Трисекция угла

редактировать

построение угла, равного одной трети заданного угла

Углы могут быть разделены на три части с помощью конструкции neusis с помощью инструментов помимо немаркированной линейки и циркуля. Пример показывает трисекцию любого угла θ>3π / 4 линейкой с длиной, равной радиусу окружности, что дает трисекцию угла φ = θ / 3.

Угловое трисечение - классическая задача конструкции компаса и линейки древней греческой математики. Он касается построения угла , равного одной трети заданного произвольного угла, с использованием только двух инструментов: линейки без маркировки и компаса.

. невозможно решить для произвольных углов, как это было доказано Пьером Ванцелем в 1837 году. Однако, хотя в целом нет способа разрезать угол пополам с помощью циркуля и линейки, некоторые специальные углы можно разделить на три части. Например, относительно просто разрезать прямой угол (то есть построить угол измерения 30 градусов).

Можно разрезать произвольный угол пополам с помощью других инструментов, кроме линейки и циркуля. Например, конструкция neusis, известная также древним грекам, предполагает одновременное скольжение и вращение маркированной линейки, чего нельзя было достичь с помощью оригинальных инструментов. Другие методы разрабатывались математиками на протяжении веков.

Поскольку она определяется в простых терминах, но сложно доказать неразрешимость, проблема тройного угла является частым предметом псевдоматематических попыток решения со стороны наивных энтузиастов. Эти «решения» часто связаны с ошибочной интерпретацией правил или просто неверны.

Содержание

1 Предпосылки и постановка проблемы
2 Доказательство невозможности
3 Углы, которые можно разделить на три части
- 3.1 Алгебраические функции характеристика
4 Другие методы
- 4.1 Аппроксимация последовательными делениями пополам
- 4.2 Использование оригами
- 4.3 Использование связки
- 4.4 Право треугольной линейки
- 4.5 Со вспомогательной кривой
- 4.6 С отмеченная линейка
- 4.7 С веревкой
- 4.8 С "томагавком"
- 4.9 С соединенными компасами
5 Использование трех углов
6 Обобщение
7 См. также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки
- 10.1 Другие средства трисекции

Предпосылки и постановка задачи

Биссектриса произвольных углов имеет

Используя только немаркированную линейку и циркуль, греческие математики нашли способы разделить линию на произвольный набор равных отрезков, рисовать параллельных прямых, для деления углов пополам, для построения множества многоугольников и построения квадратов равной или удвоенной площади данного многоугольника.

Три задачи оказались неуловимыми, а именно: разрезание угла пополам, удвоение куба и квадрат круга. Задача трехсекционного угла гласит:

Постройте угол, равный одной трети заданного произвольного угла (или разделите его на три равных угла), используя только два инструмента:

линейка без маркировки и
компас.

Доказательство невозможности

Линейки. Отображаемые отмечены - идеальная линейка не отмечена

Компасы

Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности классического разделения произвольного угла на три части в 1837 году. Доказательство Ванцеля, переформулированное в современной терминологии., использует абстрактную алгебру из расширений полей, тема теперь обычно сочетается с теорией Галуа. Однако Ванцель опубликовал эти результаты раньше, чем Галуа (работа которого была опубликована в 1846 году), и не использовал связь между расширениями полей и группами, которая является предметом самой теории Галуа.

Проблема Построение угла заданной меры θ эквивалентно построению двух отрезков, отношение их длины которых равно cos θ. От решения одной из этих двух задач можно перейти к решению другой с помощью компаса и линейки. Формула тройного угла дает выражение, связывающее косинусы исходного угла и его трисекцию: cos θ = 4 cos θ / 3 - 3 cos θ / 3. Отсюда следует, что для данного сегмента, который определен как имеющий единицу длины, задача трехсекционного угла эквивалентна построению сегмента, длина которого является корнем кубического многочлена . Эта эквивалентность сводит исходную геометрическую задачу к чисто алгебраической.

Каждое рациональное число можно построить. Каждое иррациональное число, которое может быть сконструировано за один шаг из некоторых заданных чисел, является корнем полинома степени 2 с коэффициентами в поле генерируется этими числами. Следовательно, любое число, которое можно построить с помощью последовательности шагов, является корнем минимального многочлена, степень которого равна степени двойки. Угол π / 3 радиан (60 градусов, записывается 60 °) является конструктивным. Приведенные ниже аргументы показывают, что невозможно построить угол в 20 °. Это означает, что угол 60 ° не может быть разделен на три части и, следовательно, произвольный угол не может быть разрезан на три части.

