Интеграция Лебега

Интеграл от положительной функции можно интерпретировать как площадь под кривой.

В математике, интеграл неотрицательной функции одной переменной можно рассматривать в простейшем случае как область между графиком этой функции и оси абсцисс. Интеграл Лебега расширяет интеграл до более широкого класса функций. Он также расширяет домены, в которых могут быть определены эти функции.

Задолго до 20 века математики уже понимали, что для неотрицательных функций с сглаженным графиком достаточно - таких как непрерывные функции на закрытом ограниченные интервалы - площадь под кривой может быть определена как интеграл и вычислена с использованием методов аппроксимации области многоугольниками. Однако по мере того, как возникла необходимость рассматривать более нерегулярные функции - например, в результате ограничивающих процессов математического анализа и математической теории вероятностей - это Стало ясно, что для определения подходящего интеграла необходимы более тщательные методы аппроксимации. Кроме того, можно пожелать интегрировать в более общие пространства, чем реальная линия. Интеграл Лебега предоставляет абстракции, необходимые для выполнения этой важной работы.

Интеграл Лебега играет важную роль в теории вероятностей, реальном анализе и многих других областях математики. Он назван в честь Анри Лебега (1875–1941), который ввел интеграл (Lebesgue 1904). Это также основная часть аксиоматической теории вероятностей.

Термин интегрирование Лебега может означать либо общую теорию интегрирования функции относительно общей меры, введенной Лебегом., или конкретный случай интегрирования функции, определенной в подобласти вещественной линии относительно меры Лебега.

• 1 Введение
  • 1.1 Интуитивная интерпретация
  • 1.2 К формальному определению
• 2 Построение
  • 2.1 Теория меры
  • 2.2 Измеримые функции
  • 2.3 Построение интеграла
    • 2.3.1 Индикаторные функции
    • 2.3.2 Простые функции
    • 2.3.3 Неотрицательные функции
    • 2.3.4 Знаковые функции
    • 2.3.5 Комплексные функции
  • 2.4 Пример
  • 2.5 Область интегрирования
• 3 Ограничения интеграла Римана
• 4 Основные теоремы интеграла Лебега
• 5 Альтернативные формулировки
• 6 Ограничения интеграла Лебега
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Интеграл от положительной функции f между пределами a и b можно интерпретировать как площадь под графиком f. Это легко понять для знакомых функций, таких как полиномы, но что это означает для более экзотических функций? В общем, для какого класса функций имеет смысл «площадь под кривой»? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое и практическое значение.

В рамках общего движения к строгости в математике в девятнадцатом веке математики пытались поставить интегральное исчисление на прочный фундамент. Интеграл Римана, предложенный Бернхардом Риманом (1826–1866), является в целом успешной попыткой обеспечить такое основание. Определение Римана начинается с построения последовательности легко вычисляемых областей, которые сходятся к интегралу от заданной функции. Это определение успешно в том смысле, что оно дает ожидаемый ответ на многие уже решенные проблемы и дает полезные результаты для многих других проблем.

Однако интеграция Римана плохо взаимодействует с ограничением последовательностей функций, что затрудняет анализ таких ограничивающих процессов. Это важно, например, при изучении рядов Фурье, преобразований Фурье и других тем. Интеграл Лебега лучше описывает, как и когда можно принимать пределы под знаком интеграла (с помощью мощной теоремы о монотонной сходимости и теоремы о доминирующей сходимости ).

В то время как интеграл Римана рассматривает площадь под кривой как составленную из вертикальных прямоугольников, определение Лебега рассматривает горизонтальные плиты, которые не обязательно являются просто прямоугольниками, и поэтому оно более гибкое. По этой причине определение Лебега позволяет вычислять интегралы для более широкого класса функций. Например, функция Дирихле, которая равна 0, где ее аргумент иррационально, и 1 в противном случае, имеет интеграл Лебега, но не имеет интеграла Римана. Кроме того, интеграл Лебега этой функции равен нулю, что согласуется с интуицией, что при выборе действительного числа равномерно случайным образом из единичного интервала вероятность выбора рационального числа должна быть равна нулю.

