L ^p пространство

В математике, то L ^р пространства являются функциональными пространствами, определенные с использованием естественного обобщения р -норма для конечномерных векторных пространств. Иногда их называют пространствами Лебега в честь Анри Лебега ( Dunford amp; Schwartz 1958, III.3), хотя, согласно группе Бурбаки ( Bourbaki 1987), они были впервые введены Фриджесом Риссом ( Riesz 1910). Пространства L ^p образуют важный класс банаховых пространств в функциональном анализе и топологических векторных пространств. Поскольку они играют ключевую роль в математическом анализе пространств меры и вероятностей, пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, финансов, инженерии и других дисциплин.

• 1 Приложения
  • 1.1 Статистика
  • 1.2 Неравенство Хаусдорфа – Юнга
  • 1.3 Гильбертовы пространства
• 2 р -норм в конечных размерах
  • 2.1 Определение
    • 2.1.1 Связь между p -нормами
  • 2.2 Когда 0 lt; p lt;1
  • 2.3 Когда p = 0
• 3 р -норм в бесконечных размерах и л ^р пространствах
  • 3.1 Пространство последовательностей ℓ ^p
  • 3.2 Общее ℓ ^p -пространство
• 4 L ^p пространства и интегралы Лебега
  • 4.1 Особые случаи
• 5 Свойства L ^р пространств
  • 5.1 Двойные пространства
  • 5.2 Вложения
  • 5.3 Плотные подпространства
• 6 L ^p (0 lt; p lt;1)
  • 6.1 L ⁰ пространство измеримых функций
• 7 Обобщения и расширения
  • 7.1 Слабый L ^p
  • 7.2 Весовые пространства L ^p
  • 7.3 L ^p пространства на многообразиях
  • 7.4. Векторнозначные пространства L ^p
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Статистика

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии, такие как среднее значение, медиана и стандартное отклонение, определяются в терминах показателей L ^p, а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач.

В регрессии со штрафами «штраф L1» и «штраф L2» относятся к штрафу либо нормы L ¹ вектора значений параметров решения (то есть суммы его абсолютных значений), либо его нормы L ² (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO, поощряют решения, в которых многие параметры равны нулю. Методы, которые используют штраф L2, такие как регрессия гребня, поощряют решения, в которых большинство значений параметров малы. Упругая сетевая регуляризация использует штрафной член, который представляет собой комбинацию нормы L ^{1 и} нормы L ² вектора параметров.

Неравенство Хаусдорфа – Юнга.

Преобразование Фурье для вещественной прямой (или, для периодических функций, см. Ряд Фурье ), отображает L ^p ( R) в L ^q ( R) (или L ^p ( T) в ℓ ^q) соответственно, где 1 ≤ p ≤ 2 а также 1/п + 1/q= 1. Это следствие интерполяционной теоремы Рисса – Торина и уточняется с помощью неравенства Хаусдорфа – Юнга.

Напротив, если p gt; 2, преобразование Фурье не отображается в L ^q.

Гильбертовы пространства

Гильбертовые пространства занимают центральное место во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления. Пространства L ² и л ² оба являются гильбертовыми. В самом деле, выбирая гильбертово базис (т.е. максимального ортонормированного подмножества L ² или любого гильбертова пространства), один видит, что все гильбертовые изометричен л ² ( Х), где Е представляет собой набор с соответствующей мощностью.

Иллюстрации единичных окружностей (смотрите также суперэллипс ) в R ², основанные на различном р -норм (каждый вектор из начала координат к единичной окружности имеет длину одного, длина вычисляются с длиной-формулой соответствующего р).

Длина вектора x = ( x 1, x 2,..., x n) в n -мерном вещественном векторном пространстве R ⁿ обычно задается евклидовой нормой :

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = \ left ({x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + \ dotsb + {x_ {n}) } ^ {2} \ right) ^ {1/2}.}$

Евклидово расстояние между двумя точками x и y равно длине || х - у || 2 прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние недостаточно для определения фактических расстояний в заданном пространстве. Аналогию с этим предлагают водители такси в сеточном плане улиц, которые должны измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до места назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния, которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельно друг другу. Класс p -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих областях математики, физики и информатики.

Определение

Для вещественного числа р ≥ 1, то р -норм или L ^р -нормы из й определяются

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n}) | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}.}$

Полоски абсолютных значений не нужны, если p - рациональное число и в сокращенном виде имеет четный числитель.

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является 2 -нормой, а 1 -норма - нормой, соответствующей прямолинейному расстоянию.

