Набор Какея

Показана игла, вращающаяся внутри дельтоида. На каждом этапе вращения (кроме случаев, когда конечная точка находится на острие дельтовидной мышцы) игла контактирует с дельтовидной мышцей в трех точках: двух конечных точках (синий) и одной точке касания (черный). Середина иглы (красная) описывает круг с диаметром, равным половине длины иглы.

В математике, набор Какея или набор Безиковича - это набор точек в евклидовом пространстве, который содержит единичный отрезок линии во всех направлениях. Например, диск радиуса 1/2 в евклидовой плоскости или шар радиуса 1/2 в трехмерном пространстве образует множество Какея. Большая часть исследований в этой области посвящена проблеме того, насколько маленькими могут быть такие множества. Безикович показал, что существуют наборы Безиковича с нулевой мерой.

A Набор игл Какея (иногда также известный как набор Какея) представляет собой набор (Безикович) на плоскости с более сильным свойством, что единичный линейный сегмент можно непрерывно вращать на 180 градусов внутри него, возвращаясь в исходное положение с обратной ориентацией. Опять же, диск радиуса 1/2 - это пример набора игл Kakeya.

• 1 Задача с иглой Какея
• 2 Наборы Безиковича
• 3 Наборы игл Какея
• 4 Гипотеза Какея
  • 4.1 Утверждение
  • 4.2 Максимальная функция Какея
  • 4.3 Результаты
• 5 Приложения к анализу
• 6 Аналоги и обобщения проблемы Какея
  • 6.1 Множества, содержащие круги и сферы
  • 6.2 Множества, содержащие k-мерные диски
  • 6.3 Множества Какея в векторных пространствах над конечными полями
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

В Проблема с иглой Kakeya спрашивается, существует ли минимальная площадь области D в плоскости, в которой игла единичной длины может поворачиваться на 360 °. Этот вопрос впервые был задан для выпуклых областей Сойчи Какея (1917). Минимальная площадь для выпуклых множеств достигается с помощью равностороннего треугольника высоты 1 и площади 1 / √3, как показано Pál.

Какея, кажется, предположил, что Множество Какея D с минимальной площадью без ограничения выпуклости было бы трехконечной формой дельтовидной. Однако это неверно; существуют невыпуклые множества Какея меньшего размера.

Метод «прорастания» для построения множества Какея малой меры. Здесь показаны два возможных способа разделить наш треугольник и перекрыть части, чтобы получить меньший набор: первый, если мы используем только два треугольника, и второй, если мы используем восемь. Обратите внимание, насколько малы размеры конечных фигур по сравнению с исходной начальной фигурой.

Безикович смог показать, что не существует нижней границы>0 для площади такой области D, в которой игла единицы длины можно перевернуть. Это построено на более ранних его работах на наборах плоскостей, которые содержат единичный сегмент в каждой ориентации. Такой набор теперь называется набором Безиковича . Работа Безиковича, показывающая, что такой набор может иметь сколь угодно малую меру, датируется 1919 годом. Аналитики, возможно, уже рассматривали эту проблему.

Один метод построения множества Безиковича (см. Рисунок для соответствующих иллюстраций) известен как «дерево Перрона» в честь Оскара Перрона, который смог упростить первоначальную конструкцию Безиковича: возьмите треугольник с высоту 1, разделите ее пополам и переместите обе части друг на друга так, чтобы их основания перекрывались на некотором небольшом интервале. Тогда эта новая фигура будет иметь уменьшенную общую площадь.

Теперь предположим, что мы делим наш треугольник на восемь подтреугольников. Для каждой последующей пары треугольников выполните ту же операцию перекрытия, которую мы описали ранее, чтобы получить четыре новых формы, каждая из которых состоит из двух перекрывающихся треугольников. Затем наложите друг на друга последовательные пары этих новых форм, частично сдвинув их основания друг на друга, так что у нас останутся две формы, и, наконец, перекрываем эти две таким же образом. В итоге мы получаем фигуру, похожую на дерево, но с площадью намного меньше, чем наш исходный треугольник.