Лебег резюмировал свой подход к интеграции в письме Полу Монтелю :

. Я должен заплатить определенную сумму, которую я собрал в своем кармане. Я вынимаю из кармана банкноты и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не наберу общую сумму. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того, как я вынул все деньги из кармана, я заказываю банкноты и монеты по идентичной стоимости, а затем я плачу несколько куч один за другим кредитору. Это мой интеграл.

— Источник: (Siegmund-Schultze 2008)

Идея состоит в том, что нужно иметь возможность свободно переставлять значения функции, сохраняя при этом значение интеграла. Этот процесс перегруппировки может преобразовать очень патологическую функцию в «хорошую» с точки зрения интеграции, и, таким образом, позволить интегрировать такие патологические функции.

Интуитивная интерпретация

Римана-Дарбу интеграция (синим цветом) и интеграция Лебега (красным).

Чтобы получить некоторое представление о различных подходах к интеграции, представим, что мы хотим найти объем горы (над уровнем моря).

Риман– Подход Дарбу

Разделите основание горы на сетку из квадратов размером 1 метр. Измерьте высоту горы в центре каждого квадрата. Объем на одном квадрате сетки составляет примерно 1 м × (размер этого квадрата высота), поэтому общий объем составляет 1 м, умноженную на сумму высот.

Подход Лебега

Нарисуйте контурную карту горы, на которой соседние контуры находятся на расстоянии 1 метра высоты друг от друга. Объем земли, который содержит один контур, составляет приблизительно 1 м × (площадь этого контура), поэтому общий объем представляет собой сумму этих площадей, умноженных на 1 м.

Фолланд резюмирует разницу между подходами Римана и Лебега следующим образом: вычислить интеграл Римана для f, разбить область [a, b] на подинтервалы », а в интеграле Лебега« фактически разбить диапазон f ».

К формальному определению

Показана измеримая функция вместе с набором $\{x:\; f\; (x)>t\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x:\; f\; (x)>t\; \backslash \}\}$(по оси x). Интеграл Лебега получается путем сечения по оси y с использованием одномерной меры Лебега для измерения «ширины» срезов.

Для определения интеграла Лебега требуется формальное понятие меры что примерно ассоциируется с каждым набором A действительных чисел неотрицательное число μ (A), представляющее «размер» A. Это понятие «размера» должно соответствовать обычной длине интервала или непересекающемуся объединению интервалов. Предположим, что f: ℝ → ℝ - неотрицательная вещественнозначная функция. Используя философию «разделения диапазона f», интеграл от f должен быть суммой по t элементарной площади, содержащейся в тонкой горизонтальной полосе между y = t и y = t - dt. Эта элементарная площадь равна

$\mu \; (\{x\; \mid \; f\; (x)>t\})\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\backslash \; \{x\; \backslash \; mid\; f\; (x)>t\; \backslash \}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt.\}$

Пусть

$f\; \ast \; (t)\; =\; \mu \; (\{Икс\; \mid \; е\; (х)>т\}).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{*\}\; (т)\; =\; \backslash \; му\; \backslash \; влево\; (\backslash \; \{х\; \backslash \; середина\; е\; (х)>т\; \backslash \}\; \backslash \; вправо).\}$

Тогда интеграл Лебега f равен определяется как

$\int \; fd\; \mu \; знак\; равно\; \int \; 0\; \infty \; f\; \ast \; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; ^\; \{*\}\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$

где интеграл справа - это обычный несобственный интеграл Римана. Обратите внимание, что f - неотрицательная убывающая функция и, следовательно, имеет хорошо определенный несобственный интеграл Римана со значением в интервале [0, ∞]. Для подходящего класса функций (измеримые функции ) это определяет интеграл Лебега.

