Алгебраическое число

Комплексное число, которое является корнем ненулевого многочлена от одной переменной с рациональными коэффициентами Квадратный корень из 2 равен алгебраическое число, равное длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длины 1.

Алгебраическое число - это любой комплекс число (включая действительные числа ), которое является корнем ненулевого многочлена (то есть, значение, которое приводит к тому, что многочлен равен 0) в одной переменной с рациональными коэффициентами (или, что то же самое - по очищающим знаменателям - с целочисленными коэффициентами).

Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел. Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как π и e, называются трансцендентными числами.

, тогда как набор комплексных чисел является несчетное, набор алгебраических чисел счетный и имеет нулевую меру в мере Лебега в качестве подмножества комплексных чисел; в этом смысле почти все комплексные числа являются трансцендентными.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 Поле алгебраических чисел
• 4 Связанные поля
  • 4.1 Числа, определяемые радикалами
  • 4.2 Число в закрытой форме
• 5 Целые алгебраические числа
• 6 Специальные классы алгебраических чисел
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Примеры

• Все рациональные числа являются алгебраическими. Любое рациональное число, выраженное как частное от целого a и a (ненулевого) натурального числа b, удовлетворяет приведенному выше определению, потому что x = a / b является корнем a ненулевой многочлен, а именно bx - a.
• квадратичные сурды (иррациональные корни квадратичного многочлена ax + bx + c с целыми коэффициентами a, b и c) являются алгебраическими числами. Если квадратичный многочлен является моническим (a = 1), то корни далее квалифицируются как целые квадратичные числа.
• Конструируемые числа - это числа, которые могут быть построены из заданной единичной длины с использованием линейки и компас. Сюда входят все квадратичные числа, все рациональные числа и все числа, которые могут быть образованы из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (При обозначении сторон света для 1, −1, i и −i комплексные числа, такие как 3 + i√2, считаются конструктивными.)
• Любое выражение, составленное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основной арифметики операций и извлечения корней n-й степени дает другое алгебраическое число.
• Корни полинома, которые не могут быть выражены в терминах основных арифметических операций и извлечения корней n-й степени (например, корни x - x + 1). Это происходит со многими, но не со всеми, полиномами степени 5 или выше.
• Целые числа по Гауссу : те комплексные числа a + bi, где и a, и b являются целыми числами, а также квадратичными целыми числами.
• Значения тригонометрических функций из рациональных кратных π (кроме неопределенных): то есть тригонометрических чисел. Например, каждый из cos π / 7, cos 3π / 7, cos 5π / 7 удовлетворяет 8x - 4x - 4x + 1 = 0. Этот многочлен неприводим по рациональным числам, поэтому эти три косинуса равны сопряженные алгебраические числа. Аналогично, tan 3π / 16, tan 7π / 16, tan 11π / 16, tan 15π / 16 удовлетворяют неприводимому многочлену x - 4x - 6x + 4x + 1 = 0, и поэтому сопряженные целые алгебраические числа.
• Некоторые иррациональные числа являются алгебраическими, а некоторые нет:
  • Числа √2 и √3 / 2 являются алгебраическими, поскольку они являются корнями многочленов x - 2 и 8x - 3 соответственно.
  • золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x - x - 1.
  • Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдемана – Вейерштрасса ).

Свойства

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

• Для данного алгебраического числа существует единственный монический многочлен (с рациональными коэффициентами) минимальной степени, который имеет это число в качестве корня. многочлен называется его минимальным многочленом. Если его минимальный многочлен имеет степень n, то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным.
• . Действительные алгебраические числа плотны в вещественные, линейно упорядоченные и без первого или последнего элемента (и, следовательно, изоморфен по порядку набору рациональных чисел).
• Набор алгебраических числа являются счетными (перечислимыми), и поэтому его мера Лебега как подмножество комплексных чисел равна 0 (по существу, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). Другими словами, «почти все» действительные и комплексные числа являются трансцендентными.
• Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметический.
• Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда и a, и b являются алгебраическими.

Поле алгебраических чисел

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зеленый = 1). Единичный круг черный.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) двух алгебраических чисел снова являются алгебраическими (этот факт можно продемонстрировать с помощью результирующего ), а поэтому алгебраические числа образуют поле ℚ (иногда обозначается $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\}$, хотя обычно это обозначает кольцо аделей ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициенты которого являются алгебраическими числами, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто. Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.

Сам набор действительных алгебраических чисел образует поле.

