Лапласиан индикатора

редактировать

В математике лапласиан индикатора области D является обобщением производной дельта-функция Дирака для более высоких измерений и отлична от нуля только на поверхности D. Ее можно рассматривать как дельта-простую функцию поверхности. Это аналогично второй производной ступенчатой функции Хевисайда в одном измерении. Его можно получить, позволив оператору Лапласа работать с индикаторной функцией некоторой области D.

Лапласиан индикатора можно рассматривать как имеющий бесконечно положительный и отрицательные значения при оценке очень близко к границе области D. С математической точки зрения это не строго функция, а обобщенная функция или мера. Подобно производной дельта-функции Дирака в одном измерении, лапласиан индикатора имеет смысл как математический объект только тогда, когда он появляется под знаком интеграла; т.е. это функция распределения. Как и в формулировке теории распределения, на практике оно рассматривается как предел последовательности гладких функций; можно осмысленно взять лапласиан функции выпуклости, которая по определению является гладкой, и позволить функции выпуклости приблизиться к индикатору в пределе.

Содержание

1 История
2 Дельта-простая функция поверхности Дирака
3 Дельта-функция поверхности Дирака
4 Аппроксимация с помощью ударных функций
5 Прерывистые тестовые функции
6 Приложения
- 6.1 Квантовая механика
- 6.2 Гидродинамика
- 6.3 Реконструкция поверхности
7 См. Также
8 Ссылки

История

Аппроксимация отрицательной индикаторной функции эллипса на плоскости (слева), производная по нормали к границе (в центре) и ее лапласиан (справа). В пределе крайний правый график переходит в (отрицательный) лапласиан индикатора. Чисто интуитивно говоря, крайний правый график напоминает эллиптический замок со стеной замка внутри и рвом перед ним; в пределе стена и ров становятся бесконечно высокими и глубокими (и узкими).

Поль Дирак ввел δ-функцию Дирака, как она стала известна, еще в 1930 году. Одномерная δ-функция Дирака отлична от нуля только в одной точке. Точно так же многомерное обобщение, как это обычно делается, ненулевое только в одной точке. В декартовых координатах d-мерная δ-функция Дирака является произведением d одномерных δ-функций; по одному для каждой декартовой координаты (см., например, обобщения дельта-функции Дирака ).

Однако возможно иное обобщение. Нулевую точку в одном измерении можно рассматривать как границу положительной полулинии. Функция 1x>0 равна 1 на положительной полулинии и нулю в противном случае, и также известна как ступенчатая функция Хевисайда. Формально δ-функцию Дирака и ее производную можно рассматривать как первую и вторую производную ступенчатой функции Хевисайда, то есть ∂ x1x>0 и $∂ x 2 1 x>0 {\ displaystyle \ partial _ {x} ^ {2} \ mathbf {1} _ {x>0}}$ $\partial_x^2 \mathbf{1}_{x>0}$ .

Аналогом ступенчатой функции в более высоких измерениях является индикаторная функция, которая может можно записать как 1x∈D, где D - некоторая область. Индикаторная функция также известна как характеристическая функция. По аналогии с одномерным случаем, следующие многомерные обобщения дираковского δ- были предложены функция и ее производная:

δ (x) → - nx ⋅ ∇ x 1 x ∈ D, δ ′ (x) → ∇ x 2 1 x ∈ D. {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta (x) \ to -n_ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {x \ in D}, \\\ delta '(x) \ to \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {1} _ {x \ in D}. \ End {align}}}

\begin{align} \delta(x) \to -n_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{x\in D}, \\ \delta'(x) \to \nabla_x^2 \mathbf{1}_{x\in D}. \end{align}

Он re n - направленный наружу вектор нормали. Здесь δ-функция Дирака обобщена до поверхностной дельта-функции на границе некоторой области D в d ≥ 1 измерениях. Это определение включает обычный одномерный случай, когда область берется за положительную полулинию. Он равен нулю, кроме границы области D (где он бесконечен), и интегрируется с общей площадью поверхности, охватывающей D, как показано ниже.