Общая (не обязательно положительная) измеримая функция f является интегрируемой по Лебегу, если площадь между графиком f и осью x конечна:

В этом случае, как и в римановом случае, интеграл представляет собой разность между площадью над осью x и площадью ниже оси x:

$\int \; fd\; \mu \; =\; \int \; f\; +\; d\; \mu \; -\; \int \; е\; -\; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{+\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{-\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

где $f\; =\; f\; +\; -\; f\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\; ^\; \{+\}\; -\; f\; ^\; \{-\}\}$- разложение f на разность двух неотрицательных функций, заданных как

Теория интеграла Лебега требует теории измеримых множеств и мер на этих множествах, а также теория измеримых функций и интегралов от этих функций.

Теория меры

Теория меры изначально была создана, чтобы предоставить полезную абстракцию понятия длины подмножеств реальной прямой - и, в более общем плане, площади и объема подмножеств евклидовых пространств. В частности, он давал систематический ответ на вопрос, какие подмножества имеют длину. Как показали более поздние разработки теории множеств (см. неизмеримое множество ), на самом деле невозможно присвоить длину всем подмножествам таким образом, чтобы сохранить некоторую естественную аддитивность и инвариантность перевода свойства. Это говорит о том, что выбор подходящего класса измеримых подмножеств является важным предварительным условием.

В интеграле Римана явно используется понятие длины. Действительно, элементом вычисления интеграла Римана является прямоугольник [a, b] × [c, d], площадь которого вычисляется как (b - a) (d - c). Величина b - a - длина основания прямоугольника, а d - c - высота прямоугольника. Риман мог использовать только плоские прямоугольники для аппроксимации площади под кривой, потому что не было адекватной теории для измерения более общих множеств.

В развитии теории в большинстве современных учебников (после 1950 г.) подход к измерению и интегрированию является аксиоматическим. Это означает, что мера - это любая функция μ, определенная на определенном классе X подмножеств множества E, которая удовлетворяет определенному списку свойств. Можно показать, что эти свойства выполняются во многих различных случаях.

Измеримые функции

Мы начинаем с измерения пространства (E, X, μ), где E - это набор, X - σ-алгебра подмножеств E, и μ является (не отрицательной ) мерой на E, определенной на множествах X.

Для Например, E может быть евклидовым n-пространством ℝ или некоторым измеримым по Лебегу подмножеством его, X - это σ-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств в E, и μ - мера Лебега. В математической теории вероятностей мы ограничиваем наше исследование мерой μ вероятностью, которая удовлетворяет μ (E) = 1.

Теория Лебега определяет интегралы для класса функций, называемого измеримые функции. Вещественнозначная функция f на E измерима, если прообраз каждого интервала вида (t, ∞) (фактически, любое борелевское множество ) находится в X:

$\{x\; \mid \; f\; (x)>t\}\; \in \; X\; \forall \; t\; \in \; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash ,\; \backslash \; mid\; \backslash ,\; е\; (x)>t\; \backslash \}\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}.\}$

Мы можем показать, что это эквивалентно требованию, чтобы прообраз любого борелевского подмножества ℝ находился в X. Набор измеримых функций замкнут при алгебраических операциях, но более того что важно, он закрыт различными видами поточечных последовательных ограничений :

$sup\; k\; \in \; N\; fk,\; lim\; inf\; k\; \in \; N\; fk,\; lim\; sup\; k\; \in \; N\; fk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sup\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; f\_\; \{k\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; liminf\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; f\_\; \{k\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; limsup\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; f\_\; \{k\}\}$

измеримы, если исходная последовательность (f k)k, где k ∈ ℕ, состоит из измеримых функций.

Существует несколько подходов для определения интеграла:

$\int \; E\; fd\; \mu \; =\; \int \; E\; f\; (Икс)\; d\; \mu \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Int\; \_\; \{E\}\; е\; \backslash ,\; d\; \backslash \; му\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{E\}\; е\; \backslash \; влево\; (х\; \backslash \; вправо)\; \backslash ,\; д\; \backslash \; му\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\}$

для измеримых действительнозначных функций f, определенных на E.

