Индикаторная функция

редактировать

Математическая функция

Трехмерный график индикаторной функции, отображаемый в квадратной двумерной области (установите X): «приподнятая» часть перекрывает те двумерные точки, которые являются членами «указанного» подмножества (A).

В математике, индикаторная функция или характеристическая функция - это функция , определенная на наборе X, которая указывает принадлежность элемента к подмножеству A из X, имеющий значение 1 для всех элементов A и значение 0 для всех элементов X не в A. Обычно обозначается символом 1 или I, иногда полужирным шрифтом или жирным шрифтом на доске, с нижний индекс, определяющий подмножество.

В других контекстах, таких как информатика, это чаще описывалось бы как логическое предикат функция (для проверки включения набора).

Функция Дирихле - это пример индикаторной функции и индикатор рациональных значений.

Содержание

1 Определение
2 Обозначения и терминология
3 Базовые свойства
4 Среднее, дисперсия и ковариация
5 Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини
6 Характеристическая функция в теории нечетких множеств
7 Производные индикаторной функции
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Источники

Определение

Индикаторная функция подмножества A набора X - это функция

1 A: X → {0, 1} {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие X \ to \ {0,1 \}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A } \ двоеточие X \ to \ {0,1 \}}

, определенное как

1 A (x): = {1, если x ∈ A, 0, если x ∉ A. {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x): = {\ begin {cases} 1 ~ {\ text {if}} ~ x \ in A ~, \\ 0 ~ {\ text {if }} ~ x \ notin A ~. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x): = {\ begin {cases} 1 ~ {\ t ext {if}} ~ x \ in A ~, \\ 0 ~ {\ text {if}} ~ x \ notin A ~. \ end {cases}}}

скобка Айверсона обеспечивает эквивалентное обозначение: $[x ∈ A] {\ displaystyle [x \ in A] }$ $[x \ in A]$ или⧙ x ϵ A ⧘, будет использоваться вместо $1 A (x) {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x)}$ .

Функция $1 A {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ $\ mathbf {1} _ {A}$ иногда обозначается $IA {\ displaystyle I_ {A}}$ $I_ {A}$ , $χ A {\ displaystyle \ chi _ {A }}$ $\ chi _ {A}$ , K A или даже просто $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Обозначения и терминология

Обозначение $χ A {\ displaystyle \ chi _ {A}}$ $\ chi _ {A}$ также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе, которая определяется, как если бы использовалась обратная стандартного определения индикаторной функции.

Связанное понятие в статистике - это понятие фиктивной переменной. (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике, также называемый связанной переменной.)

Термин «характеристическая функция "имеет несвязанное значение в классической теории вероятностей. По этой причине традиционные специалисты по теории вероятностей используют термин индикаторная функция для обозначенной здесь функции почти исключительно, в то время как математики в других областях с большей вероятностью будут использовать термин характеристическая функция для описания функции, которая указывает на принадлежность к набору.

В нечеткой логике и современной многозначной логике предикаты являются характеристическими функциями распределения вероятностей. То есть строгое определение истинности / ложности предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства

Индикатор или характеристика функция подмножества A некоторого набора X отображает элементы X в диапазон {0, 1}.

Это отображение сюръективно только тогда, когда A является непустым собственным подмножеством X. Если A ≡ X, то 1A= 1. Аналогичным образом аргумент, если A ≡ Ø, то 1A= 0.

Далее точка представляет собой умножение, 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0 и т. д. «+» и «-» представляют собой сложение и вычитание. « $∩ {\ displaystyle \ cap}$ $\ cap$ » и « $∪ {\ displaystyle \ cup}$ $\ cup$ » - это пересечение и объединение, соответственно.

Если $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ являются двумя подмножествами $X {\ displaystyle X }$ $X$ , затем

1 A ∩ B = min {1 A, 1 B} = 1 A ⋅ 1 B, {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ cap B} = \ min \ {\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B} \} = \ mathbf {1} _ {A} \ cdot \ mathbf {1} _ {B},}

\ mathbf {1} _ {A \ cap B} = \ min \ {\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf { 1} _ {B} \} = \ mathbf {1} _ {A} \ cdot \ mathbf {1} _ {B},

1 A ∪ B знак равно макс {1 A, 1 B} знак равно 1 A + 1 B - 1 A ⋅ 1 B, {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ cup B} = \ max \ {{\ mathbf {1 } _ {A}, \ mathbf {1} _ {B}} \} = \ mathbf {1} _ {A} + \ mathbf {1} _ {B} - \ mathbf {1} _ {A} \ cdot \ mathbf {1} _ {B},}

\ mathbf {1} _ {A \ cup B} = \ max \ {{\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B}} \} = \ mathbf {1} _ {A} + \ mathbf {1} _ {B} - \ mathbf {1} _ {A} \ cdot \ mathbf {1} _ {B},