Обозначим набор рациональных чисел через Q . Если бы 60 ° можно было разделить на три части, степень минимального полинома от cos 20 ° над Q была бы степенью двойки. Пусть теперь x = cos 20 °. Обратите внимание, что cos 60 ° = cos π / 3 = 1/2. Тогда по формуле тройного угла cos π / 3 = 4x - 3x и, следовательно, 4x - 3x = 1/2. Таким образом, 8x - 6x - 1 = 0. Определим p (t) как многочлен p (t) = 8t - 6t - 1.

Так как x = cos 20 ° является корнем p (t), минимальный многочлен для cos 20 ° является множителем p (t). Поскольку p (t) имеет степень 3, если он сводится на Q, то он имеет рациональный корень. По теореме о рациональном корне этот корень должен быть ± 1, ± 1/2, ± 1/4 или ± 1/8, но ни один из них не является корнем. Следовательно, p (t) неприводимо на Q, а минимальный полином для cos 20 ° имеет степень 3.

Таким образом, угол измерения 60 °. не может быть разрезан на три части.

Углы, которые можно разделить на три части

Однако некоторые углы могут быть разделены на три части. Например, для любого конструктивного угла θ, угол измерения 3θ может быть тривиально разрезан на три части, игнорируя данный угол и напрямую создавая угол измерения θ. Есть углы, которые нельзя построить, но можно разделить на три части (несмотря на то, что одна треть угла сама по себе не может быть построена). Например, 3π / 7 - это такой угол: пять углов измерения 3π / 7 вместе образуют угол измерения 15π / 7, который представляет собой полный круг плюс желаемое π / 7.

Для положительного целого числа N угол измерения 2π / N является троекратным тогда и только тогда, когда 3 не делит N. Напротив, 2π / N конструктивно тогда и только тогда, когда N представляет собой степень 2 или произведение степени 2 на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма.

Алгебраическая характеристика

Снова обозначим набор рациональных чисел по Q.

Теорема : угол измерения θ может быть разрезан на тогда и только тогда, когда q (t) = 4t - 3t - cos (θ) сводимо по расширению поля Q(cos (θ)).

Доказательство является относительно простым обобщением приведенного выше доказательства того, что угол 60 ° не может быть тройным.

Другие методы

Общая проблема Трисекция угла решается с помощью дополнительных инструментов и, таким образом, выходит за рамки оригинальной греческой системы циркуля и линейки.

Было предложено много неправильных методов разделения общего угла на три части. Некоторые из этих методов обеспечивают разумные приближения; другие (некоторые из которых упомянуты ниже) используют инструменты, не разрешенные в классической задаче. Математик Андервуд Дадли подробно описал некоторые из этих неудачных попыток в своей книге Трисектора.

Аппроксимация последовательными делениями пополам

Трисекция может быть аппроксимирована повторением циркуля и линейки. метод деления угла пополам. Геометрический ряд 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ или 1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ можно использовать как основу для деления пополам. Приближение любой степени точности может быть получено за конечное число шагов.

Использование оригами

Трисекция, как и многие конструкции, невозможные с помощью линейки и циркуля, может быть легко достигнута с помощью более мощных операции складывания бумаги, или оригами. Аксиомы Хузиты (типы операций складывания) могут построить кубические расширения (кубические корни) заданной длины, тогда как линейка и циркуль может построить только квадратичные расширения (квадратные корни).

Использование связи

Веер Связи Сильвестра

Существует ряд простых связей, которые можно использовать для создания инструмента для разделения углов, включая Трисектор Кемпе и Веер Связи Сильвестра или Изоклиностат.

Прямоугольной линейкой

Трисекция угла с помощью Rechtwinkelhaken по Людвигу Бибербаху, с продолжением построения, анимация 1 мин. 35 с, из них разрыв в конце 30 с.

В 1932 году Людвиг Бибербах опубликовал в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik свою работу Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen. В нем он заявляет (вольный перевод):

«Как известно... всякую кубическую конструкцию можно проследить до тройного пересечения угла и до умножения куба, то есть до извлечения третьего корня. I нужно только показать, как эти две классические задачи могут быть решены с помощью крюка под прямым углом ».

Следующее описание смежной конструкции (анимации) содержит их продолжение до полного трехсечения угла.