Построение интеграла

Приближение функции простыми функциями.

Один из подходов к построению Лебега интеграл заключается в использовании так называемых простых функций: конечных вещественно-линейных комбинаций индикаторных функций. Для новичка в теории меры это построение интеграла Лебега имеет более интуитивный смысл по сравнению с тем, как сумма Римана используется с определением / построением интеграла Римана. Простые функции могут использоваться для аппроксимации измеримой функции путем разделения диапазона на слои. Интеграл простой функции равен размеру данного слоя, умноженному на высоту этого слоя. Интеграл неотрицательной общей измеримой функции затем определяется как соответствующая верхняя грань приближений простыми функциями, а интеграл (не обязательно положительной) измеримой функции является разностью двух интегралов неотрицательной отрицательные измеримые функции, как упоминалось ранее.

Индикаторные функции

Чтобы присвоить значение интегралу индикаторной функции 1Sизмеряемого множества S, согласованного с данной мерой μ, единственный разумный выбор - установить:

$\int \; 1\; S\; d\; \mu \; =\; \mu \; (S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; 1\_\; \{S\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; mu\; (S).\}$

Обратите внимание, что результат может быть равен + ∞, если μ не является конечной мерой.

Простые функции

Конечная линейная комбинация индикаторных функций

$\sum \; kak\; 1\; S\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; 1\_\; \{\; S\_\; \{k\}\}\}$

, где коэффициенты a k - действительные числа, а S k - непересекающиеся измеримые множества, называется измеримой простой функцией. Продолжим интеграл по линейности на неотрицательные измеримые простые функции. Когда коэффициенты a k неотрицательны, мы устанавливаем

$\int \; (\sum \; k\; a\; k\; 1\; S\; k)\; d\; \mu \; =\; \sum \; k\; a\; k\; \int \; 1\; S\; k\; d\; \mu \; =\; \sum \; k\; a\; k\; \mu \; (S\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; 1\_\; \{S\_\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; int\; 1\_\; \{S\_\; \{\; k\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; (S\_\; \{k\}).\}$

Должно использоваться соглашение 0 × ∞ = 0, и результат может быть бесконечно. Даже если простую функцию можно разными способами записать как линейную комбинацию индикаторных функций, интеграл всегда один и тот же. Это можно показать, используя свойство аддитивности мер.

При определении интеграла действительной простой функции требуется некоторая осторожность, чтобы избежать неопределенного выражения ∞ - ∞: предполагается, что представление

$f\; =\; \sum \; kak\; 1\; S\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; 1\_\; \{S\_\; \{k\}\}\}$

таково, что μ (S k) < ∞ whenever ak≠ 0. Тогда приведенная выше формула для интеграла от f имеет смысл, и результат не зависят от конкретного представления f, удовлетворяющего предположениям.

Если B - измеримое подмножество E и s - измеримая простая функция, определяют

$\int \; B\; sd\; \mu \; =\; \int \; 1\; B\; sd\; \mu \; =\; \sum \; как\; \mu \; (S\; К\; \cap \; В).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; 1\_\; \{B\}\; \backslash ,\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; (S\_\; \{k\}\; \backslash \; cap\; B).\}$

Неотрицательные функции

Пусть f - неотрицательная измеримая функция на E, которой мы позволяем достичь значения + ∞, другими словами, f принимает неотрицательные значения в строке расширенных вещественных чисел . Мы определяем

$\int \; E\; fd\; \mu \; =\; sup\; \{\int \; E\; sd\; \mu :\; 0\; \le \; s\; \le \; f,\; s\; simple\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{E\}\; е\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; int\; \_\; \{E\}\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu:\; 0\; \backslash \; leq\; s\; \backslash \; leq\; f,\; \backslash \; s\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{simple\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Нам нужно показать, что этот интеграл совпадает с предыдущим, определенным на множестве простых функций, когда E - отрезок [a, b]. Также возникает вопрос, соответствует ли это каким-либо образом римановскому понятию интеграции. Можно доказать, что ответ на оба вопроса положительный.

