Теория потенциала

редактировать

В математике и математической физике теория потенциала изучение гармонических функций.

Термин «теория потенциала» был придуман в физике 19 века, когда стало известно, что две фундаментальные силы природы, известные в то время, а именно гравитацию и электростатическую силу, можно смоделировать с помощью функций, называемых гравитационным потенциалом и электростатическим потенциалом, которые удовлетворяют уравнению Пуассона - или в вакууме, Уравнение Лапласа.

Существует значительное совпадение между теорией потенциала и теорией уравнения Пуассона до такой степени, что невозможно провести различие между этими двумя полями. Разница заключается не в предмете, а в акцентах и ​​основывается на следующем различии: теория потенциала фокусируется на свойствах функций, а не на свойствах уравнения. Например, результат о особенностях гармонических функций можно было бы назвать принадлежащим теории потенциала, в то время как результат о том, как решение зависит от граничных данных, можно было бы сказать, что он принадлежит теории уравнения Лапласа. Это несложное различие, и на практике эти две области в значительной степени пересекаются, при этом методы и результаты одного используются в другом.

Современная теория потенциала также тесно связана с вероятностью и теорией цепей Маркова. В непрерывном случае это тесно связано с аналитической теорией. В случае с конечным пространством состояний эта связь может быть введена путем введения электрической сети в пространстве состояний с сопротивлением между точками, обратно пропорциональным вероятностям перехода, и плотностями, пропорциональными потенциалам. Даже в конечном случае аналог I-K лапласиана в теории потенциала имеет свой принцип максимума, принцип единственности, принцип баланса и другие.

Содержание

  • 1 Симметрия
  • 2 Два измерения
  • 3 Локальное поведение
  • 4 Неравенства
  • 5 Пространства гармонических функций
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Симметрия

Полезной отправной точкой и организационным принципом в изучении гармонических функций является рассмотрение симметрии уравнения Лапласа. Хотя это не симметрия в обычном смысле этого слова, мы можем начать с наблюдения, что уравнение Лапласа является линейным. Это означает, что фундаментальным объектом изучения теории потенциала является линейное пространство функций. Это наблюдение окажется особенно важным, когда мы рассмотрим подходы к предмету в функциональном пространстве в следующем разделе.

Что касается симметрии в обычном смысле этого слова, мы можем начать с теоремы о том, что симметрии n {\ displaystyle n}n -мерного уравнения Лапласа в точности соответствуют конформные симметрии n {\ displaystyle n}n -мерного евклидова пространства. Этот факт имеет несколько значений. Прежде всего, можно рассматривать гармонические функции, которые преобразуются при неприводимых представлениях конформной группы или ее подгрупп (таких как группа вращений или сдвигов). Действуя таким образом, можно систематически получать решения уравнения Лапласа, которые возникают из разделения переменных, таких как решения сферической гармоники и ряд Фурье. Взяв линейные суперпозиции этих решений, можно получить большие классы гармонических функций, которые, как можно показать, плотны в пространстве всех гармонических функций при подходящей топологии.

Во-вторых, можно использовать конформную симметрию, чтобы понять такие классические приемы и методы генерации гармонических функций, как преобразование Кельвина и метод изображений.

В-третьих, можно использовать конформное преобразование для отображения гармонических функций в одной области в гармонические функции в другой области. Наиболее распространенный пример такой конструкции - связать гармонические функции на диске с гармоническими функциями на полуплоскости.

В-четвертых, можно использовать конформную симметрию для расширения гармонических функций до гармонических функций на конформно плоских римановых многообразиях. Возможно, самым простым таким расширением является рассмотрение гармонической функции, определенной на всем R (с возможным исключением дискретного набора особых точек) как гармонической функции на n {\ displaystyle n}n -мерная сфера. Возможны и более сложные ситуации. Например, можно получить многомерный аналог теории римановой поверхности, выразив многозначную гармоническую функцию как однозначную функцию на разветвленном покрытии R, или можно рассматривать гармонические функции, которые являются инвариантными под дискретной подгруппой конформной группы как функции на многосвязном многообразии или орбифолде.

в двух измерениях

Из того факта, что группа конформных преобразований бесконечномерна в двух измерениях и конечномерна. размерность более двух измерений, можно предположить, что теория потенциала в двух измерениях отличается от теории потенциала в других измерениях. Это правильно, и на самом деле, когда понимаешь, что любая двумерная гармоническая функция является действительной частью сложной аналитической функции, можно увидеть, что предмет двумерного потенциала Теория по существу такая же, как и у комплексного анализа. По этой причине, говоря о теории потенциала, мы фокусируем внимание на теоремах, которые справедливы в трех или более измерениях. В этой связи удивительным фактом является то, что многие результаты и концепции, первоначально обнаруженные в комплексном анализе (например, теорема Шварца, теорема Мореры, теорема Вейерштрасса-Казорати, серия Лорана и классификация особенностей как устранимых, полюсов и существенных особенностей ) обобщаются на результаты о гармонических функциях в любой размерности. Рассмотрев, какие теоремы комплексного анализа являются частными случаями теорем теории потенциала в каком-либо измерении, можно получить представление о том, что именно особенного в комплексном анализе в двух измерениях и что является просто двумерным примером более общих результатов.

Локальное поведение

Важной темой в теории потенциала является изучение локального поведения гармонических функций. Возможно, самая фундаментальная теорема о локальном поведении - это теорема регулярности для уравнения Лапласа, которая утверждает, что гармонические функции аналитичны. Есть результаты, которые описывают локальную структуру наборов уровней гармонических функций. Существует теорема Бохера, которая характеризует поведение изолированных особенностей положительных гармонических функций. Как упоминалось в последнем разделе, можно классифицировать изолированные особенности гармонических функций как устранимые особенности, полюсы и существенные особенности.

Неравенства

Полезным подходом к изучению гармонических функций является рассмотрение неравенств, которым они удовлетворяют. Возможно, самым основным из таких неравенств, из которого можно вывести большинство других неравенств, является принцип максимума. Другой важный результат - это теорема Лиувилля, которая утверждает, что единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всем R, фактически являются постоянными функциями. В дополнение к этим основным неравенствам существует неравенство Гарнака, которое утверждает, что положительные гармонические функции на ограниченных областях примерно постоянны.

Одно из важных применений этих неравенств - доказательство сходимости семейств гармонических функций или субгармонических функций, см. теорему Гарнака. Эти теоремы сходимости используются для доказательства существования гармонических функций с определенными свойствами.

Пространства гармонических функций

Поскольку уравнение Лапласа является линейным, набор гармонических функций определенная в данной области, фактически является векторным пространством . Определяя подходящие нормы и / или скалярные продукты, можно показать наборы гармонических функций, которые образуют гильбертовы или банаховы пространства. Таким образом, получаются такие пространства, как пространство Харди, пространство Блоха, пространство Бергмана и пространство Соболева.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-02 12:47:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте