Войти
Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.. 1 + 24/60 + 51/60 + 10/60 = 1,41421296... Табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а результирующая диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888... Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика) была любой математикой, разработанной или практиковавшейся людьми Месопотамии, со времен первых шумеров до веков после падение Вавилона в 539 г. до н.э. Вавилонские математические тексты многочисленны и хорошо отредактированы. С точки зрения времени они делятся на две отдельные группы: одна относится к старовавилонскому периоду (1830–1531 гг. До н.э.), другая, в основном, к Селевкидам последних трех или четырех веков до нашей эры. Что касается содержания, между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию на протяжении почти двух тысячелетий.
В отличие от скудности источников в египетской математике, знание вавилонской математики является производным из примерно 400 глиняных табличек, обнаруженных с 1850-х годов. Написанные клинописью , таблички были написаны, пока глина была влажной и сильно запеченной в духовке или под воздействием солнечного тепла. Большинство найденных глиняных табличек датируются периодом 1800–1600 гг. До н.э. и охватывают темы, включающие дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения и теорема Пифагора. Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение к 
Вавилонская математика - это диапазон числовых и более сложных математических практик на древнем Ближнем Востоке, записанных клинописью. Изучение исторически было сосредоточено на старовавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за обилия доступных данных. Были споры о самом раннем появлении вавилонской математики, при этом историки предполагают, что диапазон дат - между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры. Вавилонская математика в основном была написана на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.
«Вавилонская математика», возможно, бесполезный термин, поскольку самые ранние предполагаемые источники относятся к использованию бухгалтерских устройств, таких как буллы и жетоны, в 5-м тысячелетии. До н.э.
Вавилонская математическая система была шестидесятеричной (с основанием 60) системой счисления. Отсюда мы выводим современное использование 60 секунд в минуту, 60 минут в час и 360 градусов по кругу. Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 является верхним сильно составным числом, имеющим множители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. (включая составные), что упрощает вычисления с дробями. Вдобавок, в отличие от египтян и римлян, у вавилонян была настоящая система разряда, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения (так же, как в нашей системе десятичных оснований 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).
Древние шумеры из Месопотамии разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э. Начиная с 2600 года до нашей эры, шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и занимались геометрическими упражнениями и делениями задачами. Самые ранние следы вавилонских цифр также относятся к этому периоду.
Большинство глиняных табличек, описывающих вавилонскую математику, относятся к древневавилонской математике., поэтому математика Месопотамии широко известна как вавилонская математика. Некоторые глиняные таблички содержат математические списки и таблицы, другие содержат задачи и отработанные решения.
Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, похожая на теорему Пифагора. Из Телль аль-Даббаи, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака 
Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, похожая на евклидову геометрию. Из Телль-Хармала, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака Вавилоняне использовали заранее рассчитанные таблицы, чтобы помочь в арифметике. Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году, датируемые 2000 годом до нашей эры, содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:
для упрощения умножения.
У вавилонян не было алгоритма деления в столбик. Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:
вместе с таблицей обратных величин. Числа, единственные простые множители равны 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или обычные числа ) имеют конечные обратные в шестидесятеричной системе счисления. обозначения и таблицы с обширным списком этих обратных величин.
Обратные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. Д., Не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали бы такое приближение:
Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 (ок. 1800–1600 гг. До н.э.) дает приблизительное значение √2 в четырех шестидесятеричных. цифры, 1; 24,51,10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением √2:
Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики также разработали алгебраические методы решения уравнений. И снова они были основаны на предварительно рассчитанных таблицах.
Для решения квадратного уравнения вавилоняне по существу использовали стандартную квадратную формулу. Они рассматривали квадратные уравнения вида:
, где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения:
и они нашли квадратные корни эффективно, используя деление и усреднение. Они всегда использовали положительный корень, потому что это имело смысл при решении «настоящих» проблем. Задачи этого типа заключались в нахождении размеров прямоугольника с учетом его площади и величины, на которую длина превышает ширину.