Мы определили интеграл от f для любой неотрицательной расширенной вещественнозначной измеримой функции на E. Для некоторых функций этот интеграл ∫ E f dμ бесконечен.

Часто бывает полезно иметь конкретную последовательность простых функций, которая хорошо аппроксимирует интеграл Лебега (аналогично сумме Римана). Для неотрицательной измеримой функции f пусть $sn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\; (x)\}$будет простой функцией, значение которой равно $k\; /\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; /\; 2\; ^\; \{n\}\}$всякий раз, когда , для ka неотрицательное целое число меньше (скажем) $4\; n\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; 4\; ^\; \{n\}\}$. Тогда можно напрямую доказать, что

$\int \; fd\; \mu \; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; \int \; snd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; s\_\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

и что предел в правой части существует как расширенное действительное число. Это устраняет связь между подходом к интегралу Лебега с использованием простых функций и мотивацией для интеграла Лебега с использованием разбиения диапазона.

Подписанные функции

Для обработки подписанных функций нам потребуется еще несколько определений. Если f - измеримая функция множества E в действительных числах (включая ± ∞), то мы можем написать

$f\; =\; f\; +\; -\; f\; -,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; f\; ^\; \{+\}\; -\; f\; ^\; \{-\},\; \backslash \; quad\}$

где

$f\; +\; (x)\; =\; \{f\; (x),\; если\; f\; (x)>0,\; 0\; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{+\}\; (x)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; f\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; f\; (x)>0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

Обратите внимание, что обе функции f и f являются неотрицательными измеримыми функциями. Также обратите внимание, что

$|\; f\; |\; =\; f\; +\; +\; f\; -.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; |\; =\; f\; ^\; \{+\}\; +\; f\; ^\; \{-\}.\; \backslash \; quad\}$

Мы говорим, что интеграл Лебега измеримой функции f существует или равен определено, если хотя бы одно из $\int \; f\; +\; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{+\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$и $\int \; f\; -\; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{-\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$конечно:

В этом c Таким образом, мы определяем

$\int \; f\; d\; \mu \; =\; \int \; f\; +\; d\; \mu \; -\; \int \; f\; -\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{+\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{-\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Если

мы говорим, что f интегрируема по Лебегу.

Оказывается, это определение дает желаемые свойства интеграла.

Комплексные функции

Комплексные -значные функции могут быть подобным образом интегрированы, если рассматривать действительную и мнимую части отдельно.

Если h = f + ig для действительных интегрируемых функций f, g, то интеграл от h определяется как

$h\; d\; \mu \; =\; \int \; f\; d\; \mu \; +\; i\; \int \; g\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; h\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; +\; i\; \backslash \; int\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение интегрируема по Лебегу (см. Абсолютно интегрируемая функция ).

Пример

Рассмотрим индикаторную функцию рациональных чисел 1 Q, также известную как функция Дирихле. Эта функция нигде не является непрерывной.

• $1\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}$не интегрируема по Риману на [0, 1]: независимо от того, как набор [0, 1] разбивается на подынтервалы, каждый раздел содержит хотя бы одно рациональное и хотя бы одно иррациональное число, потому что рациональные и иррациональные числа плотны в действительных числах. Таким образом, все верхние суммы Дарбу равны единице, а нижние суммы Дарбу равны нулю.
• $1\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\}$интегрируем по Лебегу на [0, 1] с использованием меры Лебега : Действительно, это индикаторная функция рациональных чисел, поэтому по определению

$\int \; [0,\; 1]\; 1\; Q\; d\; \mu \; =\; \mu \; (Q\; \cap \; [\; 0,\; 1])\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{[0,1]\}\; 1\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{Q\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; mu\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; cap\; [0,1])\; =\; 0,\}$

потому что Q является счетным.