L ^∞ -норм или максимальная норма (или равномерная норма) является пределом л ^р -норма для р → ∞. Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = \ max \ left \ {| x_ {1} |, | x_ {2} |, \ dotsc, | x_ {n} | \ right \ }}$

См. L -infinity.

Для всех р ≥ 1, то р -норм и максимальная норма, как определено выше, действительно удовлетворяют свойства «функции длины» (или норма ), которые заключаются в следующем:

• только нулевой вектор имеет нулевую длину,
• длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
• длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).

Абстрактно это означает, что R ⁿ вместе с p -нормой является банаховым пространством. Это банахово пространство является L ^p -пространством над R ⁿ.

Связь между p -нормами

Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает меньше, чем длина отрезка прямой между ними (евклидово или « прямолинейное » расстояние). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {1}.}$

Этот факт обобщается на p -нормы в том смысле, что p -норма || х || p любого заданного вектора x не растет вместе с p:

|| х || p + a ≤ || х || p для любого вектора x и действительных чисел p ≥ 1 и a ≥ 0. (На самом деле это остается верным для 0 lt; p lt;1 и a ≥ 0.)

Для противоположного направления известно следующее соотношение между 1- нормой и 2- нормой:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ left \ | x \ right \ | _ {2}.}$

Это неравенство зависит от размерности n лежащего в основе векторного пространства и непосредственно следует из неравенства Коши – Шварца.

В общем, для векторов из C ^n, где 0 lt; r lt; p:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {r} \ leq n ^ {{\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {p}}} \ left \ | x \ right \ | _ {p}.}$

Это следствие неравенства Гёльдера.

Когда 0 lt; p lt;1

Астроид, единичный круг в p =2/3 метрика

В R ⁿ при n gt; 1 формула

${\ Displaystyle \ | х \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ cdots + | x_ {n} | ^ {p } \ right) ^ {1 / p}}$

определяет абсолютно однородную функцию при 0 lt; p lt;1 ; однако результирующая функция не определяет норму, потому что она не является субаддитивной. С другой стороны, формула

${\ Displaystyle | x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n} | ^ {p}}$

определяет субаддитивную функцию за счет потери абсолютной однородности. Однако он определяет F-норму, однородную степени p.

Следовательно, функция

${\ displaystyle d_ {p} (x, y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}$

определяет метрику. Метрическое пространство ( R ⁿ, d p) обозначается ℓ n ^p.

Хотя p -единичный шар B n ^p вокруг начала координат в этой метрике является «вогнутым», топология, определяемая на R ⁿ метрикой d p, является обычной топологией векторного пространства R ⁿ, следовательно, ℓ n ^p является локально выпуклой топологической векторное пространство. Помимо этого качественного заявления, количественный способ измерения отсутствие выпуклости л п ^р является Обозначим через С р ( п) наименьшая константа C такая, что многократное С В п ^р о р -Unit шара содержит выпуклую оболочку B n ^p, равное B n ¹. Тот факт, что при фиксированном p lt;1 имеем

${\ displaystyle C_ {p} (n) = n ^ {{\ frac {1} {p}} - 1} \ to \ infty, \ quad {\ text {as}} n \ to \ infty}$

показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей ℓ ^p, определенное ниже, больше не является локально выпуклым.

Когда p = 0

Существует одна ℓ 0 нормы, а другая функция называется ℓ 0 «норма» (в кавычках).

Математическое определение ℓ 0 нормы было установлено банаховом «s теории линейных операций. Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию, представленную F-норма

${\ displaystyle (x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {n} 2 ^ {- n} {\ frac {| x_ {n} |} {1+ | x_ {n} |}},}$

который обсуждается Стефаном Ролевичем в метрических линейных пространствах. ℓ 0 -нормированной пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармонического анализа.

Другая функция была названа ℓ 0 «нормой» Дэвидом Донохо - чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является правильной нормой - это количество ненулевых элементов вектора x. Многие авторы злоупотребляют терминологией, опуская кавычки. Определяя 0 ⁰ = 0, нулевая «норма» x равна

${\ displaystyle | x_ {1} | ^ {0} + | x_ {2} | ^ {0} + \ cdots + | x_ {n} | ^ {0}.}$

Анимированный gif p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.

Это не норма, потому что он неоднороден. Например, масштабирование вектора x положительной константой не изменяет «норму». Несмотря на эти дефекты как математическую норму, ненулевая «норма» счета используется в научных вычислениях, теории информации и статистике, особенно в сжатых измерениях при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе. Несмотря на то, что это не норма, соответствующая метрика, известная как расстояние Хэмминга, является допустимым расстоянием, поскольку для расстояний не требуется однородности.