Таблицы значений n + n использовались для решения некоторых кубических уравнений. Например, рассмотрим уравнение:
Умножение уравнения на a и деление на b дает:
Подстановка y = ax / b дает:
, которое теперь можно было решить, просмотрев таблицу n + n, чтобы найти значение, ближайшее к правой стороне. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав замечательную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.
Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (через форму сигмоидальных функций ) и время удвоения, последнее в контексте процентов по кредитам.
Глиняные таблетки ок. 2000 г. до н.э. включают упражнение «Учитывая процентную ставку 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов), вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20%, и, следовательно, время удвоения 100% роста / 20% роста в год = 5 лет.
The Табличка Plimpton 322 содержит список «троек Пифагора », то есть целых чисел 
Многое было написано по этому поводу, включая некоторые предположения (возможно, анахронические) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы увидеть планшет с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.
[...] вопрос "как рассчитывалась табличка?" не обязательно иметь такой же ответ, как на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первый наиболее удовлетворительный ответ можно ответить с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй - с помощью своего рода задач прямоугольного треугольника.
(Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Plimpton 322», Historia Math. 28 (3), стр. 202).
Вавилоняне знали общие правила измерения объемов и площадей. Они измерили длину окружности как три диаметра, а площадь - как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если π было оценено как 3. Они знали, что это было приблизительное значение. и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная около Сузы в 1936 году (датированная 19-17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. Объем цилиндра был взят как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды был неправильно принят как произведение высоты и половины суммы оснований. Теорема Пифагора была также известна вавилонянам.
«Вавилонская миля» была мерой расстояния, равной примерно 11,3 км (или примерно семи современным милям). Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю во времени», используемую для измерения пути Солнца, следовательно, представляющего время.
Древние вавилоняне знали теоремы о соотношении сторон подобных треугольников. в течение многих столетий, но у них не было понятия угловой меры, и, следовательно, вместо этого они изучали стороны треугольников.
Вавилонские астрономы вели подробные записи восхода и захода звезды, движение планет, солнечные и лунные затмения, все из которых требовали знания угловых расстояний, измеренных на небесная сфера.
Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблицы астрономических положений), который был открыт в 1950-х годах Отто Нойгебауэром. Для вычисления движений небесных тел вавилоняне использовали основную арифметику и систему координат, основанную на эклиптике, части неба, через которую проходят Солнце и планеты.
Таблицы, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что имели представление об объектах в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до н. Э. И показывают, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой, нарисовав под ней трапецию . Ранее считалось, что этот метод возник в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, найти расстояние Юпитер прошел за определенное время.
С момента повторного открытия вавилонской цивилизации, стало очевидно, что греческие и эллинистические математики и астрономы, и в частности Гиппарх, в значительной степени заимствовали у вавилонян.
Франц Ксавер Куглер продемонстрировал в своей книге Die Babylonische Mondrechnung («Вавилонские лунные вычисления», Фрайбург-им-Брайсгау, 1900) следующее: Птолемей заявил в своем Альмагесте IV.2, что Гиппарх улучшил значения для Луны. периоды, известные ему от «еще более древних астрономов» при сравнении наблюдений за затмениями, сделанных ранее «халдеями» и им самим. Однако Куглер обнаружил, что периоды, которые Птолемей приписывает Гиппарху, уже использовались в вавилонских эфемеридах, в частности, в сегодняшнем собрании текстов, называемом «Система B» (иногда приписываемым Кидинну ). По-видимому, Гиппарх только подтвердил достоверность периодов, которые он узнал от халдеев, своими новыми наблюдениями.
Ясно, что Гиппарх (и Птолемей после него) имел по существу полный список наблюдений за затмениями, охватывающий многие столетия. Скорее всего, они были составлены из «дневниковых» табличек: это глиняные таблички, в которых записаны все относящиеся к делу наблюдения, которые обычно делали халдеи. Сохранившиеся образцы датируются периодом с 652 г. до н.э. до 130 г. н.э., но, вероятно, записи восходят к периоду правления вавилонского царя Набонассара : Птолемей начинает свою хронологию с первого дня египетского календаря первого года Набонассар, то есть 26 февраля 747 г. до н. Э.