Домен интеграции

Техническая проблема в интеграции Лебега состоит в том, что область интеграции определяется как набор (подмножество пространства с мерой) без понятия ориентации. В элементарном исчислении интегрирование определяется относительно ориентации :

$\int \; b\; a\; f:\; =\; -\; \int \; a\; b\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{b\}\; ^\; \{a\}\; f:\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f.\}$

Обобщение этого на более высокие измерения дает интегрирование дифференциальных форм. Напротив, интегрирование Лебега обеспечивает альтернативное обобщение, интегрируя по подмножествам относительно меры; это можно обозначить как

$\int \; A\; fd\; \mu \; =\; \int \; [a,\; b]\; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{[a,\; b]\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

для обозначения интегрирования по подмножеству A. Подробнее о связи между этими обобщениями см. Дифференциальная форма § Связь с мерами.

С С появлением рядов Фурье появилось много аналитических задач, связанных с интегралами, для удовлетворительного решения которых требовалось переставлять предельные процессы и знаки интеграла. Однако условия, при которых интегралы

$\sum \; k\; \int \; fk\; (x)\; dx,\; \int \; [\sum \; kfk\; (x)]\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; int\; f\_\; \{k\}\; (x)\; dx,\; \backslash \; quad\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; f\_\; \{k\}\; (x)\; \backslash \; right]\; dx\}$

равны, что оказалось довольно неуловимым в рамках Римана. С интегралом Римана связаны и другие технические трудности. Они связаны с упомянутой выше трудностью установления лимита.

Нарушение монотонной сходимости . Как показано выше, индикаторная функция 1Qна рациональных числах не интегрируема по Риману. В частности, не выполняется теорема о монотонной сходимости. Чтобы понять, почему, пусть {a k } будет перечислением всех рациональных чисел в [0, 1] (они счетные, так что это можно сделать.) Затем пусть

$gk\; (x)\; =\; \{1,\; если\; x\; =\; aj,\; j\; \le \; k\; 0\; в\; противном\; случае\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{k\}\; (x)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; x\; =\; a\_\; \{j\},\; j\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

Функция g k равна нулю везде, кроме конечного множества очков. Следовательно, его интеграл Римана равен нулю. Каждый g k неотрицателен, и эта последовательность функций монотонно возрастает, но ее предел при k → ∞ равен 1 Q, что не интегрируемо по Риману.

Непригодность для неограниченных интервалов . Интеграл Римана может интегрировать функции только на ограниченном интервале. Однако его можно расширить до неограниченных интервалов, взяв пределы, если это не дает ответа, такого как ∞ - ∞.

Интегрирование по структурам, отличным от евклидова пространства . Интеграл Римана неразрывно связан со структурой порядка вещественной прямой.

Две функции считаются равными почти всюду ($f\; =\; ae\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\; \backslash \; text\; \{ae\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; g\}$для краткости), если они совпадают вне подмножества меры 0.

Измеримость подмножества $\{x\; \mid \; f\; (x)\; \ne \; g\; (x)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \; mid\; f\; (x)\; \backslash \; neq\; g\; (x)\; \backslash \}\}$является не обязательным.

• Если f, g - неотрицательные измеримые функции (возможно, принимающие значение + ∞) такие, что f = g почти всюду, то

$\int \; f\; d\; \mu \; =\; \int \; g\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

То есть, интеграл учитывает отношение эквивалентности почти всюду равенства.

• Если f, g - такие функции что f = g почти всюду, то f интегрируем по Лебегу тогда и только тогда, когда g интегрируем по Лебегу, а интегралы от f и g одинаковы, если они существуют.