Пространство последовательностей ℓ ^p

Дополнительная информация: Пространство последовательности

Р -норм может быть расширен до векторов, которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательность ), что дает пространство л ^р. В качестве особых случаев сюда входят:

• ℓ ¹, пространство последовательностей, серия абсолютно сходится,
• ℓ ², пространство квадратично суммируемых последовательностей, который представляет собой гильбертово пространство, и
• ℓ ^∞, пространство ограниченных последовательностей.

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ ldots) + (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n}, y_ {n + 1}, \ ldots) \\ = {} amp; (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n + 1} + y_ {n + 1}, \ ldots), \\ [6pt] amp; \ lambda \ cdot \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ ldots \ right) \\ = {} amp; (\ lambda x_ {1}, \ lambda x_ {2}, \ ldots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ ldots). \ end {align}}}$

Определите p -норму:

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ cdots + | x_ {n}) | ^ {p} + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ cdots \ right) ^ {1 / p}}$

Здесь возникает сложность, заключающаяся в том, что ряд справа не всегда сходится, поэтому, например, последовательность, состоящая только из единиц, (1, 1, 1,...), будет иметь бесконечную p -норму для 1 ≤ p lt;∞. Тогда пространство ℓ ^p определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел таких, что p -норма конечна.

Можно проверить, что с увеличением p множество ℓ ^p увеличивается. Например, последовательность

${\ displaystyle \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ ldots, {\ frac {1} {n}}, {\ frac {1} {n + 1}}, \ ldots \ right)}$

не в л ¹, но в л ^р для р gt; 1, как серия

${\ displaystyle 1 ^ {p} + {\ frac {1} {2 ^ {p}}} + \ cdots + {\ frac {1} {n ^ {p}}} + {\ frac {1} {( n + 1) ^ {p}}} + \ cdots,}$

расходится при p = 1 ( гармонический ряд ), но сходится при p gt; 1.

Также можно определить ∞ -норму с помощью супремума :

${\ Displaystyle \ влево \ | х \ вправо \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {1} |, | x_ {2} |, \ dotsc, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ ldots)}$

и соответствующее пространство ℓ ^∞ всех ограниченных последовательностей. Оказывается, что

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left \ | x \ right \ | _ {p}}$

если правая часть конечна или левая бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать ℓ ^p пространств для 1 ≤ p ≤ ∞.

Р -норме, таким образом, определенный на л ^р действительно является нормой, а ℓ ^р вместе с этой нормой является банахово пространство. Полностью общее пространство L ^p получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции. Для определения p -нормы используется интеграл вместо суммы.

Общее ℓ ^p -пространство

В полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство над общим набором индексов (и) как ${\ displaystyle \ ell ^ {p} (I)}$ ${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle 1 \ Leq p lt;\ infty}$

${\ displaystyle \ ell ^ {p} (I) = \ left \ {(x_ {i}) _ {i \ in I} \ in \ mathbb {K} ^ {I}: \ sum _ {i \ in I } | x_ {i} | ^ {p} lt;\ infty \ right \} \,}$,

где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых ненулевое (см. также Безусловная сходимость ). С нормой

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$

пространство становится банаховым. В случае, когда конечно с элементами, эта конструкция дает R ⁿ с -нормой, определенной выше. Если счетно бесконечно, это в точности пространство последовательностей, определенное выше. Для несчетных множеств это не- отделимо банахово пространство, которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел из -sequence пространств. ${\ displaystyle \ ell ^ {p} (I)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

Набор индексов можно превратить в пространство меры, придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру. Тогда пространство - это просто частный случай более общего -пространства (см. Ниже). ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p} (I)}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Л ^р пространство может быть определено как пространство измеримых функций, для которых -м мощность абсолютного значения является Лебегу, где определены функции, которые согласны почти везде. В более общем смысле, пусть 1 ≤ p lt;∞ и ( S, Σ, μ) - пространство с мерой. Рассмотрим набор всех измеримых функций от S до C или R, абсолютное значение которых в p-й степени имеет конечный интеграл, или, что то же самое, что ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} \ Equiv \ left (\ int _ {S} | f | ^ {p} \; \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p} lt;\ infty}$

Набор таких функций образует векторное пространство со следующими естественными операциями:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} (е + г) (х) amp; = е (х) + г (х), \\ (\ лямбда f) (х) amp; = \ лямбда е (х) \ конец { выровнено}}}$

для любого скаляра λ.