Чтобы построить еще меньшее множество, разделите ваш треугольник, скажем, на 2 треугольника, каждый с базовой длиной 2, и выполните те же операции, что и раньше, когда мы разделили наш треугольник дважды и восемь раз. Если и количество перекрытий, которые мы делаем для каждого треугольника, и количество n подразделений нашего треугольника достаточно велики, мы можем сформировать дерево с площадью настолько малой, насколько нам нравится. Набор Безиковича может быть создан путем объединения трех вращений дерева Перрона, созданного из равностороннего треугольника.

Далее, адаптируя этот метод, мы можем построить последовательность множеств, пересечение которых является множеством Безиковича с нулевой мерой. Один из способов сделать это - заметить, что если у нас есть параллелограмм, две стороны которого находятся на прямых x = 0 и x = 1, то мы можем найти объединение параллелограммов также со сторонами на этих прямых, общая площадь которых произвольно мала. и которые содержат переводы всех прямых, соединяющих точку на x = 0 с точкой на x = 1, которые находятся в исходном параллелограмме. Это следует из небольшого изменения конструкции Безиковича выше. Повторяя это, мы можем найти последовательность наборов

$K\; 0\; \supseteq \; K\; 1\; \supseteq \; K\; 2\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; \backslash \; supseteq\; K\_\; \{1\}\; \backslash \; supseteq\; K\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\}$

каждый конечный объединение параллелограммов между прямыми x = 0 и x = 1, площади которых стремятся к нулю и каждая из которых содержит переводы всех прямых, соединяющих x = 0 и x = 1, в единичный квадрат. Пересечение этих множеств будет тогда множеством меры 0, содержащим сдвиги всех этих прямых, так что объединение двух копий этого пересечения будет множеством Безиковича меры 0.

Существуют и другие методы построения множеств Безиковича с нулевой мерой, помимо метода «прорастания». Например, Кахане использует наборы Кантора для построения набора Безиковича с нулевой мерой на двумерной плоскости.

Набор игл Какея, построенный из деревьев Перрона.

Используя трюк Pál, известный как Pál, соединяет (при наличии двух параллельных линий любой сегмент единичной линии можно непрерывно перемещать от одной к другой на множестве произвольной малой меры), набор, в котором единичный линейный сегмент может непрерывно вращаться на 180 градусов, может быть создан из набора Безиковича, состоящего из деревьев Перрона.

В 1941 году Х. Дж. Ван Альфен показал, что внутри круга радиусом 2 + ε (произвольное ε>0) находятся произвольные маленькие наборы игл Какея. Простые соединения Наборы игл Kakeya с меньшей площадью, чем дельтовидная, были обнаружены в 1965 году. Мелвин Блум и И. Дж. Шенберг независимо представил наборы игл Kakeya с площадью, приближающейся к $\pi \; 24\; (5–2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{24\}\}\; (5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \})\}$, число Блума-Шенберга . Шенберг предположил, что это число является нижней границей площади односвязных наборов игл Какея. Однако в 1971 году Ф. Каннингем показал, что при ε>0 существует односвязный набор игл Какея с площадью меньше ε, заключенный в круг радиуса 1.

Хотя существуют наборы игл Какея из произвольно малая положительная мера и множества Безиковича меры 0, не существует наборов игл Какея меры 0.

Утверждение

Тот же вопрос, насколько малы эти Безиковичи Затем множества можно было представить в более высоких измерениях, что привело к ряду гипотез, известных под общим названием гипотезы Какея, и помогло положить начало области математики, известной как геометрическая теория меры. В частности, если существуют множества Безиковича с нулевой мерой, могут ли они также иметь s-мерную меру Хаусдорфа ноль для некоторого измерения s, меньшего, чем размерность пространства, в котором они лежат? Этот вопрос приводит к следующей гипотезе:

Гипотеза о множестве Какея : Определить набор Безиковича в R как набор, который содержит единичный отрезок прямой во всех направлениях. Верно ли, что такие множества обязательно имеют размерность Хаусдорфа и размерность Минковского, равную n?

Это известно, что верно для n = 1, 2, но известны лишь частичные результаты в высших измерениях.

