из 6. Результат 2. Вы должны взять 28 дважды; результат 56. Видите, это 56. Вы найдете [это] правильным "

Решение проблемы показывает, что египтяне знали правильную формулу для получения объема в виде усеченной пирамиды :

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}

где a и b - длина основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h - высота. Исследователи предположили, как египтяне могли прийти к формуле для объема усеченного конуса, но вывод этой формулы не приводится в папирусе.

Резюме

Ричард Дж. Гиллингс кратко изложил содержание Папируса. Цифры с чертой обозначают единичную дробь, имеющую это число в знаменателе, например ; единичные дроби были обычным объектом изучения древнеегипетской математики. ${\ displaystyle {\ bar {4}} = {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {4}} = {\ frac {1} {4}}}$

Содержание Московского математического папируса
Нет.	Деталь.
1	Повреждены и нечитаемы.
2	Повреждены и нечитаемы.
3	Кедровая мачта. оф. Не понятно. ${\ displaystyle {\ bar {3}} \; {\ bar {5}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {3}} \; {\ bar {5}}}$ ${\ displaystyle 30 = 16}$ ${\ displaystyle 30 = 16}$
4	Площадь треугольника. оф. ${\ displaystyle {\ bar {2}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {2}}}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 = 20}$ ${\ displaystyle 4 \ times 10 = 20}$
5	Песус из буханок и хлеба. То же, что № 8.
6	Прямоугольник, площадь. Найдите и. ${\ displaystyle = 12, b = {\ bar {2}} \; {\ bar {4}} l}$ ${\ displaystyle = 12, b = {\ bar {2}} \; {\ bar {4}} l}$ ${\ displaystyle l}$ $л$ ${\ displaystyle b}$ $б$
7	Треугольник, площадь. Найдите и. ${\ displaystyle = 20, h = 2 \; {\ bar {2}} b}$ ${\ displaystyle = 20, h = 2 \; {\ bar {2}} b}$ ${\ displaystyle h}$ $час$ ${\ displaystyle b}$ $б$
8	Песус из буханок и хлеба.
9	Песус из буханок и хлеба.
10	Площадь криволинейной поверхности полусферы (или цилиндра).
11	Буханки и корзина. Не понятно.
12	Песу из пива. Не понятно.
13	Песус из буханок и пива. То же, что № 9.
14	Объем усеченной пирамиды.. ${\ Displaystyle V = (ч / 3) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$ ${\ Displaystyle V = (ч / 3) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
15	Песу из пива.
16	Песу из пива. Аналогично № 15.
17	Треугольник, площадь. Найдите и. ${\ displaystyle = 20, b = ({\ bar {3}} \; {\ bar {15}}) h}$ ${\ displaystyle = 20, b = ({\ bar {3}} \; {\ bar {15}}) h}$ ${\ displaystyle h}$ $час$ ${\ displaystyle b}$ $б$
18	Мерная ткань в локтях и ладонях. Не понятно.
19	Решите уравнение. Прозрачный. ${\ displaystyle 1 \; {\ bar {2}} x + 4 = 10}$ ${\ displaystyle 1 \; {\ bar {2}} x + 4 = 10}$
20	Песу хлебов. Фракции Гора-Глаз. ${\ displaystyle 1,000}$ ${\ displaystyle 1,000}$
21 год	Замешивание жертвенного хлеба.
22	Песус из буханок и пива. Обмен.
23	Вычисление работы сапожника. Не понятно. Пит говорит очень сложно.
24	Обмен хлебов и пива.
25	Решите уравнение. Элементарно и понятно. ${\ displaystyle 2x + x = 9}$ ${\ displaystyle 2x + x = 9}$

Другие папирусы

Другие математические тексты из Древнего Египта включают:

Общие папирусы:

Папирус Харрис I
Роллин Папирус

Таблицы 2 / n см.:

Таблица РМП 2 / н

Смотрите также

Список древнеегипетских папирусов

Примечания

использованная литература

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ^я Clagett, Marshall. 1999. Древнеегипетская наука: Справочник. Том 3: Древнеегипетская математика. Мемуары Американского философского общества 232. Филадельфия: Американское философское общество. ISBN 0-87169-232-5
↑ Струве В.В., (1889–1965), востоковед:: ЭНЦИКЛОПЕДИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА.
↑ Струве, Василий Васильевич и Борис Тураев. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste в Москве. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Берлин: J. Springer
^ Папирусы математические в Большой Советской Энциклопедии, 1969–1978.
^ Уильямс, Скотт В. Египетские математические папирусы
↑ как указано в Gunn amp; Peet, Journal of Egypt Archeology, 1929, 15: 176. См. также: Van der Waerden, 1961, табл.
^ Гиллингс, RJ (1964), «Объем усеченной пирамиды в древнеегипетских папирусах», учителя математики, 57 (8): 552-555, JSTOR 27957144, В то время как это было принято считать, что египтяне были хорошо знакомы с формула для объема полной квадратной пирамиды, было нелегко установить, как они смогли вывести формулу для усеченной пирамиды, имея в своем распоряжении математику, в ее самой элегантной и далеко не очевидной форме.
^ Жиллингс, Ричард Дж. Математика во времена фараонов. Дувр. С. 246–247. ISBN 9780486243153.

Полный текст Московского математического папируса.

Струве, Василий Васильевич и Борис Тураев. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste в Москве. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Берлин: J. Springer

Другие ссылки

Аллен, Дон. Апрель 2001. Московский папирус и краткое изложение египетской математики.
Имхаузен А., Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen Mathematischen Aufgabentexten, Wiesbaden 2003.
Mathpages.com. Призмоидальная формула.
О'Коннор и Робертсон, 2000. Математика в египетских папирусах.
Государственный университет Трумэна, факультет математики и информатики. Математика и гуманитарные науки: Древний Египет и Московский математический папирус.
Уильямс, Скотт В. Математики африканской диаспоры, содержащий страницу о египетских математических папирусах.
Захрт, Ким Р.В. Мысли о древнеегипетской математике.