То, что сумма два р -й мощности интегрируемых функций снова р -м мощность интегрируемые следует из неравенства

${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {p} ^ {p} \ leq 2 ^ {p-1} \ left (\ | f \ | _ {p} ^ {p} + \ | g \ | _ {p} ^ {p} \ right).}$

(Это происходит из-за выпуклости for.) ${\ Displaystyle т \ mapsto т ^ {р}}$${\ displaystyle p \ geq 1}$

На самом деле, правда больше. Неравенство Минковского утверждает, что неравенство треугольника выполняется для || || стр. Таким образом, набор функций, интегрируемых в p -й степени, вместе с функцией || || p, является полунормированным векторным пространством, которое обозначается через. ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p} (S, \, \ mu)}$

При p = ∞ пространство - это пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду, с существенной верхней гранью его модуля как нормы: ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (S, \ mu)}$

${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} \ Equiv \ Inf \ {C \ geq 0: | f (x) | \ leq C {\ text {почти для каждого}} x \}.}$

Как и в дискретном случае, если существует q lt;∞ такое, что f   ∈ L ^∞ ( S, μ) ∩ L ^q ( S, μ), то  

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to \ infty} \ | f \ | _ {p}.}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p} (S, \, \ mu)}$может быть преобразовано в нормированное векторное пространство стандартным способом; один просто занимает фактор - пространство относительно ядра из || || стр. Поскольку для любой измеримой функции f имеем || f  || p = 0 тогда и только тогда, когда f   = 0 почти всюду, ядро || || p не зависит от p,    

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} \ Equiv \ {f: f = 0 \ \ mu {\ text {-почти везде}} \} = \ ker (\ | \ cdot \ | _ {p}) \ qquad \ forall \ 1 \ leq p lt;\ infty}$

В фактор-пространстве две функции f и g отождествляются, если f   = g почти всюду. Результирующее нормированное векторное пространство по определению    

${\ Displaystyle L ^ {p} (S, \ mu) \ Equiv {\ mathcal {L}} ^ {p} (S, \ mu) / {\ mathcal {N}}}$

В общем, этот процесс нельзя повернуть вспять: не существует последовательного способа определить «канонического» представителя каждого смежного класса in. Для Однако существует теория лифтов, позволяющих такое восстановление. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$

Когда понимается основное пространство меры S, L ^p ( S, μ) часто обозначается сокращенно L ^p ( μ) или просто L ^p.

Для 1 ≤ p ≤ ∞ L ^p ( S, μ) - банахово пространство. Тот факт, что L ^p полон, часто называют теоремой Рисса-Фишера, и его можно доказать с помощью теорем сходимости для интегралов Лебега.

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера.

Особые случаи

Подобно ℓ ^р пространств, L ² является единственным гильбертово пространство между L ^р пространств. В комплексном случае, скалярное произведение на L ² определяется

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {S} f (x) {\ overline {g (x)}} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет использовать более обширную теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике. Функции L ² иногда называют квадратично интегрируемых функций, интегрируемых с квадратом функций или квадратично суммируемых функций, но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком - то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана ( Titchmarsh 1976).

Если использовать комплекснозначные функции, пространство L ^∞ является коммутативной C * -алгеброй с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана. Элемент из L ^∞ определяет ограниченный оператор в любом пространстве L ^p умножением.

Для 1 ≤ р ≤ ∞ в л ^р пространства являются частным случаем L ^р пространств, когда S = N, а μ является подсчет мера на N. В более общем смысле, если рассматривать любое множество S со счетной мерой, результирующее пространство L ^p обозначается ℓ ^p ( S). Например, пространство ℓ ^p ( Z) - это пространство всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении p -нормы в таком пространстве суммируются все целые числа. Пространство ℓ ^p ( n), где n - множество из n элементов, есть R ⁿ с его p -нормой, как определено выше. В любом гильбертовом пространстве, каждое пространство L ^- линейно изометричен подходящим л ² ( I), где мощность множества I является мощностью произвольного гильбертова основы для этого конкретного L ².

Двойные пространства

Сопряженное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) из L ^р ( ц) для 1 lt; р lt;∞ имеет естественный изоморфизм с L ^д ( ц), где Q является таким, что 1/п + 1/q= 1 (т.е. q =п/п - 1). Этот изоморфизм связывает g ∈ L ^q ( μ) с функционалом κ p ( g) ∈ L ^p ( μ) ^∗, определенным равенством

${\ displaystyle f \ mapsto \ kappa _ {p} (g) (f) = \ int fg \, \ mathrm {d} \ mu \}$ для каждого ${\ displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mu)}$

Тот факт, что κ p ( g) корректно определен и непрерывен, следует из неравенства Гёльдера. κ p  : L ^q ( μ) → L ^p ( μ) ^∗ - линейное отображение, которое является изометрией в соответствии с экстремальным случаем неравенства Гёльдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона – Никодима, см.), Что любой G ∈ L ^p ( μ) ^∗ может быть выражен следующим образом: т. Е. Что κ p находится на. Поскольку κ р является на и изометрической, это изоморфизм из банаховых пространств. Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно просто говорят, что L ^q - двойственное банахово пространство к L ^p.