Он начинается с первого единичного круга вокруг его центра $A {\ displaystyle A}$ $A$ , первой угловой конечности $BP ¯ {\ displaystyle {\ overline {BP}}}$ ${\ displaystyle {\ overline { BP}}}$ , а следующий за ним второй единичный круг вокруг $P {\ displaystyle P}$ $P$ . Теперь диаметр $BP ¯ {\ displaystyle {\ overline {BP}}}$ ${\ displaystyle {\ overline { BP}}}$ от $P {\ displaystyle P}$ $P$ продлен до линии круга этого устройства. круг, точка пересечения $O {\ displaystyle O}$ $O$ создается. По дуге окружности вокруг $P {\ displaystyle P}$ $P$ с радиусом $BP ¯ {\ displaystyle {\ overline {BP}}}$ ${\ displaystyle {\ overline { BP}}}$ и рисунок второй угол от угла $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , получается точка $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Теперь используется так называемое дополнительное строительное средство, в иллюстрированном примере это Geodreieck. Этот геометрический треугольник, как его еще называют, теперь размещается на чертеже следующим образом: Вершина прямого угла определяет точку $S {\ displaystyle S}$ $S$ на участке угла $ПК ¯ {\ displaystyle {\ overline {PC}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PC}}}$ , катет треугольника проходит через точку $O {\ displaystyle O}$ $O$ , а другой влияет на единичный круг $A {\ displaystyle A}$ $A$ . После соединения точки $O {\ displaystyle O}$ $O$ с $S {\ displaystyle S}$ $S$ и проведения касательной от $S {\ displaystyle S}$ $S$ к единичному кругу вокруг $A {\ displaystyle A}$ $A$ , показан вышеупомянутый прямоугольный крючок соответственно Rechtwinkelhaken. Угол между сегментами $OS ¯ {\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ и $PS ¯ {\ displaystyle {\ overline {PS}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PS}}}$ , таким образом, точно равно $δ 3 {\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}}$ . Он продолжается параллельно с $OS ¯ {\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ из $P {\ displaystyle P}$ $P$ , альтернативный угол $δ 3 {\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}}$ и точка $D {\ displaystyle D}$ $D$ являются создается. Дальнейшая параллель с $OS ¯ {\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OS}}}$ из $A {\ displaystyle A}$ $A$ определяет точку контакта $E {\ displaystyle E}$ $E$ от касательной к единичной окружности примерно на $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Наконец, проведите прямую линию от $P {\ displaystyle P}$ $P$ до $E {\ displaystyle E}$ $E$ , пока она не пересечет единичный круг в $F { \ Displaystyle F}$ $F$ . Таким образом, угол $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ состоит ровно из трех частей.

Трисекция с использованием архимедовой спирали

со вспомогательной кривой

Угловое трисечение (точное) с трисектрисой Маклорена в качестве дополнительного вспомогательного среднего

Существуют определенные кривые, называемые трисектрисами, которые, если их нарисовать на плоскости другими методами можно разрезать пополам произвольные углы. Примеры включают трисектрису Колина Маклорена, заданную в декартовых координатах неявным уравнением

2 x (x 2 + y 2) = a (3 x 2 - y 2), {\ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}),}

{\ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}),}

и спираль Архимеда. На самом деле спираль может использоваться для разделения угла на любое количество равных частей.

С отмеченной линейкой

Еще один способ разрезать произвольный угол «маленьким» шагом за пределы греческой рамки - с помощью линейки с двумя отметками на заданном расстоянии друг от друга. Следующее построение первоначально связано с Архимедом, названным конструкцией Нойсиса, т.е. в котором используются инструменты, отличные от неразмеченной линейки. На схемах, которые мы используем, эта конструкция показана для острого угла, но она действительно работает для любого угла до 180 градусов.

Это требует трех фактов из геометрии (справа):

Любой полный набор углов на прямой добавляет к 180 °,
Сумма углов любого треугольника равна 180 °, и,
Любые две равные стороны равнобедренного треугольника будут пересекаться с третьей под тем же углом.

Трисекция угла с использованием отмеченной линейки

Пусть l будет горизонтальная линия на соседней диаграмме. Угол a (слева от точки B) является предметом трисекции. Сначала точка A рисуется под углом луча, на расстоянии одной единицы от B. Рисуется окружность радиуса AB. Затем в игру вступает маркировка линейки: одна метка линейки помещается в точку A, а другая - в точку B. Удерживая линейку (но не метку) в точке A, линейка сдвигается и вращается, пока одна метка не окажется на круг, а другой находится на прямой l. Метка на круге обозначена буквой C, а метка на линии - D. Это гарантирует, что CD = AB. Радиус BC нарисован, чтобы было очевидно, что отрезки AB, BC и CD имеют одинаковую длину. Итак, треугольники ABC и BCD равнобедренные , таким образом (согласно факту 3 выше) каждый имеет два равных угла.

Гипотеза : Учитывая, что AD - прямая линия, а AB, BC и CD имеют одинаковую длину,

Вывод : угол b = a / 3.

Доказательство :

Из факта 1) выше, $e + c = 180 {\ displaystyle e + c = 180}$ $e + c = 180$ °.
Глядя на треугольник BCD, из факта 2) $e + 2 b = 180 {\ displaystyle e + 2b = 180}$ $e + 2b = 180$ °.
Из двух последних уравнений, $c = 2 b {\ displaystyle c = 2b}$ $c = 2b$ .
Из факта 2), $d + 2 c = 180 {\ displaystyle d + 2c = 180}$ $d + 2c = 180$ °, таким образом, $d = 180 {\ displaystyle d = 180}$ $d = 180$ ° $- 2 c {\ displaystyle -2c}$ $-2c$ , Итак, начиная с последнего, $d = 180 {\ displaystyle d = 180}$ $d = 180$ ° $- 4 b {\ displaystyle -4b}$ $-4b$ .
Из факта 1) выше, $a + d + b = 180 {\ displaystyle a + d + b = 180}$ $a+d+b=180$ °, таким образом, $a + (180 {\ displaystyle a + (180}$ $a + (180$ ° $- 4 b) + b = 180 {\ displaystyle -4b) + b = 180}$ $-4b) + b = 180$ °.

Клиринг, a - 3b = 0 или a = 3b, и теорема доказана.

Опять же, эта конструкция вышла за рамки структуры из допустимых конструкций с использованием размеченной линейки.

Со строкой

Томас Хатчесон опубликовал статью в Учитель математики, в которой вместо циркуля и линейки использовалась веревка. Веревку можно использовать как прямую кромку (растягивая ее) или как циркуль (фиксируя одну точку и идентифицируя другую), но также можно обернуть вокруг цилиндра, что является ключом к решению Хатчесона.

Хатчесон построил цилиндр из угла, который нужно разделить на три части, проведя дугу поперек угла, завершив ее как круг и построив из этой окружности цилиндр, на котором, скажем, был вписан равносторонний треугольник (360 -градус делится на три части). Затем он был «отображен» на угол, который нужно было разрезать на три части, с простым доказательством наличия подобных треугольников.

С "томагавком"

Томагавк, делающий пополам угол. Ручка образует один трисектор, а показанная синяя линия - другой.

«томагавк » - это геометрическая форма, состоящая из полукруга и двух ортогональных отрезков прямой, так что длина более короткого сегмента равна равен радиусу круга. Трисекция выполняется путем наклона конца более короткого сегмента томагавка к одному лучу, а края круга к другому так, чтобы «ручка» (более длинный сегмент) пересекала вершину угла; линия трисечения проходит между вершиной и центром полукруга.

Обратите внимание, что хотя томагавк можно построить с помощью циркуля и линейки, обычно невозможно построить томагавк в любом желаемом положении. Таким образом, приведенная выше конструкция не противоречит невозможности использования углов только с помощью линейки и циркуля.

Томагавк производит тот же геометрический эффект, что и метод складывания бумаги: расстояние между центром круга и концом более короткого сегмента в два раза больше радиуса, который гарантированно соприкасается с углом. Это также эквивалентно использованию архитектора L-Ruler (Carpenter's Square ).

С соединенными друг с другом компасами

Угол может быть разрезан на три части с помощью устройства, которое по сути представляет собой четырехконечную версию компаса, с соединениями между зубцами, предназначенными для сохранения трех углов между соседними зубцами равными.

Использование трисекции угла

Анимация построения neusis семиугольника с радиусом circumcircle

OA ¯ = 6 {\ displaystyle { \ overline {OA}} = 6}

{\ displaystyle {\ overline {OA} } = 6}

, на основе Эндрю М. Глисона, используя трисекцию угла с помощью кубического уравнения томагавка

A с действительными коэффициентами, можно решается геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда он имеет три вещественных корня.

A правильный многоугольник с n сторонами, можно построить с помощью линейки, циркуля и угла трисектор, если и только если $n = 2 r 3 sp 1 p 2 ⋯ pk, {\ displaystyle n = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k}, }$ ${\ displaystyle n = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k},}$ где r, s, k ≥ 0 и где p i - различные простые числа больше 3 в форме $2 t 3 u + 1 {\ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1}$ (т.е. Простые числа Пирпона больше 3).

Обобщение

Для любого ненулевого целого числа N угол измерения ⁄ N радиан может быть разделен на n равных частей с линейкой и циркулем тогда и только тогда, когда n является степенью двойки или степенью 2, умноженной на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма, ни одно из которых не делит N. В случае деления на три части (n = 3, которое является простым числом Ферма), это условие становится вышеупомянутым требованием, чтобы N не делилось на 3.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Курант, Ричард, Герберт Роббинс, Ян Стюарт, Что такое математика ?: элементарный подход к идеям и методам, Oxford University Press, США, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.

Внешние ссылки

Другие способы трисекции

Примерное угловое трисечение в виде анимации, макс. ошибка угла ≈ ± 4E-8 °
Трисекция через (Архивировано 2009-10-25) лимакон из Паскаля ; см. также Трисектрица
Трисекция через и Архимедова спираль
Трисекция через Конхоид из Никомед
сайт sciencenews.org при использовании оригами
Гиперболическое трисечение и спектр правильных многоугольников