Дельтовидная кривая

В геометрии, дельтовидная кривая, также известная как трикуспоидная кривая или кривая Штейнера, представляет собой гипоциклоид из трех бугров. Другими словами, это рулетка, созданная точкой на окружности круга, когда она катится без скольжения по внутренней части круга с радиусом в три или полтора раза больше его. Он назван в честь греческой буквы дельта, на которую он похож.

В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми к внешней стороне, что делает внутренние точки невыпуклым множеством.

• 1 Уравнения
• 2 Площадь и периметр
• 3 История
• 4 Приложения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Дельтоид может быть представлен (с точностью до поворота и смещения) следующие параметрические уравнения

$x\; =\; (b\; -\; a)\; cos\; \; (t)\; +\; a\; cos\; \; (b\; -\; aat)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; (ba)\; \backslash \; cos\; (t)\; +\; a\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{ba\}\; \{a\}\}\; t\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$y\; =\; (b\; -\; a)\; грех\; \; (t)\; -\; грех\; \; (b\; -\; aat),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; (ba)\; \backslash \; sin\; (t)\; -a\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ba\}\; \{a\}\}\; t\; \backslash \; right)\; \backslash ,,\}$

где a - радиус катящейся окружности, b - радиус круг, внутри которого катится вышеупомянутый круг. (На иллюстрации выше b = 3a.)

В комплексных координатах это становится

$z\; =\; 2\; aeit\; +\; ae\; -\; 2\; it\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 2ae\; ^\; \{it\}\; +\; ae\; ^\; \{-\; 2it\}\; \}$.

Переменная t может быть исключена из этих уравнений, чтобы получить декартово уравнение

$(x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2\; +\; 18\; a\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; -\; 27\; a\; 4\; =\; 8\; a\; (x\; 3\; -\; 3\; xy\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; +\; 18a\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; -\; 27a\; ^\; \{4\; \}\; =\; 8a\; (x\; ^\; \{3\}\; -3xy\; ^\; \{2\}),\; \backslash ,\}$

, поэтому дельтоид является плоской алгебраической кривой четвертой степени. В полярных координатах это становится

$r\; 4\; +\; 18\; a\; 2\; r\; 2\; -\; 27\; a\; 4\; =\; 8\; a\; r\; 3\; cos\; \; 3\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{4\}\; +\; 18a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; -27a\; ^\; \{4\}\; =\; 8ar\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cos\; 3\; \backslash \; theta\; \backslash ,.\}$

Кривая имеет три особенности, точки возврата соответствует $t\; =\; 0,\; \pm \; 2\; \pi \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0,\; \backslash ,\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\}$. Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет род ноль.

Линейный сегмент может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательной к дельтовидной. Точка касания проходит вокруг дельтовидной мышцы дважды, в то время как каждый конец проходит вокруг нее один раз.

двойная кривая дельтоида:

$x\; 3\; -\; x\; 2\; -\; (3\; x\; +\; 1)\; y\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -\; (3x\; +\; 1)\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

, который имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения воображаемым поворотом y ↦ iy, давая кривую

$x\; 3\; -\; x\; 2\; +\; (3\; x\; +\; 1)\; y\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -x\; ^\; \{2\}\; +\; (3x\; +\; 1)\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$

с двойной точкой в ​​начале реальной плоскости.

Площадь дельтоида равна $2\; \pi \; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; a\; ^\; \{2\}\}$где снова a - радиус катящегося круга; таким образом, площадь дельтоида в два раза больше, чем у катящейся окружности.

Периметр (общая длина дуги) дельтоида составляет 16a.

Обычный циклоиды были изучены Галилео Галилей и Марином Мерсенном еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые придуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы для зубьев шестерни. Леонард Эйлер заявляет, что первое рассмотрение настоящего дельтовидного тела произошло в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

• Набор комплексных собственных значений унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Поперечное сечение набора унистохастических матриц порядок три образует дельтоид.
• Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
• Пересечение двух параметризованных дельтоидов семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
• Набор всех линий Симсона данного треугольника, образующих конверт в форме дельтовидной. Это известно как дельтовидная кость Штейнера или гипоциклоида Штейнера в честь Якоба Штайнера, описавшего форму и симметрию кривой в 1856 году.
• Конверт из Биссектрисы области треугольника представляют собой дельтоид (в более широком смысле, определенном выше) с вершинами в средних точках медиан. Стороны дельтоида - это дуги гипербол, которые асимптотичны сторонам треугольника. [1]
• Дельтоид был предложен как решение Проблема с иглой Kakeya.

• Astroid, кривая с четырьмя выступами
• Псевдотреугольник
• треугольник Рело
• Суперэллипс
• Пара Туси
• Воздушный змей (геометрия) также называется дельтоидом

• E. Х. Локвуд (1961). «Глава 8: Дельтовидная мышца». Книга кривых. Издательство Кембриджского университета.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. С. 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. стр. 52. ISBN 0-14-011813-6.
• "Трикуспоид" в списке известных кривых МакТютора
• "Дельтовидный" в MathCurve
• Соколов Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press