Максимальная функция Какея

Современный способ решения этой проблемы состоит в рассмотрении определенного типа максимальной функции, которую мы строим следующим образом: Обозначим S⊂ Rкак единичная сфера в n-мерном пространстве. Определим $T\; e\; \delta \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; (a)\}$как цилиндр длины 1, радиус δ>0 с центром в точке a ∈ R, длинная сторона которого параллельна направлению единичного вектора e ∈ S . Затем для локально интегрируемой функции f мы определяем максимальной функцией Какея функции f как

$f\; \ast \; \delta \; (e)\; =\; sup\; a\; \in \; R\; n\; 1\; m\; (T\; e\; \delta \; (a))\; \int \; T\; e\; \delta \; (a)\; |\; f\; (y)\; |\; dm\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; (e)\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{a\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; (T\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; (a))\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{T\_\; \{e\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; (a)\}\; |\; f\; (y)\; |\; dm\; (y)\}$

где m обозначает n-мерное Мера Лебега. Обратите внимание, что $f\; \ast \; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{*\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\}$определено для векторов e в сфере S.

. Тогда для этих функций существует гипотеза, что, если это правда, будет выводить гипотезу о множестве Какея для более высоких размерностей:

Гипотеза максимальной функции Какея : для всех ε>0 существует константа C ε>0 такая, что для любой функции f и всех δ>0 (обозначения см. в lp-пространстве )

$\Vert \; f\; \ast \; \delta \; \Vert \; L\; n\; (S\; n\; -\; 1)\; ⩽\; C\; ϵ\; \delta \; -\; ϵ\; \Vert \; f\; \Vert \; L\; n\; (R\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; f\; \_\; \{*\}\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{S\}\; ^\; \{n-1\})\}\; \backslash \; leqslant\; C\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; \backslash \; delta\; ^\; \{-\; \backslash \; epsilon\}\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}.\}$

Результаты

Некоторые результаты по доказательству гипотезы Какея следующее:

• Гипотеза Какея верна для n = 1 (тривиально) и n = 2 (Дэвис).
• В любом n-мерном пространстве Вольф показал, что размерность множества Какея должна быть не менее (n + 2) / 2.
• В 2002 году Кац и Тао улучшили границу Вольфа до $(2\; -\; 2)\; (n\; -\; 4)\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; (n-4)\; +3\}$, что лучше для n>4.
• В 2000 году Кац, Таба и Тао доказали, что измерение Минковского трехмерных множеств Какея строго больше, чем 5/2.
• В 2000 г., Жан Бургейн связал проблему Какея с арифметической комбинаторикой, которая включает гармонический анализ и аддитивную теорию чисел.
• . В 2017 году Кац и Заль улучшил нижнюю привязанный к измерению Хаусдорфа Безиковича, задает в 3 измерениях как $5/2\; +\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; 5/2\; +\; \backslash \; epsilon\}$для абсолютной константы $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$.

Как ни странно, эти предположения оказались связаны с рядом вопросов в других областях, особенно в гармоническом анализе. Например, в 1971 году Чарльз Фефферман смог использовать конструкцию множества Безиковича, чтобы показать, что в размерностях больше 1 усеченные интегралы Фурье, взятые по шарам с центром в начале координат и радиусами, стремящимися к бесконечности, не обязательно сходятся в L norm, когда p ≠ 2 (это отличается от одномерного случая, когда такие усеченные интегралы сходятся).

Множества, содержащие круги и сферы

Аналоги проблемы Какея включают рассмотрение множеств, содержащих более общие формы, чем линии, такие как круги.

• В 1997 и 1999 годах Вольф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, т. Е. Размерность равна размерности пространства, в котором она находится, и доказал это, доказав границы для кругового максимальная функция, аналогичная максимальной функции Какея.

• Было высказано предположение, что существуют множества, содержащие сферу вокруг каждой точки меры нуль. Результаты Элиаса Стейна доказали, что все такие множества должны иметь положительную меру при n ≥ 3, а Марстранд доказал то же самое для случая n = 2.

Множества, содержащие k-мерные диски

Обобщение гипотезы Какея состоит в том, чтобы рассматривать множества, которые содержат вместо отрезков прямых в каждом направлении, скажем, части k-мерных подпространств. Определите (n, k) -множество Безиковича K как компактное множество в R, содержащее транслят каждого k-мерного единичного диска, имеющего нулевую меру Лебега. То есть, если B обозначает единичный шар с центром в нуле, для любого k-мерного подпространства P существует x ∈ R такое, что (P ∩ B) + x ⊆ K. Следовательно, a (n, 1) -Besicovitch set - стандартный набор Besicovitch, описанный ранее.