• Линейность : Если f и g интегрируемы по Лебегу. функций и a и b действительные числа, то af + bg интегрируем по Лебегу и

$\int \; (af\; +\; bg)\; d\; \mu \; =\; a\; \int \; fd\; \mu \; +\; b\; \int \; gd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (af\; +\; bg)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; a\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; +\; b\; \backslash \; int\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

• Монотонность : если f ≤ g, тогда

$\int \; fd\; \mu \; \le \; \int \; gd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

• Пусть $(\Omega ,\; \Sigma ,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \backslash \; Sigma,\; \backslash \; mu)\; \}$быть мерным пространством. Обозначим $BR\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\}\}$$\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \}$-алгебра борелевских множеств на $[0,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; +\; \backslash \; infty]\}$. (По определению $BR\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\}\}$содержит набор $\{\; +\; \infty \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{+\; \backslash \; infty\; \backslash \}\}$и все подмножества Бореля $R\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\}$). Рассмотрим a $(\Sigma ,\; BR\; \ge \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Sigma,\; \backslash \; operatorname\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\})\}$-измеримая неотрицательная функция $s:\; \Omega \; \to \; [0,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; s:\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; [0,\; +\; \backslash \; infty]\}$. Для набора $S\; \in \; \Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\}$определим

$\nu \; (S)\; =\; \int \; S\; s\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; s\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Тогда $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- мера Лебега на $(\Omega ,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \backslash \; Sigma)\}$.

• Теорема о монотонной сходимости : предположим, что {f k}k ∈ ℕ - последовательность неотрицательных измеримых функций такая, что

$fk\; (x)\; \le \; fk\; +\; 1\; (x)\; \forall \; k\; \in \; N,\; \forall \; x\; \in \; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{k\}\; (x)\; \backslash \; leq\; f\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\},\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; E.\}$

Затем поточечный предел f для f k измерим по Лебегу и

$lim\; k\; \int \; fkd\; \mu \; =\; \int \; fd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\}\; \backslash \; int\; f\_\; \{k\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Значение любого из интегралов может быть бесконечным.

• Лемма Фату : Если {f k}k ∈ N- последовательность неотрицательных измеримых функций, то

$\int \; lim\; inf\; kfkd\; \mu \; \le \; lim\; inf\; k\; \int \; fkd\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; liminf\; \_\; \{k\}\; f\_\; \{k\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; leq\; \backslash \; liminf\; \_\; \{k\}\; \backslash \; int\; f\_\; \{k\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Опять же, значение любого интегралов может быть бесконечным.

• Теорема о доминирующей сходимости : Предположим, что {f k}k ∈ Nпредставляет собой последовательность комплексных измеримых функций с поточечным пределом f, и существует интегрируемая по Лебегу функция g (т.е., g принадлежит пространству L ) такое, что | f k | ≤ g для всех k.

Тогда f интегрируема по Лебегу и

$lim\; k\; \int \; f\; k\; d\; \mu \; =\; \int \; f\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\}\; \backslash \; int\; f\_\; \{k\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu.\}$

Можно получить интеграл с относительно меры Лебега, не полагаясь на весь аппарат теории меры. Один из таких подходов обеспечивается интегралом Даниэля.

. Существует также альтернативный подход к развитию теории интеграции с помощью методов функционального анализа. Интеграл Римана существует для любой непрерывной функции f от compact поддержки, определенной на ℝ (или фиксированном открытом подмножестве). На основе этих интегралов можно строить интегралы от более общих функций.

Пусть C c - пространство всех вещественнозначных непрерывных функций от с компактным носителем. Определите норму на C c как

$\Vert \; f\; \Vert \; =\; \int \; |\; f\; (x)\; |\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; int\; |\; f\; (x)\; |\; \backslash ,\; dx.\}$

Тогда C c является нормированным векторным пространством (и, в частности, метрическое пространство.) Все метрические пространства имеют хаусдорфовы пополнения, поэтому пусть L будет его пополнением. Это пространство изоморфно пространству интегрируемых по Лебегу функций по модулю подпространства функций с целым нулем. Более того, интеграл Римана ∫ является равномерно непрерывным функционалом относительно нормы на C c, которая плотна в L. Следовательно, ∫ имеет единственное расширение на все L. Это интеграл и есть интеграл Лебега.