Для 1 lt; р lt;∞, пространство L ^р ( μ) является рефлексивный. Пусть κ p такое же, как указано выше, и пусть κ q  : L ^p ( μ) → L ^q ( μ) ^∗ - соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение из L ^p ( μ) в L ^p ( μ) ^∗∗, полученное составлением κ q с транспонированным (или присоединенным) обратным к κ p:

${\ displaystyle j_ {p}: L ^ {p} (\ mu) \ mathrel {\ overset {\ kappa _ {q}} {\ longrightarrow}} L ^ {q} (\ mu) ^ {*} \ mathrel {\ overset {\ left (\ kappa _ {p} ^ {- 1} \ right) ^ {*}} {\ longrightarrow}} L ^ {p} (\ mu) ^ {**}}$

Это отображение совпадает с каноническим вложением J множества L ^p ( µ) в его бидуал. Более того, отображение j p на, как композиция двух на изометрии, и это доказывает рефлексивность.

Если мера μ на S является сигма-конечна, то сопряженное L ¹ ( μ) изометрически изоморфно L ^∞ ( μ) (более точно, отображение κ 1, соответствующий р = 1 является изометрией из L ^∞ ( μ) на L ¹ ( μ) ^∗).

Двойник L ^∞ более тонкий. Элементы L ^∞ ( μ) ^∗ можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами на S, абсолютно непрерывными относительно μ. Смотрите ba space для более подробной информации. Если мы примем аксиому выбора, это пространство будет намного больше, чем L ¹ ( μ), за исключением некоторых тривиальных случаев. Тем не менее, Сахарон Шелы доказали, что существует относительно последовательных расширений Цермели-Френкель теории множеств (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел имеет свойство Бэра »), в котором сопряженный л ^∞ является ℓ ¹.

Вложения

Говоря простым языком, если 1 ≤ p lt; q ≤ ∞, то L ^p ( S, μ) содержит функции, которые являются более локально сингулярными, в то время как элементы L ^q ( S, μ) могут быть более разбросанными. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой (0, ∞). Непрерывная функция в L ¹ может взорваться около 0, но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в L ^∞ вовсе не обязательно должны убывать, но разрушение не допускается. Точный технический результат заключается в следующем. Предположим, что 0 lt; p lt; q ≤ ∞. Потом:

1. L ^q ( S, μ) ⊂ L ^p ( S, μ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры, и
2. L ^p ( S, μ) ⊂ L ^q ( S, μ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств ненулевой, но сколь угодно малой меры.

Для вещественной прямой с мерой Лебега оба условия не выполняются. В обоих случаях вложение непрерывно, т. Е. Тождественный оператор является ограниченным линейным отображением из L ^q в L ^p в первом случае и из L ^p в L ^q во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств L ^p.) Действительно, если область S имеет конечную меру, можно выполнить следующее явное вычисление, используя неравенство Гёльдера

${\ displaystyle \ \ | \ mathbf {1} f ^ {p} \ | _ {1} \ leq \ | \ mathbf {1} \ | _ {q / (qp)} \ | f ^ {p} \ | _ {q / p}}$

ведущий к

${\ Displaystyle \ \ | е \ | _ {p} \ leq \ mu (S) ^ {1 / p-1 / q} \ | f \ | _ {q}}$.

Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, является оптимальной в том смысле, что операторная норма тождества I  : L ^q ( S, μ) → L ^p ( S, μ) в точности равна

${\ Displaystyle \ | I \ | _ {q, p} = \ mu (S) ^ {1 / p-1 / q}}$

случай равенства достигается именно тогда, когда f   = 1 μ почти всюду.  

Плотные подпространства

В этом разделе мы предполагаем, что: 1 ≤ p lt;∞.

Пусть ( S, Σ, μ) - пространство с мерой. Интегрируемая простая функция F на S является одной из форм   

${\ displaystyle f = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} \ mathbf {1} _ {A_ {j}}}$

где a j скаляр, A j ∈ Σ имеет конечную меру и является индикаторной функцией множества для j = 1,..., n. По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в L ^p ( S, Σ, μ). ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A_ {j}}}$ ${\ displaystyle A_ {j}}$

Можно сказать больше, когда S - нормальное топологическое пространство, а Σ - его борелевская σ –алгебра, т. Е. Наименьшая σ –алгебра подмножеств S, содержащая открытые множества.

