В geometry, нормаль - это такой объект, как line, ray или вектор, который на перпендикулярен заданному объекту. Например, в двух измерениях нормальная линия к кривой в данной точке является линией, перпендикулярной касательной к кривой в данной точке. Вектор нормали может иметь длину один (единичный вектор ) или его длина может представлять кривизну объекта (вектор кривизны ); его алгебраический знак может указывать на стороны (внутренние или внешние).
В трех измерениях нормаль поверхности, или просто нормаль, к поверхности в точке P является вектором перпендикуляр к касательной плоскости поверхности в точке P. Слово «нормальный» также используется как прилагательное: прямая, нормальная к плоскость, нормальный компонент силы , вектор нормали и т. д. Концепция нормальности обобщается на ортогональность (прямые углы ).
Эта концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенные в евклидово пространство. нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке P - это набор векторов, которые ортогональны касательному пространству в точке P. особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей.
Нормаль часто используется в 3D компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, так как будет определена только одна нормаль), чтобы определить ориентацию поверхности к источнику света для плоского затенения или ориентацию каждого из углов поверхности (вершин ) для имитации искривленной поверхности с Затенение Фонга.
Для выпуклого многоугольника (например, треугольник ), нормаль к поверхности может быть вычислена как векторное векторное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.
Для плоскости , заданной уравнением , вектор является нормальным.
Для плоскости, уравнение которой дано в параметрической форме
где r0- точка на плоскости, а p,q- непараллельные векторы, указывающие вдоль плоскости, нормаль к плоскость является вектором, нормальным как к p, так и к q, что можно найти как перекрестное произведение .
Если (возможно, не плоская) поверхность S в 3-м пространстве R параметризована системой криволинейных координат r(s, t) = (x (s, t), y (s, t), z (s, t)), где s и t real переменных, то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, заданной перекрестным произведением частных производных
Если задана поверхность S. неявно как набор точек , удовлетворяющих , затем нормаль в точке на поверхности задается градиентом
поскольку градиент в любой точке перпендикулярен заданному уровню S.
Для поверхности S в R, заданной как график функции нормаль, направленная вверх, может быть найдена либо из параметризации , что дает:
или проще из его неявной формы , что дает .
Поскольку поверхность не имеет касательной плоскости в особой точке, она имеет в этой точке нет четко определенной нормали: например, вершина конуса . В общем, можно определить нормаль почти всюду для поверхности, которая липшицева.
Нормаль к (гипер) поверхности обычно масштабируется до единичной длины, но у него нет уникального направления, поскольку его противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности, которая является топологической границей набора в трех измерениях, можно различать направленную внутрь нормаль и внешнюю направленную нормаль . Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется правилом правой руки или его аналогом в более высоких измерениях.
Если нормаль построена как векторное произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), это псевдовектор.
При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно вывести нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.
В частности, для матрицы преобразования 3x3 M мы можем определить матрицу W, которая преобразует вектор n, перпендикулярный касательной плоскости t в вектор n ′, перпендикулярный преобразованной касательной плоскости M t, по следующей логике:
Запишите n ′ как W n . Мы должны найти W.
Ясно выбирая W так, чтобы , или , будет удовлетворять вышеуказанному уравнению, давая перпендикулярно или n ′ перпендикулярно t ′, если требуется.
Следовательно, при преобразовании нормалей к поверхности следует использовать обратное транспонирование линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормирована, то есть чисто вращательная без масштабирования или сдвига.
Для -мерного гиперплоскость в n-мерном пространстве R, заданном параметрическим представлением
где p0- точка на гиперплоскости, а piдля i = 1,..., n -1 - линейно независимые векторы, указывающие вдоль гиперплоскости, нормалью к гиперплоскости является любой вектор в нулевом пространстве матрица , что означает . То есть любой вектор, ортогональный всем векторам в плоскости, по определению является нормалью к поверхности. В качестве альтернативы, если гиперплоскость определяется как набор решений одного линейного уравнения , тогда вектор нормально.
Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве может быть расширено до (n-1) -мерных гиперповерхностей в R . Гиперповерхность может быть локально определена неявно как набор точек удовлетворяющее уравнению , где - заданная скалярная функция. Если является непрерывно дифференцируемым, то гиперповерхность является дифференцируемым многообразием в окрестности точек где градиент не равен нулю. В этих точках вектор нормали задается градиентом:
Нормальная линия - это одномерное подпространство с базой {n }.
A дифференциальное многообразие, определяемые неявными уравнениями в n-мерном пространстве R - это совокупность общих нули конечного множества дифференцируемых функций от n переменных
Матрица Якоби многообразия - это матрица размера k × n, i-я строка которой представляет собой градиент f i. По теореме о неявной функции многообразие представляет собой многообразие в окрестности точки, где матрица Якоби имеет ранг k. В такой точке P нормальное векторное пространство является векторным пространством, порожденным значениями в P векторов градиента f i.
Другими словами, разнообразие определяется как пересечение k гиперповерхностей, а нормальное векторное пространство в точке - это векторное пространство, порожденное векторами нормалей гиперповерхностей в точке.
нормальное (аффинное) пространство в точке P многообразия - это аффинное подпространство, проходящее через P и порожденное нормальным векторным пространством в точке P.
Эти определения могут быть дословно распространены на точки, где многообразие не является многообразием.
Пусть V будет разновидностью, определяемой в трехмерном пространстве уравнениями
Это разнообразие представляет собой объединение оси x и оси y.
В точке (a, 0, 0), где a ≠ 0, строки матрицы Якоби - это (0, 0, 1) и (0, a, 0). Таким образом, нормальное аффинное пространство - это плоскость уравнения x = a. Аналогично, если b ≠ 0, нормальная плоскость в точке (0, b, 0) является плоскостью уравнения y = b.
В точке (0, 0, 0) строки матрицы Якоби - это (0, 0, 1) и (0, 0, 0). Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство - это ось z.
Нормальный луч - это направленный наружу луч , перпендикуляр к поверхности оптической среды в заданной точке. В отражении света угол падения и угол отражения соответственно представляют собой угол между нормалью и падающим лучом ( на плоскости падения ) и угол между нормалью и отраженным лучом.