и индикаторная функция дополнения к $A {\ displaystyle A}$ $A$ т.е. $AC {\ displaystyle A ^ {C}}$ $A ^ {C}$ - это:

1 A ∁ = 1 - 1 A {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A ^ {\ complement}} = 1- \ mathbf {1} _ {A}}

\ mathbf {1} _ {A ^ {\ complement}} = 1- \ mathbf {1} _ {A}

В общем, предположим, что $A 1,…, A n {\ displaystyle A_ {1}, \ dotsc, A_ {n}}$ $A_ {1}, \ dotsc, A_ {n}$ представляет собой набор подмножеств X. Для любого x ϵ X:

∏ k ∈ I (1 - 1 A k (x)) {\ displaystyle \ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf { 1} _ {A_ {k}} (x))}

\ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}} (x))

явно является произведением нулей и единиц. Этот продукт имеет значение 1 точно при тех x ϵ X, которые не принадлежат ни одному из множеств A k, и 0 в противном случае. То есть

∏ k ∈ I (1 - 1 A k) = 1 X - ⋃ k A k = 1 - 1 ⋃ k A k. {\ displaystyle \ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X- \ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}}.}

\ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X- \ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}}.

Расширение произведения слева,

1 ⋃ k A k = 1 - ∑ F ⊆ {1, 2,…, n} (- 1) | F | 1 ⋂ F A k = ∑ ∅ ≠ F ⊆ {1, 2,…, n} (- 1) | F | + 1 1 ⋂ FA К {\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ sum _ {F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (-1) ^ {| F |} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}} = \ sum _ {\ emptyset \ neq F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (- 1) ^ {| F | +1} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}}}

\ mathbf {1 } _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ sum _ {F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (- 1) ^ {| F |} \ mathbf { 1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}} = \ sum _ {\ emptyset \ neq F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (- 1) ^ {| F | + 1} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}}

где | F | - мощность F. Это одна из форм принципа включение-исключение.

. Как было предложено в предыдущем примере, индикаторная функция является полезным средством записи в комбинаторике. Обозначение используется и в других местах, например, в теории вероятностей : если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является вероятностным пространством с вероятностью мера $P {\ displaystyle \ operatorname {P}}$ $\ operatorname {P}$ и $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это измеримый набор, тогда $1 A {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ $\ mathbf {1} _ {A}$ становится случайной величиной, ожидаемое значение которой равно вероятности $A {\ displaystyle A}$ $A$ :

E ⁡ (1 A) = ∫ Икс 1 A (x) d P = ∫ A d P = P ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \, d \ operatorname {P} = \ int _ {A} d \ operatorname {P} = \ operatorname {P } (A)}

{\ displaystyle \ operatorname { E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \, d \ operatorname {P} = \ int _ {A} d \ operatorname {P} = \ operatorname {P} (A)}

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова.

Во многих случаях, таких как теория порядка, может быть определена инверсия индикаторной функции. Это обычно называется обобщенной функцией Мёбиуса как обобщение обратной функции индикатора в элементарной теории чисел, функции Мёбиуса. (См. Параграф ниже об использовании обратной в классической теории рекурсии.)

Среднее значение, дисперсия и ковариация

Учитывая вероятностное пространство $(Ω, F, P) {\ displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$ ${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$ с $A ∈ F {\ displaystyle A \ in {\ mathcal { F}}}$ $A \ в {\ mathcal {F}}$ , индикаторная случайная величина $1 A: Ω → R {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$ определяется как $1 A (ω) = 1 {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 1}$ $\ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 1$ , если $ω ∈ A, {\ displaystyle \ omega \ in A,}$ $\ omega \ in A,$ в противном случае $1 A (ω) = 0. {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 0.}$ $\ mathbf {1} _ {A } (\ omega) = 0.$

Среднее: $Е ⁡ (1 A (ω)) = п ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega)) = \ operatorname {P} ( A)}$ $\ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A)$

Дисперсия: $Var ⁡ (1 A (ω)) = P ⁡ (A) (1 - P ⁡ (A)) {\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ mathbf {1} _ { A} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A) (1- \ operatorname {P} (A))}$ $\ operatorname {Var} ( \ mathbf {1} _ {A} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A) (1- \ operatorname {P} (A))$

Ковариация: $Cov ⁡ (1 A (ω), 1 В (ω)) знак равно п ⁡ (A ∩ B) - P ⁡ (A) P ⁡ (B) {\ displaystyle \ operatorname {Cov} (\ mathbf {1} _ { A} (\ omega), \ mathbf {1} _ {B} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A \ cap B) - \ operatorname {P} (A) \ operatorname {P} (B) }$ $\ operatorname {Cov} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega), \ mathbf {1} _ {B} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A \ cap B) - \ operatorname {P} (A) \ operatorname {P} (B)$

Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых предложениях формальных математических систем»:

«Каждому должно соответствовать класс или отношение R a, представляющее функцию φ (x 1,... x n) = 0, если R (x 1,... x n) и φ (x 1,... x n) = 1, если ¬R (x 1,... x n). »(« ¬ »указывает на логическую инверсию, т. е.« НЕ ")

Клини (1952) предлагает то же определение в контексте примитивных рекурсивных функций, поскольку функция φ предиката P принимает значения 0, если предикат истинен, и 1 если предикат ложный.