Предположим, что V ⊂ S - открытое множество с μ ( V) lt;∞. Можно доказать, что для любого борелевского множества A ∈ Σ, содержащегося в V, и для любого ε gt; 0 существуют замкнутое множество F и открытое множество U такие, что

${\ Displaystyle F \ подмножество A \ подмножество U \ подмножество V \ quad {\ text {and}} \ quad \ mu (U) - \ mu (F) = \ mu (U \ setminus F) lt;\ varepsilon}$

Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона 0 ≤ φ ≤ 1 на S, которая равна 1 на F и 0 на S ∖ U, причем

${\ displaystyle \ int _ {S} | \ mathbf {1} _ {A} - \ varphi | \, \ mathrm {d} \ mu lt;\ varepsilon \.}$

Если S покрывается возрастающей последовательностью ( V n) открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство p -интегрируемых непрерывных функций плотно в L ^p ( S, Σ, μ). Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств V n.

В частности, это применимо, когда S = R ^d и когда μ - мера Лебега. Пространство непрерывных функций с компактным носителем плотно в L ^p ( R ^d). Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в L ^p ( R ^d) ; это пространство является линейной оболочкой индикаторных функций ограниченных интервалов, когда d = 1, ограниченных прямоугольников, когда d = 2, и, в более общем случае, произведений ограниченных интервалов.

Некоторые свойства общих функций в L ^p ( R ^d) сначала доказываются для непрерывных функций с компактным носителем (иногда для ступенчатых функций), а затем распространяются по плотности на все функции. Например, таким образом доказывается, что трансляции непрерывны на L ^p ( R ^d) в следующем смысле:

${\ displaystyle \ forall f \ in L ^ {p} \ left (\ mathbf {R} ^ {d} \ right): \ quad \ left \ | \ tau _ {t} ff \ right \ | _ {p} \ to 0, \ quad {\ text {as}} \ mathbf {R} ^ {d} \ ni t \ to 0,}$

куда

${\ displaystyle (\ tau _ {t} f) (x) = f (xt).}$

Пусть ( S, Σ, μ) - пространство с мерой. Если 0 lt; p lt;1, то L ^p ( μ) можно определить, как указано выше: это векторное пространство тех измеримых функций f таких, что   

${\ displaystyle N_ {p} (f) = \ int _ {S} | f | ^ {p} \, d \ mu lt;\ infty.}$

Как и раньше, мы можем ввести p -норму || f  || p = N p (  f  ) ^{1 / p}, но || || p не удовлетворяет неравенству треугольника в этом случае и определяет только квазинорму. Из неравенства ( a + b) ^p ≤ a ^p + b ^p, справедливого для a, b ≥ 0, следует, что ( Рудин 1991, §1.47)

${\ Displaystyle N_ {p} (е + g) \ leq N_ {p} (f) + N_ {p} (g)}$

и поэтому функция

${\ Displaystyle d_ {p} (е, g) = N_ {p} (fg) = \ | fg \ | _ {p} ^ {p}}$

является метрикой на L ^p ( μ). Получающееся метрическое пространство полно ; проверка аналогична известному случаю, когда p ≥ 1.

В этом случае L ^p удовлетворяет обратному неравенству Минковского, то есть для u, v в L ^p

${\ displaystyle {\ Big \ |} | u | + | v | {\ Big \ |} _ {p} \ geq \ | u \ | _ {p} + \ | v \ | _ {p}}$

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона, которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств L ^p для 1 lt; p lt;∞ ( Adams amp; Fournier 2003).

Пространство L ^p для 0 lt; p lt;1 является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Он также локально ограничен, как и в случае p ≥ 1. Это прототипический пример F-пространство, что для большинства разумных пространств с мерой, не является локально выпуклым : в л ^р или L ^р ([0, 1]), каждое открытое множество выпукло, содержащий 0 функции не ограниченно для р -квазинорма; следовательно, вектор 0 не имеет фундаментальной системы выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой S содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры.

Единственное непустое выпуклое открытое множество в L ^p ([0, 1]) - это все пространство ( Рудин, 1991, §1.47). Как частное следствие, на L ^p ([0, 1]) нет ненулевых линейных функционалов: двойственное пространство - это нулевое пространство. В случае подсчета меры на множество натуральных чисел (производящего пространство последовательностей L ^р ( х) = л ^р), ограниченные линейные функционалы на л ^р в точности те, которые ограничены на л ¹, а именно тех, кто задается последовательностями в л ^∞. Хотя ℓ ^p действительно содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу для топологии.