Само по себе это сырье, должно быть, было трудно использовать, и, без сомнения, халдеи сами составили выдержки, например, всех наблюдаемых затмений (некоторые таблички со списком всех затмений за период времени, охватывающий сарос были найдены). Это позволяло им распознавать периодические повторения событий. Среди прочего, они использовали в Системе B (см. Альмагест IV.2):
Вавилоняне выражали все периоды в синодических месяцах, вероятно, потому, что они использовали лунно-солнечный календарь. Различные отношения с годичными явлениями привели к различным значениям продолжительности года.
Точно так же были известны различные отношения между периодами планет. Связи, которые Птолемей приписывает Гиппарху в Альмагесте IX.3, уже использовались в предсказаниях, найденных на вавилонских глиняных табличках.
Все эти знания были переданы грекам, вероятно, вскоре после завоевания Александром Великим (331 г. до н.э.). По словам позднего классического философа Симплициуса (начало VI века нашей эры), Александр заказал перевод исторических астрономических записей под наблюдением своего летописца Каллисфена Олинфского, который отправил его своему дяде Аристотель. Хотя Симплиций является очень поздним источником, его отчет может быть надежным. Некоторое время он провел в изгнании при дворе Сасанидов (персидский) и, возможно, имел доступ к источникам, которые иначе были бы утеряны на Западе. Поразительно, что он упоминает титул tèresis (греч. Охрана), который является странным названием для исторического труда, но является адекватным переводом вавилонского титула MassArt, означающего охранять, но также и наблюдать. Так или иначе, примерно в то время ученик Аристотеля Каллипп из Кизика представил свой 76-летний цикл, который улучшился по сравнению с 19-летним циклом Метона. Первый год его первого цикла начался в день летнего солнцестояния 28 июня 330 г. до н.э. (пролептическая дата по юлианскому календарю ), но позже он, кажется, отсчитал лунные месяцы от первого месяца после решающей битвы Александра при Гавгамела осенью 331 г. до н.э. Таким образом, Каллипп мог получить свои данные из вавилонских источников, а его календарь, возможно, ожидался Кидинну. Также известно, что вавилонский священник, известный как Берос, написал около 281 г. до н.э. книгу на греческом языке по (скорее мифологической) истории Вавилонии, Вавилонии, для нового правителя Антиоха I ; Говорят, что позже он основал школу астрологии на греческом острове Кос. Другим кандидатом на преподавание греков вавилонской астрономии / астрологии был Судин, который был при дворе Аттала I Сотера в конце III в. век до нашей эры.
В любом случае перевод астрономических записей требовал глубоких знаний клинописи, языка и процедур, поэтому кажется вероятным, что это было сделано какими-то неопознанными халдеями. Итак, вавилоняне датировали свои наблюдения по своему лунно-солнечному календарю, в котором месяцы и годы имеют разную длину (29 или 30 дней; 12 или 13 месяцев соответственно). В то время они не использовали обычный календарь (например, основанный на цикле Метона, как они это делали позже), но начали новый месяц на основе наблюдений Новолуния. Это делало очень утомительным вычисление временного интервала между событиями.
Гиппарх, возможно, преобразовал эти записи в египетский календарь, в котором используется фиксированный год из 365 дней (состоящий из 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней): это значительно упрощает вычисление временных интервалов. Птолемей датировал все наблюдения в этом календаре. Он также пишет, что «Все, что он (= Гиппарх) сделал, это составил компиляцию планетарных наблюдений, организованных более полезным способом» (Альмагест IX.2). Плиний утверждает (Naturalis Historia II.IX (53)) о предсказаниях затмений: «После их времени (= Фалес ) ход обеих звезд (= Солнца и Луны) в течение 600 лет был предсказан Гиппархом,… ". Похоже, это означает, что Гиппарх предсказал затмения на период в 600 лет, но, учитывая огромное количество требуемых вычислений, это очень маловероятно. Скорее, Гиппарх составил бы список всех затмений со времен Набонассера до его собственного.
Другие следы вавилонской практики в работах Гиппарха:
Математический портал 
Азиатский портал | journal =()