Например, поскольку произведение характеристических функций φ 1*φ2*... * φ n = 0, когда любая из функций равна 0, оно играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ φ 1 = 0 ИЛИ φ 2 = 0 ИЛИ... ИЛИ φ n = 0, ТО их произведение равно 0. То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т. Е. Представляющая функция равна 0, когда функция R "истинна" или удовлетворена ", играет полезную роль в определении Клини логических функций OR, AND и IMPLY (p 228), ограниченный- (стр. 228) и неограниченный- (стр. 279 и далее) операторы mu (Kleene (1952)) и функция CASE (стр. 229).

Характеристическая функция в теории нечетких множеств

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (элементы) или 0 (не элементы). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значения в реальном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется как минимум poset или решетка ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называются функциями принадлежности, а соответствующие «множества» называются нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности, наблюдаемое во многих реальных предикатах, таких как «высокий», «теплый» и т. Д.

Производные показателя функция

Конкретной индикаторной функцией является ступенчатая функция Хевисайда. Ступенчатая функция Хевисайда H (x) является индикаторной функцией одномерной положительной полупрямой, т.е. области [0, ∞). производная распределения ступенчатой функции Хевисайда равна дельта-функции Дирака, то есть

δ (x) = d H (x) dx, {\ displaystyle \ delta ( x) = {\ tfrac {dH (x)} {dx}},}

{\ displaystyle \ delta (x) = {\ tfrac {dH (x)} {dx}},}

со следующим свойством:

∫ - ∞ ∞ f (x) δ (x) dx = f (0). {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ delta (x) dx = f (0).}

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ delta (Икс) dx знак равно е (0).

Производную ступенчатой функции Хевисайда можно рассматривать как производная по нормали внутрь на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается на производную по внутренней нормали, в то время как ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается на индикаторную функцию некоторой области D. Поверхность D будет обозначаться S. Продолжая, можно вывести, что производная индикатора по нормали внутрь порождает «поверхностную дельта-функцию», которую можно обозначить как δ S(x):

δ S (x) = - nx ⋅ ∇ x 1 x ∈ D { \ Displaystyle \ delta _ {S} (\ mathbf {x}) = - \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D} }

{\ displaystyle \ delta _ {S} (\ mathbf {x }) = - \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D}}

где n - внешняя нормаль поверхности S. Эта «поверхностная дельта-функция» обладает следующим свойством:

- ∫ R nf (x) nx ⋅ ∇ x 1 x ∈ D dnx = ∮ S f (β) dn - 1 β. {\ displaystyle - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (\ mathbf {x}) \, \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D} \; d ^ {n} \ mathbf {x} = \ oint _ {S} \, f (\ mathbf {\ beta}) \; d ^ {n-1} \ mathbf {\ beta}.}

- \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (\ mathbf {x}) \, \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x } \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D} \; d ^ {n} \ mathbf {x} = \ oint _ {S} \, f (\ mathbf {\ beta}) \; d ^ {n-1} \ mathbf {\ beta}.

Установив функцию f равной единице, следует, что производная по внутренней нормали индикатора интегрируется с числовым значением площади поверхности S.

См. Также

Мера Дирака
Лапласиан индикатора
Дельта Дирака
Расширение (логика предиката)
Свободные переменные и связанные переменные
ступенчатая функция Хевисайда
Скобка Айверсона
дельта Кронекера, функция, которая может рассматриваться как индикатор для отношения идентичности
скобки Маколея
Multiset
Функция принадлежности
Простая функция
Dummy переменная (статистика)
Статистическая классификация
Функция потерь нуля или единицы

Примечания

Ссылки

Источники

Folland, GB (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе изд.). John Wiley Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
Кормен, Томас Х. ; Лейзерсон, Чарльз Э. ; Ривест, Рональд Л. ; Стейн, Клиффорд (2001). «Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины». Введение в алгоритмы (Второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. Стр. 94 –99. ISBN 978-0-262-03293-3.
Дэвис, Мартин, изд. (1965). Неразрешимое. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Рэйвен Пресс Букс.
Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями, ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П. ; Джеффри, Ричард К. (2002). Вычислимость и логика. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-00758-0.
Заде, Лотфи А. (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» (PDF). Информация и управление. 8(3): 338–353. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X. Архивировано из оригинального (PDF) от 22.06.2007.
Goguen, Joseph (1967). «L-нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений. 18 (1): 145–174. DOI : 10.1016 / 0022-247X (67) 90189-8. hdl :10338.dmlcz/103980.