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на R ⁿ вместо того, чтобы работать с L ^p для 0 lt; p lt;1, обычно по возможности работают с пространством Харди H ^p, так как оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы различать точки друг от друга. Однако теорема Хана – Банаха все еще неверна в H ^p для p lt;1 ( Duren 1970, §7.5).

L ⁰ пространство измеримых функций

Векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на ( S, Σ, μ) обозначается L ⁰ ( S, Σ, μ) ( Kalton, Peck amp; Roberts 1984). По определению он содержит все L ^p и снабжен топологией сходимости по мере. Когда μ является вероятностной мерой (т. Е. Μ ( S) = 1), этот способ сходимости называется сходимостью по вероятности.

Описание проще, когда μ конечно. Если μ - конечная мера на ( S, Σ), функция 0 допускает сходимость по мере следующей фундаментальной системы окрестностей

${\ Displaystyle V _ {\ varepsilon} = {\ Bigl \ {} f: \ mu {\ bigl (} \ {x: | f (x) |gt; \ varepsilon \} {\ bigr)} lt;\ varepsilon {\ Bigr \}}, \ qquad \ varepsilongt; 0}$

Топология может быть определена любой метрикой d вида

${\ Displaystyle d (е, g) = \ int _ {S} \ varphi {\ bigl (} | f (x) -g (x) | {\ bigr)} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

где φ - ограниченная непрерывная вогнутая и неубывающая на [0, ∞), причем φ (0) = 0 и φ ( t)gt; 0 при t gt; 0 (например, φ ( t) = min ( t, 1)). Такая метрика называется метрикой Леви для L ⁰. Под этой метрикой пространство L ⁰ полно (это снова F-пространство). Пространство L ^0, вообще говоря, не является локально ограниченным и не локально выпуклым.

Для бесконечной меры Лебега λ на R ⁿ определение фундаментальной системы окрестностей может быть изменено следующим образом

${\ Displaystyle W _ {\ varepsilon} = \ left \ {f: \ lambda \ left (\ left \ {x: | f (x) |gt; \ varepsilon {\ text {and}} | x | lt;{\ frac { 1} {\ varepsilon}} \ right \} \ right) lt;\ varepsilon \ right \}}$

Полученное пространство L ⁰ ( R ⁿ, λ) совпадает как топологическое векторное пространство с L ⁰ ( R ⁿ, g ( x) d λ (x)) для любой положительной λ –интегрируемой плотности g.

Слабый L ^p

Пусть ( S, Е, М) пространство с мерой, и е в измеримой функции с действительными или комплексными значениями на S. Функция распределения по F определяется для т ≥ 0 с помощью

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) = \ mu \ left \ {x \ in S: | f (x) |gt; t \ right \}}$

Если F в L ^р ( S, μ) для некоторого р с 1 ≤ р lt;∞, то в силу неравенства Маркова,

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {p} ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

Функция F называется в пространстве слабым L ^р ( S, μ), или L ^{р, ш} ( S, ц), если существует постоянная С gt; 0 такое, что при всех т gt; 0,

${\ displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {C ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

Наилучшая константа C для этого неравенства является L ^{p, w} -нормой функции f и обозначается через

${\ displaystyle \ | е \ | _ {p, w} = \ sup _ {tgt; 0} ~ t \ lambda _ {f} ^ {1 / p} (t).}$

Слабые L ^p совпадают с пространствами Лоренца L ^{p, ∞}, поэтому эти обозначения также используются для их обозначения.

L ^{р, ш} -нормой не является истинной нормой, так как неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для F в L ^р ( S, μ),

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p, w} \ leq \ | f \ | _ {p}}$

и, в частности, L ^p ( S, μ) ⊂ L ^{p, w} ( S, μ).

Фактически, есть

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} = \ int | f (x) | ^ {p} d \ mu (x) \ geq \ int _ {\ {| f ( x) |gt; t \}} t ^ {p} + \ int _ {\ {| f (x) | \ leq t \}} | f | ^ {p} \ geq t ^ {p} \ mu (\ {| f |gt; t \})}$,

возведя в степень 1 / p и взяв верхнюю грань по t, получим

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {L ^ {p}} \ geq \ sup _ {tgt; 0} t \; \ mu (\ {| f |gt; t \}) ​​^ {1 / p} = \ | f \ | _ {L ^ {p, w}}.}$

Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны μ почти всюду, пространства L ^{p, w} полны ( Grafakos 2004).

