В геометрии, деление пополам - это разделение чего-либо на две равные или конгруэнтные части, обычно с помощью линии, который затем называется биссектрисой. Наиболее часто рассматриваемые типы биссектрис - это биссектриса сегмента (линия, проходящая через среднюю точку данного сегмента ) и биссектрису угла (линия, проходящая через вершину угла , что делит его на два равных угла).
В трехмерном пространстве деление пополам обычно выполняется плоскостью, также называемой биссектрисой или биссектрисой.
A проходит через биссектрису отрезка средняя точка сегмента. Особенно важна биссектриса перпендикуляра сегмента, который, согласно своему названию, пересекает сегмент под прямым углом . Серединный перпендикуляр сегмента также обладает тем свойством, что каждая его точка находится на равноудалении от конечных точек сегмента. Следовательно, границы диаграммы Вороного состоят из отрезков таких линий или плоскостей.
В классической геометрии деление пополам - это простая конструкция циркуля и линейки, возможность которой зависит от способности рисовать окружности с одинаковым радиусом и разными центрами. Сегмент делится пополам путем рисования пересекающихся окружностей равного радиуса, центры которых являются конечными точками сегмента и таким образом, что каждый круг проходит через одну конечную точку. Линия, определяемая точками пересечения двух окружностей, является серединным перпендикуляром отрезка, поскольку пересекает отрезок в его центре. Эта конструкция фактически используется при построении линии, перпендикулярной данной линии в данной точке: рисуя произвольный круг, центр которого является этой точкой, он пересекает линию еще в двух точках, а перпендикуляр, который нужно построить, - это тот, который рассекает пополам. отрезок, определяемый этими двумя точками.
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник является ортодиагональным (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположную сторону.
Алгебраически, серединный перпендикуляр отрезка прямой с конечными точками и определяется уравнением
Биссектриса угла делит угол на два угла с равными размерами. У угла только одна биссектриса. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.
Внутренняя или внутренняя биссектриса угла - это прямая, полупрямая или отрезок прямой, который делит угол менее 180 ° на два равных угла. Внешняя или внешняя биссектриса - это линия, которая разделяет дополнительный угол (180 ° минус исходный угол), образованный одной стороной, образующей исходный угол, и продолжением другой стороны, на два равных угла.
Чтобы разделить угол пополам с помощью линейки и циркуля, рисуется окружность, центр которой является вершиной. Круг пересекает угол в двух точках: по одной на каждой ноге. Используя каждую из этих точек как центр, нарисуйте два круга одинакового размера. Пересечение окружностей (две точки) определяет прямую, являющуюся биссектрисой угла.
Доказательство правильности этой конструкции довольно интуитивно понятно, опираясь на симметрию задачи. Трисекция угла (деление его на три равные части) не может быть достигнута с помощью только циркуля и линейки (это впервые было доказано Пьером Ванцелем ).
Внутренняя и внешняя биссектрисы угла перпендикулярны. Если угол образован двумя линиями, заданными алгебраически как и тогда внутренняя и внешняя биссектрисы задаются двумя уравнениями
Биссектрисы внутреннего угла треугольника являются параллельными в точке, называемой центром треугольника., как показано на диаграмме справа.
Биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают.
Три точки пересечения, каждая из внешних углов биссектрисы с противоположной расширенной стороной, коллинеарны (лежат на одной линии друг с другом).
Три точки пересечения, две из них между биссектрисой внутреннего угла и противоположная сторона, а также третий между другой биссектрисой внешнего внешнего угла и вытянутой противоположной стороной коллинеарны.
Теорема о биссектрисе угла касается относительной длины двух сегментов, на которые сторона треугольника делится линией, делящей пополам противоположный угол. Он приравнивает их относительную длину к относительной длине двух других сторон треугольника.
Если длины сторон треугольника равны , полупериметр и A - угол противоположной стороны , тогда длина внутренней биссектрисы угла A равна
или в тригонометрических терминах
Если внутренняя биссектриса угла A в треугольнике ABC имеет длину и если эта биссектриса делит сторону, противоположную A, на сегменты длиной m и n, то
где b и c - длины сторон, противоположных вершинам B и C; а сторона, противоположная A, делится в пропорции b: c.
Если внутренние биссектрисы углов A, B и C имеют длины и , затем
Нет двух несовпадающих треугольников с одинаковым набором трех биссектрис внутренних углов.
Существуют целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла.
Внутренние биссектрисы выпуклого четырехугольника либо образуют циклический четырехугольник (то есть четыре точки пересечения биссектрис смежных углов равны concyclic ), или они параллельны. В последнем случае четырехугольник представляет собой тангенциальный четырехугольник.
Каждая диагональ ромба делит пополам противоположные углы.