δ'-функция Дирака обобщается на поверхностную дельта-простую функцию на границе некоторой области D в d ≥ 1 измерениях. В одномерном измерении, взяв D равным положительной полупрямой, можно восстановить обычную одномерную δ'-функцию.

И нормальная производная индикатора, и лапласиан индикатора поддерживаются поверхностями, а не точками. Обобщение полезно, например, в квантовая механика, поскольку поверхностные взаимодействия могут приводить к граничным условиям при d>1, а точечные взаимодействия - нет. Естественно, что точечное и поверхностное взаимодействия совпадают при d = 1. Как поверхностные, так и точечные взаимодействия имеют долгую историю в квантовой механике, и существует обширная литература по так называемым поверхностным дельта-потенциалам или дельта-сферным взаимодействиям. Дельта-функции поверхности используют одномерную δ-функцию Дирака, но как функцию радиальной координаты r, например δ (r − R), где R - радиус сферы.

Хотя производные индикаторной функции кажутся плохо определенными, их можно формально определить с помощью теории распределений или обобщенных функций : можно получить четко определенный рецепт. постулируя, что лапласиан индикатора, например, определяется двумя интегрированиями по частям, когда он появляется под знаком интеграла. В качестве альтернативы индикатор (и его производные) можно аппроксимировать с помощью функции удара (и ее производных). Предел, при котором функция (гладкой) выпуклости приближается к индикаторной функции, затем должен быть вынесен за пределы интеграла.

Дельта-простая функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что лапласиан индикатора является поверхностной дельта-простой функцией. Дельта-функция поверхности будет рассмотрена ниже.

Во-первых, для функции f в интервале (a, b) напомним фундаментальную теорему исчисления

∫ ab ∂ f (x) ∂ xdx = lim x ↗ bf (x) - lim x ↘ af (x), {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial f (x)} {\ partial x}} \, dx = {\ underset {x \ nearrow b} {\ lim}} f (x) - {\ underset {x \ searchrow a} {\ lim}} f (x),}

\ int_a ^ b \ frac {\ partial f (x)} {\ partial x} \, dx = \ underset {x \ nearrow b} \ lim f (x) - \ underset {x \ seekrow a} \ lim f (x),

в предположении, что f локально интегрируем. Теперь для a < b it follows, by proceeding heuristically, that

∫ - ∞ + ∞ ∂ 2 1 a < x < b ∂ x 2 f ( x) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 a < x < b ∂ 2 f ( x) ∂ x 2 d x, = ∫ a b ∂ 2 f ( x) ∂ x 2 d x, = ( lim x ↗ b − lim x ↘ a) ∂ f ( x) ∂ x. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a

\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf {1} _ {a <x <b}} {\ partial x ^ 2} \, f (x) \; dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } \ mathbf {1} _ {a <x <b} \ frac {\ partial ^ 2 f (x)} {\ partial x ^ 2} \; dx, \\ = \ displaystyle \ int_a ^ b \ frac { \ partial ^ 2 е (x)} {\ partial x ^ 2} \; dx, \\ = \ displaystyle \ Big (\ underset {x \ nearrow b} \ lim - \ underset {x \ Searrow a} \ lim \ Big) \ frac {\ partial f (x)} {\ partial x}. \ end {align}

Здесь 1aиндикаторная функция области a < x < b. The indicator equals one when the condition in its subscript is satisfied, and zero otherwise. In this calculation, two интегрирования по частям показывают, что первое равенство держит; граничные члены равны нулю, когда a и b конечны, или когда f обращается в нуль на бесконечности. Последнее равенство показывает сумму производных по внешней нормали, где сумма берется по граничным точкам a и b, и где знаки следуют из внешнего направления (т.е. положительные для b и отрицательные для a). Хотя производных индикатора формально не существует, следование обычным правилам частичного интегрирования дает «правильный» результат. При рассмотрении конечной d-мерной области D ожидается, что сумма по внешним нормальным производным станет интегралом, что можно подтвердить следующим образом:

∫ R d ∇ x 2 1 x ∈ D f (x) dx = ∫ R d 1 x ∈ D ∇ x 2 f (x) dx, = ∫ D ∇ x 2 f (x) dx, = ∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f (α) d β. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f (x) \; dx = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, \ nabla _ {x} ^ {2} f (x) \; dx, \\ = \ int _ {D} \, \ nabla _ {x} ^ {2} f (x) \; dx, \\ = \ oint _ {\ partial D} \, {\ underset {\ alpha \ to \ beta} {\ lim}} n _ {\ beta} \ cdot \ nabla _ {\ alpha} f (\ alpha) \; d \ beta. \ end {align}}}

\ begin {align} \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ nabla_x ^ 2 \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f (x) \; dx = \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, \ nabla_x ^ 2 f (x) \; dx, \\ = \ int _ {D} \, \ nabla_x ^ 2 f ( x) \; dx, \\ = \ oint _ {\ partial D} \, \ underset {\ alpha \ to \ beta} \ lim n_ \ beta \ cdot \ nabla_ \ alpha f (\ alpha) \; d \ beta. \ end {align}

И снова первый равенство следует путем двух интегрирований по частям (в более высоких измерениях это происходит с помощью второго тождества Грина ), где граничные члены исчезают, пока область D конечна или если f обращается в нуль на бесконечности; например оба 1x∈D и ∇ x1x∈D равны нулю при оценке на «границе» R, когда область D конечна. Третье равенство следует из теоремы о расходимости и снова показывает сумму (или, в данном случае, интеграл) производных по внешней нормали по всем граничным местоположениям. Теорема о расходимости верна для кусочно-гладких областей D, поэтому D должна быть кусочно-гладкой.

Таким образом, δ'-функция Дирака может быть обобщена для существования на кусочно-гладкой поверхности, взяв лапласиан индикатора области D, порождающей эту поверхность. Естественно, разница между точкой и поверхностью исчезает в одном измерении.

В электростатике поверхностный диполь (или потенциал двойного слоя ) можно смоделировать с помощью предельного распределения лапласиана индикатора.

Приведенный выше расчет основан на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике.

Дельта-функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что производная индикатора по нормали (внутрь) равна поверхностная дельта-функция.

Для конечной области D или когда f обращается в нуль на бесконечности, из теоремы о расходимости следует, что

∫ R d ∇ x 2 (1 x ∈ D f (x)) dx = 0. {\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ nabla _ {x} ^ {2} \ left (\ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f ( x) \ right) \; dx = 0.}

\ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ nabla_x ^ 2 \ left (\ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f (x) \ right) \; dx = 0.

Из правила произведения следует, что

∫ R d ∇ x 2 1 x ∈ D f (x) dx + ∫ R d 1 x ∈ D ∇ x 2 f (x) dx = - 2 ∫ R d ∇ x 1 x ∈ D ⋅ ∇ xf (x) dx. {\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f (x) \; dx + \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, \ nabla _ {x} ^ {2} f (x) \; dx = -2 \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ cdot \ nabla _ {x} f (x) \; dx.}

\ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \, \ nabla_x ^ 2 \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, f (x) \; dx + \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, \ nabla_x ^ 2 f (x) \; dx = -2 \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ nabla_x \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ cdot \ nabla_x f (x) \; dx.

Согласно анализу раздела выше, два члена в левой части равны, и, следовательно,

∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f (α) d β = - R d ∇ x 1 x ∈ D ⋅ ∇ xf (x) dx. {\ displaystyle \ oint _ {\ partial D} \, {\ underset {\ alpha \ to \ beta} {\ lim}} n _ {\ beta} \ cdot \ nabla _ {\ alpha} f (\ alpha) \; d \ beta = - \ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ cdot \ nabla _ {x} f (x) \; dx.}

\ oint _ {\ partial D} \, \ underset {\ alpha \ to \ beta} \ lim n_ \ beta \ cdot \ nabla_ \ alpha f (\ alpha) \; d \ beta = - \ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ nabla_x \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ cdot \ nabla_x f (x) \; dx.