Для любого 0 lt; r lt; p выражение

${\ Displaystyle ||| е ||| _ {L ^ {p, \ infty}} = \ sup _ {0 lt;\ mu (E) lt;\ infty} \ mu (E) ^ {- 1 / r + 1 / p} \ left (\ int _ {E} | f | ^ {r} \, d \ mu \ right) ^ {1 / r}}$

сравнимо с L ^{p, w} -нормой. Далее, в случае p gt; 1 это выражение определяет норму, если r = 1. Следовательно, при p gt; 1 слабые L ^p- пространства являются банаховыми пространствами ( Grafakos 2004).

Основным результатом, который использует L ^{p, w} -пространства, является интерполяционная теорема Марцинкевича, которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов.

Весовые пространства L ^p

Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой ( S, Σ, μ). Пусть w  : S → [0, ∞) - измеримая функция. Ш - взвешенное L ^р пространство определяется как L ^р ( S, ш  г ц), где W  d М означает меру ν, определяемой

${\ Displaystyle \ Nu (A) \ Equiv \ Int _ {A} вес (x) \, \ mathrm {d} \ mu (x), \ qquad A \ in \ Sigma,}$

или, в терминах производной Радона – Никодима, w =d ν/d μ  норма для L ^р ( S, ш  г ц) явно

${\ Displaystyle \ | U \ | _ {L ^ {p} (S, ш \, \ mathrm {d} \ mu)} \ Equiv \ left (\ int _ {S} ш (х) | и (х) | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ right) ^ {1 / p}}$

Как L ^p -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, поскольку L ^p ( S, w  d µ) равно L ^p ( S, d ν). Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа ( Grafakos 2004); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для 1 lt; p lt;∞ классическое преобразование Гильберта определено на L ^p ( T, λ), где T обозначает единичную окружность, а λ - меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен на L ^p ( R ⁿ, λ). Теорема Макенхаупта описывает веса w такие, что преобразование Гильберта остается ограниченным на L ^p ( T, w  d λ) и максимальный оператор на L ^p ( R ⁿ, w  d λ).

L ^p пространств на многообразиях

Можно также определить пространства L ^p ( M) на многообразии, называемые внутренними пространствами L ^p многообразия, используя плотности.

Векторнозначные пространства L ^p

Для пространства с мерой ( X, Σ, µ) и локально-выпуклого пространства E можно также различными способами определить пространства p -интегрируемых E-значных функций. Наиболее распространенным из них является пространства интегрируемых по Бохнеру и Петтису интегрируемых функций. Используя тензорное произведение локально выпуклых пространств, они могут быть соответственно определены как и ; где и обозначают соответственно проективное и инъективное тензорные произведения локально выпуклых пространств. Когда E - ядерное пространство, Гротендик показал, что эти две конструкции неразличимы. ${\ Displaystyle L _ {\ mu} ^ {p} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ right) \ otimes _ {\ pi} E}$${\ Displaystyle L _ {\ mu} ^ {p} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ right) \ otimes _ {\ epsilon} E}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ pi}}$${\ displaystyle \ otimes _ {\ epsilon}}$

• Пространство Бохнера  - Математическая концепция
• Пространство Бирнбаума – Орлича
• Харди космос
• Теорема Рисса – Торина  - теорема об операторной интерполяции
• Гёльдера
• Пространство Гёльдера
• Root mean square  - квадратный корень из среднего квадрата
• Локально интегрируемая функция ${\ displaystyle \ left (\ scriptstyle L _ {\ text {loc}} ^ {1} \ right)}$
• ${\ Displaystyle \ scriptstyle L ^ {p} (G)}$пространства над локально компактной группой${\ displaystyle G}$  - Двойственность для локально компактных абелевых групп
• Список банаховых пространств
• Расстояние Минковского
• L-бесконечность
• Сумма Lp

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе изд.), Academic Press, ISBN   978-0-12-044143-3.
• Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства, Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN   978-3-540-13627-9.
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ, Биркхойзер, ISBN   3-7643-4231-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I, Wiley-Interscience.
• Дурен, П. (1970), Теория H ^p -пространств, Нью-Йорк: Academic Press
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье, Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN   0-13-035399-X.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Калтон, Найджел Дж. ; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), пробоотборник F-пространства, Серия лекций Лондонского математического общества, 89, Кембридж: Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511662447, ISBN   0-521-27585-7, Руководство по ремонту   0808777
• Рисса, Фридьеш (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen, 69 (4): 449-497, DOI : 10.1007 / BF01457637, S2CID   120242933
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN   978-0-07-054236-5. OCLC   21163277.
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN   978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту   0924157
• Титчмарш, EC (1976), Теория функций, Oxford University Press, ISBN   978-0-19-853349-8

• "Пространство Лебега", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Доказательство полноты пространств L ^p