Крайняя часть экз-тангенциального четырехугольника лежит на пересечении шести биссектрис углов. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершинах, биссектрисы внешнего угла (дополнительные биссектрисы угла) в двух других углах при вершинах и биссектрисы внешнего угла в углах, образованных в местах пересечения удлинений противоположных сторон.
Тангенс к параболе в любой точке делит пополам угол между линией, соединяющей точку с фокусом, и линией от точку и перпендикуляр к направляющей.
Каждая из трех медиан треугольника представляет собой линию сегмент, проходящий через одну вершину и середину противоположной стороны, поэтому он делит эту сторону пополам (хотя в целом не перпендикулярно). Три медианы пересекаются друг с другом в центроиде треугольника, который является его центром масс, если он имеет однородную плотность; таким образом, любая прямая, проходящая через центр тяжести треугольника и одну из его вершин, делит противоположную сторону пополам. Центроид находится в два раза ближе к середине одной стороны, чем к противоположной вершине.
Внутренний перпендикуляр биссектрисы стороны треугольника - это отрезок, полностью входящий в треугольник и входящий в него, на прямой, которая перпендикулярно делит эту сторону пополам.. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центр окружности, проходящей через три вершины). Таким образом, любая прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная стороне, делит эту сторону пополам.
В остром треугольнике центр описанной окружности делит внутренние перпендикулярные биссектрисы двух кратчайших сторон в равных пропорциях. В тупоугольном треугольнике серединные перпендикуляры двух кратчайших сторон (выходящие за пределы их противоположных сторон треугольника до центра описанной окружности) делятся на соответствующие пересекающиеся стороны треугольника в равных пропорциях.
Для любого треугольника внутренние серединные перпендикуляры задаются формулой и где стороны равны и площадь
Два бимедиана выпуклого четырехугольника - это отрезки линии, соединяющие середины противоположные стороны, следовательно, каждая делит две стороны пополам. Два бимедиана и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают в точке, называемой «центроид вершины», и все делятся этой точкой пополам.
Четыре «мальтитуда» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры. в сторону, проходящую через середину противоположной стороны, отсюда деление последней стороны пополам. Если четырехугольник является циклическим (вписанным в круг), эти солодости совпадают в (все встречаются в) общей точке, называемой «антицентром».
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярный диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точка пересечения диагоналей всегда делит пополам противоположную сторону.
Конструкция серединного перпендикуляра образует четырехугольник из серединных перпендикуляров сторон другого четырехугольника.
Есть бесконечное множество линий, которые делят пополам площадь треугольника . Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они параллельны в центроиде треугольника; действительно, они единственные биссектрисы площади, проходящие через центроид. Три другие биссектрисы площади параллельны сторонам треугольника; каждая из них пересекает две другие стороны, чтобы разделить их на сегменты с пропорциями . Эти шесть линий являются одновременными по три одновременно: помимо того, что три медианы совпадают, любая одна медиана параллельна двум биссектрисам площади, параллельной сторонам.
Огибающая бесконечности биссектрис площади - это дельтоид (в широком смысле определяется как фигура с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми по направлению к внешней стороне дельтоида., делающее внутренние точки невыпуклым множеством). Вершины дельтовидной мышцы находятся посередине медиан; все точки внутри дельтовидной мышцы находятся на трех биссектрисах разных площадей, а все точки за ее пределами - только на одной. [1] Стороны дельтоида - это дуги гипербол, которые асимптотичны по отношению к удлиненным сторонам треугольника. Отношение площади огибающей биссектрис площади к площади треугольника инвариантно для всех треугольников и равно т.е. 0,019860... или менее 2%.
A рассекатель треугольника - это отрезок прямой, который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три скалывателя совпадают с (все проходят через) центр круга Шпикера, который является вписанной окружностью медиального треугольника. Скалыватели параллельны биссектрисам угла.
A разделитель треугольника - это отрезок прямой, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делающий пополам периметр. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.
Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр его вписанной окружности ). Их может быть один, два или три для любого данного треугольника. Линия, проходящая через центр внутренней части, делит пополам одну из площади или периметра тогда и только тогда, когда она также делит пополам другую.
Любая линия, проходящая через середину параллелограмма пополам. площадь и периметр.
Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра окружности или другого эллипса проходят через центр центра, а любые хорды через центр разделите площадь и периметр пополам. В случае круга это диаметры круга.
диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Если отрезок прямой, соединяющий диагонали четырехугольника, делит обе диагонали пополам, то этот отрезок (Линия Ньютона ) сам делится пополам на центр тяжести вершины.
Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении, также делит объем тетраэдра в таком же отношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам
Эта статья включает материал из биссектрисы угла на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.