В более общем смысле, когда пространство мер, на котором определены функции, также является локально компактным топологическим пространством (как в случае с действительными числами ℝ), меры, совместимые с топологией в подходящем смысле (меры Радона, примером которых является мера Лебега), интеграл по ним может быть определен таким же образом, начиная с интегралов непрерывные функции с компактной опорой. Точнее, функции с компактным носителем образуют векторное пространство , несущее естественную топологию, и мера (радона) определяется как непрерывный линейный функционал на этом Космос. Тогда значение меры для функции с компактным носителем также по определению является интегралом функции. Затем переходят к расширению меры (интеграла) до более общих функций по непрерывности и определяют меру множества как интеграл его индикаторной функции. Это подход, принятый Бурбаки (2004) и некоторыми другими авторами. Подробнее см. Меры Радона.

Основная цель интеграла Лебега - предоставить интегральное понятие, в котором пределы интегралов сохраняются при мягких предположениях. Нет гарантии, что каждая функция интегрируема по Лебегу. Но может случиться так, что несобственные интегралы существуют для функций, не интегрируемых по Лебегу. Один из примеров:

$sin\; \; (x)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (x)\}\; \{x\}\}\}$

по всей действительной строке. Эта функция не интегрируема по Лебегу, так как

$\int \; -\; \infty \; \infty \; |\; sin\; \; (x)\; x\; |\; d\; x\; =\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (x)\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; |\; dx\; =\; \backslash \; infty.\}$

С другой стороны, $\int \; -\; \infty \; \infty \; грех\; \; (x)\; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (x)\}\; \{x\}\}\; dx\}$существует как несобственный интеграл и может быть вычислен как конечный; это вдвое больше интеграла Дирихле.

• Анри Лебег, нетехническое описание интеграции Лебега
• Нулевой набор
• Интеграция
• Измерение
• Сигма- алгебра
• Пространство Лебега
• Интегрирование Лебега – Стилтьеса
• Интеграл Римана
• Интеграл Хенстока – Курцвейла

• Бартл, Роберт Г. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Classics Library. New York: John Wiley Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR 1312157.
• Bauer, Heinz (2001). Теория меры и интеграции. De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian. Элементы математики (Берлин). Берлин: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901.
• Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability. The Wadsworth Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth Brooks/Cole Advanced Books Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 0982264.Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
• Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications. Pure and Applied Mathematics (New York) (Second ed.). New York: John Wiley Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462.
• Halmos, Paul R. (1950). Теория меры. New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc. pp. xi+304. MR 0033869.A classic, though somewhat dated presentation.
• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier-Villars.Cite journal requires |journal=()CS1 maint: ref=harv (link )
• Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (in French). Geneva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. p. 405. MR 0389523.
• Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14(2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833.
• Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis. Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. pp. x+190. MR 0054173.Includes a presentation of the Daniell integral.
• Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. pp. x+310. MR 0053186.Good treatment of the theory of outer measures.
• Royden, H. L. (1988). Real analysis (Third ed.). New York: Macmillan Publishing Company. pp. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. Международная серия по чистой и прикладной математике (третье изд.). New York: McGraw-Hill Book Co. pp. x+342. MR 0385023.Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill Book Co. pp. xi+412. MR 0210528.Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
• Saks, Stanisław (1937). Theory of the Integral. Monografie Matematyczne. 7(2nd ed.). Warszawa -Lwów : G.E. Stechert Co. JFM 63.0183.05. Zbl 0017.30004.. English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.
• Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman. Dover Books on Advanced Mathematics. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463.Emphasizes the Daniell integral.
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", in Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press.
• Teschl, Gerald. Topics in Real and Functional Analysis. (lecture notes).
• Yeh, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback. Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. p. 760. ISBN 978-981-256-6.