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Все числа, которые могут быть получены из целых чисел используя конечное число сложных сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечения корней n-й степени, где n является положительным целым числом (радикальные выражения ), являются алгебраическими. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые нельзя получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. уравнения пятой степени и теорему Абеля – Руффини ). Например, x - x - 1, где единственный действительный корень равен

$x = 1 32 (32 4 F 3 ⁡ (- 1 20, 3 20, 7 20, 11 20 1 4, 1 2, 3 4 | 3125 256) + 8 4 F 3 ⁡ (1 5, 2 5, 3 5, 4 5 1 2, 3 4, 5 4 | 3125 256) - 5 4 F 3 ⁡ (9 20, 13 20, 17 20, 21 20 3 4, 5 4, 3 2 | 3125 256) + 5 4 F 3 ⁡ (7 10, 9 10, 11 10, 13 10 5 4, 3 2, 7 4 | 3125 256)) = 1,167303978261418684… {\ displaystyle {\ begin {align} x = {\ frac {1} {32}} \ left (32 \ operatorname {_ {4} F_ {3}} \ left (\ left. {\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {20}}, {\ frac {3} {20}}, {\ frac {7} {20}}, {\ frac {11} {20}} \\ {\ frac {1 } {4}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}} \ end {array}} \ right | {\ frac {3125} {256}} \ right) + 8 \ operatorname {_ {4} F_ {3}} \ left (\ left. {\ Begin {array} {ccc} {\ frac {1} {5}}, {\ frac {2} {5}}, {\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}} \\ {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5 } {4}} \ end {array}} \ right | {\ frac {3125} {256}} \ right) -5 \ operatorname {_ {4} F_ {3}} \ left (\ left. {\ Begin {array} {ccc} {\ frac {9} {20}}, {\ frac {13} {20}}, {\ frac {17} {20}}, {\ frac {21} {20}} \ \ {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5} {4}}, {\ frac {3} {2}} \ end {array}} \ right | {\ frac {3125} {256}} \ right) +5 \ operatorname {_ {4} F_ {3}} \ left (\ left. {\ Begin {array} {ccc} {\ frac {7} {10}}, {\ frac {9} {10}}, {\ frac {11} {10 }}, {\ frac {13} {10}} \\ {\ frac {5} {4}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {7} {4}} \ end { array}} \ right | {\ frac {3125} {256}} \ right) \ right) \\ [8pt] = 1.167303978261418684 \ ldots \ end {align}}}$

где

$p\; F\; q\; \; (a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; apb\; 1,\; b\; 2,\dots ,\; bq\; |\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\_\; \{p\}\; F\_\; \{q\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left.\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{p\}\; \backslash \; \backslash \; b\_\; \{1\},\; b\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; b\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right\; |\; z\; \backslash \; right)\}$

- обобщенная гипергеометрическая функция.

Число в замкнутой форме

Алгебраические числа - это все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах многочленов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на «числа в закрытой форме », которые могут быть определены различными способами. В самом широком смысле, все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах полиномов, экспонент и логарифмов, называются «элементарными числами », и они включают алгебраические числа плюс некоторые трансцендентные числа. В самом узком смысле, можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов - это не включает все алгебраические числа, но включает некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2.

Целые алгебраические числа

Алгебраические числа, окрашенные старшим коэффициентом (красный цвет означает 1 для алгебраического целого числа)

Алгебраическое целое число - это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 (монический многочлен ). Примеры целых алгебраических чисел: 5 + 13√2, 2 - 6i и 1/2 (1 + i√3). Следовательно, алгебраические целые числа составляют собственное надмножество из целых чисел, поскольку последние являются корнями монических многочленов x - k для всех k ∈ ℤ. В этом смысле алгебраические целые числа относятся к алгебраическим числам, как целые числа относятся к рациональным числам.

Сумма, разность и произведение алгебраических целых чисел снова являются целыми алгебраическими числами, что означает, что алгебраические целые числа образуют кольцо. Название «алгебраическое целое» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, и потому, что алгебраические целые числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K является числовым полем, его кольцо целых чисел является подкольцом алгебраических целых чисел в K и часто обозначается как O K. Это прототипы областей Дедекинда.

Специальные классы алгебраических чисел

• Алгебраическое решение
• Целое число по Гауссу
• целое число Эйзенштейна
• Квадратичное иррациональное число
• Фундаментальная единица
• Корень единство
• Гауссовский период
• Число Пизо – Виджаярагхавана
• Число Салема

Примечания

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра, Прентис Холл, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
• Харди, GH и Райт, EM 1978, 2000 (с общим индексом) Введение в теорию чисел: 5-е издание, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел, Тексты для выпускников по математике, 84 (второе изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
• Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0- 387-95385-4, MR 1878556
• Нивен, Иван 1956. Иррациональные числа, Математическая монография Каруса, No. 11, Mathematical Association of America.
• Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN 0 -486-65620-9 (pbk.)