Гипотеза (n, k) -Безиковича: Не существует (n, k) -множеств Безиковича для k>1.

В 1979 году Марстранд доказал, что не существует (3, 2) - Наборы Безиковича. Однако примерно в то же время Фальконер доказал, что не существует (n, k) наборов Безиковича для 2k>n. Наилучшая оценка на сегодняшний день принадлежит Бургейну, который доказал, что таких множеств не существует, когда 2 + k>n.

Множества Какея в векторных пространствах над конечными полями

В 1999 году Вольф представил конечное поле аналог проблемы Какея, в надежде, что методы решения этой гипотезы могут переносится на евклидов случай.

Гипотеза Какея с конечным полем : Пусть F - конечное поле, пусть K ⊆ F - множество Какея, т.е. для каждого вектора y ∈ F существует x ∈ F такой, что K содержит прямую {x + ty: t ∈ F }. Тогда множество K имеет размер не менее c n|F| где c n>0 - константа, которая зависит только от n.

доказал эту гипотезу в 2008 году, показав, что утверждение верно для c n = 1 / n !. В своем доказательстве он заметил, что любой многочлен от n переменных степени меньше | F | исчезающий на множестве Какейя должен быть тождественно нулем. С другой стороны, многочлены от n переменных степени меньше | F | образуют векторное пространство размерности

$(|\; F\; |\; +\; n\; -\; 1\; n)\; \ge \; |\; F\; |\; п\; п!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; |\; +\; n-1\; \backslash \; choose\; n\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; |\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Следовательно, есть хотя бы один нетривиальный многочлен степени меньше | F | который исчезает на любом заданном множестве с меньшим, чем это количество точек. Объединение этих двух наблюдений показывает, что наборы Какея должны иметь как минимум | F | / n! точки.

Неясно, распространятся ли методы на доказательство исходной гипотезы Какея, но это доказательство действительно подтверждает исходную гипотезу, делая по существу алгебраические контрпримеры маловероятными. Двир написал обзорную статью о недавнем прогрессе в решении задачи Kakeya конечного поля и ее связи с экстракторами случайности.

• набор Никодима

• Безикович, Абрам (1963). «Проблема Какея». Американский математический ежемесячник. 70 (7): 697–706. DOI : 10.2307 / 2312249. JSTOR 2312249. MR 0157266.
• Двир, Зеев (2009). «О размере множеств Какея в конечных полях». Журнал Американского математического общества. 22(4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336. Bibcode : 2009JAMS... 22.1093D. doi : 10.1090 / S0894-0347-08-00607-3. MR 2525780.
• Falconer, Kenneth J. (1985). Геометрия фрактальных множеств. Кембриджские трактаты по математике. 85 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284.
• Какея, Соичи (1917). «Некоторые проблемы по максимуму и минимуму по овалам». Научный доклад Тохоку. 6 : 71–88. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Кац, Нетс Хок ; Таба, Изабелла ; Тао, Теренс (2000). «Улучшенная оценка размерности Минковского множеств Безиковича в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$" (PDF). Annals of Mathematics. 152 (2): 383–446. doi : 10.2307 / 2661389. JSTOR 2661389. MR 1804528.

• Вольф, Томас (1999). «Недавняя работа, связанная с проблемой Какея». В Росси, Хьюго (редактор). Перспективы в математике: Приглашенные доклады по случаю 250-летия Принстонского университета. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Стр. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476.
• Вольф, Томас (2003). Саба, Изабелла ; Шубин, Кэрол (ред.). Лекции по гармоническому анализу. Серия университетских лекций. 29 . С предисловием Чарльза Феффермана и предисловием Изабеллы Сабы. Providence, RI: Американское математическое общество. doi : 10.1090 / ulect / 029. ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254.

• Какея из Университета Британской Колумбии
• Безикович из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
• Проблема с иглой Какея в mathworld
• Доказательство Двира гипотезы Какея о конечном поле в блоге Теренса Тао
• Введение в наборы Безиковича-Какея