Геометрическая теория меры

редактировать

Исследование геометрических свойств множеств через теорию меры

В математике, геометрическая теория меры (GMT ) - это изучение геометрических свойств устанавливает (обычно в евклидовом пространстве ) через теорию меры. Это позволяет математикам расширять инструменты от дифференциальной геометрии до гораздо более широкого класса поверхностей, которые не обязательно гладкие.

Содержание

1 История
2 Важно notions
3 Примеры
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

История

Геометрическая теория меры родилась из желания решить проблему Плато (названный в честь Джозеф Плато ), который спрашивает, существует ли для каждой гладкой замкнутой кривой в $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ поверхность с наименьшей площадью среди всех поверхностей, граница которых равна заданной кривой. Такие поверхности имитируют мыльные пленки.

. Проблема оставалась открытой с момента ее постановки в 1760 году Лагранжем. Она была решена независимо в 1930-х годах Джесси Дугласом и Тибором Радо при определенных топологических ограничениях. В 1960 году Герберт Федерер и Венделл Флеминг использовали теорию токов, с помощью которой они смогли решить задачу ориентируемого Плато аналитически без топологической ограничения, тем самым порождая геометрическую теорию меры. Позже Джин Тейлор после Фред Альмгрен доказал законы Плато для сингулярностей, которые могут возникать в этих более общих мыльных пленках и скоплениях мыльных пузырей.

Важные понятия

Следующие объекты являются центральными в теории геометрической меры:

Выпрямляемые множества (или радоновские меры ), которые являются множествами. с минимально возможной регулярностью, необходимой для допуска приближенных касательных пространств.
Токи, обобщение концепции ориентированных многообразий, возможно с граница.
Плоские цепи, альтернативное обобщение концепции многообразий, возможно, с границей.
множеств Каччопполи (также известных как множества локально конечного периметра), обобщение концепции многообразий, к которым применима теорема о расходимости.

Следующие теоремы и концепции также являются центральными:

Формула площади, которая обобщает концепцию замена переменных при интегрировании.
Формула площади, которая обобщает и адаптирует теорему Фубини к геометрической теории меры.
изопериметрическое неравенство, которое s Указывает, что наименьшая возможная окружность для данной площади - это длина круглой окружности.
Плоская сходимость, что обобщает концепцию сходимости многообразия.

Примеры

Неравенство Брунна – Минковского для n-мерных объемов выпуклых тел K и L,

vol ((1 - λ) K + λ L) 1 / N ≥ (1 - λ) объем (К) 1 / N + λ объем (L) 1 / n, {\ displaystyle \ mathrm {vol} {\ big (} (1- \ lambda) K + \ лямбда L {\ big)} ^ {1 / n} \ geq (1- \ lambda) \ mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + \ lambda \, \ mathrm {vol} (L) ^ { 1 / n},}

{\ mathrm {vol}} {\ big (} (1- \ lambda) K + \ lambda L {\ big)} ^ {{1 / n}} \ geq (1- \ лямбда) {\ mathrm {vol}} (K) ^ {{1 / n}} + \ lambda \, {\ mathrm {vol}} (L) ^ {{1 / n}},

может быть доказано на одной странице и быстро дает классическое изопериметрическое неравенство. Неравенство Брунна – Минковского также приводит к теореме Андерсона в статистике. Доказательство неравенства Брунна – Минковского предшествовало современной теории меры; Развитие теории меры и интегрирование Лебега позволило установить связи между геометрией и анализом до такой степени, что в интегральной форме неравенства Брунна – Минковского, известного как неравенство Прекопа – Лейндлера Кажется, что геометрия почти полностью отсутствует.

См. Также

Ссылки

Федерер, Герберт ; Флеминг, Венделл Х. (1960), «Нормальные и интегральные токи», Annals of Mathematics, II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307 / 1970227, JSTOR 1970227, MR 0123260, Zbl 0187.31301. Первая статья Федерера и Флеминга, иллюстрирующая их подход к теории периметров, основанный на теории токов.
Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, серия Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
Федерер, Х. (1978), "Коллоквиумные лекции по геометрической теории меры", Бюл. Амер. Математика. Soc., 84 (3): 291–338, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0
Фоменко, Анатолий Т. (1990), Вариационные принципы в топологии (многомерная теория минимальных поверхностей), Математика и ее приложения (Книга 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
Гарднер, Ричард Дж. ( 2002), "Неравенство Брунна-Минковского", Бюл. Амер. Математика. Soc. (NS), 39 (3): 355–405 (электронный), doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2, ISSN 0273-0979, MR 1898210
Маттила, Пертти (1999), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах, Лондон: Cambridge University Press, стр. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
Морган, Фрэнк (2009), Геометрическая теория меры: Руководство для начинающих (четвертое издание), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press Inc., стр. Viii + 249, ISBN 978-0-12-374444-9, MR 2455580
Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура особенностей в минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics, Second Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307 / 1970949, JSTOR 1970949, MR 0428181.
О'Нил, ТС (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

Внешние ссылки

Страница Питера Мёртерса по Гринвичу [1]
Страница Тоби О'Нила по Гринвичу со ссылками [2pting