Градиент индикатора равен нулю везде, кроме области около границы D, где он указывает в нормальном направлении. Следовательно, важна только составляющая x f (x) в нормальном направлении. Предположим, что вблизи границы ∇ x f (x) равно n x g (x), где g - некоторая другая функция. Отсюда следует, что

∮ ∂ D g (β) d β = - ∫ R d ∇ x 1 x ∈ D ⋅ n x g (x) d x. {\ displaystyle \ oint _ {\ partial D} \, g (\ beta) \; d \ beta = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \, \ nabla _ {x} \ mathbf { 1} _ {x \ in D} \, \ cdot \, n_ {x} \, g (x) \; dx.}

\ oint _ {\ partial D} \, g (\ beta) \; d \ beta = - \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \, \ nabla_x \ mathbf {1} _ {x \ in D} \, \ cdot \, n_x \, ​​g ( х) \; dx.

Внешняя нормаль n x изначально была определена только для x на поверхности, но можно определить, что он существует для всех x; например, взяв внешнюю нормаль граничной точки, ближайшей к x.

Вышеприведенный анализ показывает, что −n x ⋅ ∇ x1x∈D можно рассматривать как поверхностное обобщение одномерной дельта-функции Дирака. Устанавливая функцию g равной единице, следует, что производная индикатора по внутренней нормали интегрируется с площадью поверхности D.

В электростатике поверхностные плотности заряда (или отдельные пограничные слои) можно смоделировать, используя дельта-функцию поверхности, как указано выше. В некоторых случаях может использоваться обычная дельта-функция Дирака, например когда поверхность имеет сферическую форму. В общем, описанная здесь поверхностная дельта-функция может использоваться для представления плотности поверхностного заряда на поверхности любой формы.

Вышеупомянутые вычисления основаны на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике.

Аппроксимация функциями выпуклости

В этом разделе показано, как производные индикатора могут быть обработаны численно под интегралом знак.

В принципе, показатель нельзя дифференцировать численно, так как его производная либо равна нулю, либо бесконечна. Но для практических целей индикатор может быть аппроксимирован функцией bump, обозначенной I ε (x) и приближающейся к индикатору при ε → 0. Возможны несколько вариантов, но удобно, чтобы функция выпуклости была неотрицательной и приближалась к индикатору снизу, т.е.

0 ≤ I ε (x) ≤ 1 x ∈ D ∀ ε>0 lim ε ↘ 0 I ε (x) = 1 Икс ∈ D {\ Displaystyle {\ begin {align} 0 \ leq I _ {\ varepsilon} (x) \ leq \ mathbf {1} _ {{x} \ in D} \ quad \ forall \ varepsilon>0 \\ {\ underset {\ varepsilon \ Searrow 0} {\ lim}} \; I _ {\ varepsilon} (x) = \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ end {align}}}

\begin{align} 0 \leq I_\varepsilon(x)\leq \mathbf{1}_{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon>0 \\ \ underset {\ varepsilon \ Searrow 0} \ lim \; I_ \ varepsilon (x) = \ mathbf {1} _ {x \ in D} \ end {align}

Это гарантирует, что семейство функций bump идентично нулю за пределами D. Это удобно, поскольку возможно, что функция f определена только в внутренность D. Для f, определенного в D, мы получаем, таким образом, следующее:

- lim ε ↘ 0 ∫ R df (x) nx ⋅ ∇ x I ε (x) dx = ∮ ∂ D lim α → β f (α) d β, lim ε ↘ 0 ∫ R d ∇ Икс 2 I ε (x) f (x) dx = ∮ ∂ D lim α → β n β ⋅ ∇ α f (α) d β, {\ Displaystyle { \ begin {align} - {\ underset {\ varepsilon \ Searrow 0} {\ lim}} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \, f (x) \, n_ {x} \ cdot \ nabla _ {x} I _ {\ varepsilon} (x) \; dx = \ oint _ {\ partial D} \, {\ underset {\ alpha \ to \ beta} {\ lim}} f (\ alpha) \; d \ beta, \\ {\ underset {\ varepsilon \ Searrow 0} {\ lim}} \, \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} \ nabla _ {x} ^ {2} I _ {\ varepsilon} (x) \, f (x) \; dx = \ oint _ {\ partial D} \, {\ underset {\ alpha \ to \ bet a} {\ lim}} n _ {\ beta} \ cdot \ nabla _ {\ alpha} f (\ alpha) \; d \ beta, \ end {align}}}

\ begin {align} - \ underset {\ varepsilon \ Searrow 0} \ lim \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \, f (x) \, n_x \ cdot \ nabla_x I _ {\ varepsilon} ( x) \; dx = \ oint _ {\ partial D} \, \ underset {\ alpha \ to \ beta} \ lim f (\ alpha) \; d \ beta, \\ \ underset {\ varepsilon \ Searrow 0 } \ lim \, \ int _ {\ mathbf {R} ^ d} \ nabla_x ^ 2 I _ {\ varepsilon} (x) \, f (x) \; dx = \ oint _ {\ partial D} \, \ underset {\ alpha \ to \ beta} \ lim n_ \ beta \ cdot \ nabla_ \ alpha f (\ alpha) \; d \ beta, \ end {align}

где внутренняя координата α приближается к границе координата β из внутренней части D, и там, где нет требования, чтобы f существовала за пределами D.

Когда f определена с обеих сторон границы и, кроме того, дифференцируема на границе D, тогда менее важно, как функция удара приближается к индикатору.

Разрывные тестовые функции

Если тестовая функция f, возможно, является разрывной на границе, то теория распределения для разрывных функций может использоваться для понимания поверхностных распределений, см., Например, раздел V дюйм. На практике для поверхностной дельта-функции это обычно означает усреднение значения f по обе стороны от границы D перед интегрированием по границе. Аналогичным образом, для поверхностной дельта-простой функции это обычно означает усреднение производной f по внешней нормали по обе стороны от границы области D перед интегрированием по границе.

Приложения

Квантовая механика

В квантовой механике точечные взаимодействия хорошо известны, и по этой теме имеется большое количество литературы. Хорошо известным примером одномерного сингулярного потенциала является уравнение Шредингера с дельта-потенциалом Дирака. С другой стороны, одномерный простой потенциал дельты Дирака вызвал споры. Полемика, казалось бы, была урегулирована независимой статьей, хотя даже эта статья впоследствии вызвала критику.

В последнее время гораздо больше внимания было сосредоточено на одномерном потенциале простой дельты Дирака.

Один момент. на одномерной линии можно рассматривать как точку, так и поверхность; точка отмечает границу между двумя регионами. Таким образом, было сделано два обобщения дельта-функции Дирака на более высокие измерения: обобщение до многомерной точки, а также обобщение до многомерной поверхности.

Первые обобщения известны как точечные взаимодействия, тогда как последние известны под разными названиями, например «дельта-сферные взаимодействия» и «поверхностные дельта-взаимодействия». Последние обобщения могут использовать производные индикатора, как объясняется здесь, или одномерную δ-функцию Дирака как функцию радиальной координаты r.

Гидродинамика

Лапласиан индикатора использовался в гидродинамике, например для моделирования интерфейсов между различными средами.

Реконструкция поверхности

Расхождение индикатора и лапласиана индикатора (или характеристической функции, поскольку индикатор также известны) использовались в качестве образца информации, по которой можно восстановить поверхности.

См. также

Ссылки