Личность Грина

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общее Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разнообразный Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В математике, тождества Грина представляют собой набор из трех идентичностей в векторном исчислении, связывающий массу с границей области, на которой действуют дифференциальные операторы. Они названы в честь математика Джорджа Грина, открывшего теорему Грина.

• 1 первая идентичность Грина
• 2 Вторая личность Грина
• 3 Третья личность Грина
• 4 На коллекторах
• 5 векторная идентичность Грина
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

Это тождество выводится из теоремы о расходимости, примененной к векторному полю F = ψ  ∇ φ, и использования тождества ∇ ( φ X) = ∇ φ X + φ ∇ X: Пусть φ и ψ - скалярные функции, определенные на некотором область U ⊂ R ^d, и предположим, что φ дважды непрерывно дифференцируемо, а ψ один раз непрерывно дифференцируемо. потом

${\ Displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \, \ Delta \ varphi + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ varphi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ left (\ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS = \ oint _ {\ partial U} \ psi \, \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {S}}$

где ∆ ≡ ∇ ² - оператор Лапласа, ∂ U - граница области U, n - направленная наружу единица, нормаль к элементу поверхности dS, а d S = n dS - ориентированный элемент поверхности.

Эта теорема является частным случаем теоремы о расходимости и, по сути, является эквивалентом более высокой размерности интегрирования по частям с ψ и градиентом φ, заменяющим u и v.

Обратите внимание, что первое тождество Грина, приведенное выше, является частным случаем более общего тождества, полученного из теоремы о расходимости заменой F = ψ Γ,

${\ Displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \, \ nabla \ cdot \ mathbf {\ Gamma} + \ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ nabla \ psi \ right) \, dV = \ oint _ { \ partial U} \ psi \ left (\ mathbf {\ Gamma} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \, dS = \ oint _ {\ partial U} \ psi \ mathbf {\ Gamma} \ cdot d \ mathbf {S} ~.}$

Если φ и ψ оба дважды непрерывно дифференцируемы на U ⊂ R ³, а ε один раз непрерывно дифференцируемо, можно выбрать F = ψε  ∇ φ - φε  ∇ ψ, чтобы получить

${\ displaystyle \ int _ {U} \ left [\ psi \, \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ varphi \ right) - \ varphi \, \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon \, \ nabla \ psi \ right) \ right] \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ varepsilon \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial \ mathbf {n}} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial \ mathbf {n}} \ right) \, dS ~.}$

В частном случае ε = 1 на всем протяжении U ⊂ R ³, тогда

${\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ left (\ psi {\ partial \ varphi \ over \ partial \ mathbf {n}} - \ varphi {\ partial \ psi \ over \ partial \ mathbf {n}} \ right) \, dS.}$

В приведенном выше уравнении ∂ φ / ∂ n - это производная от φ по направлению направленной наружу нормали к поверхности n элемента поверхности dS,

${\ displaystyle {\ partial \ varphi \ over \ partial \ mathbf {n}} = \ nabla \ varphi \ cdot \ mathbf {n} = \ nabla _ {\ mathbf {n}} \ varphi.}$

Явное включение этого определения во второе тождество Грина с ε = 1 приводит к

${\ displaystyle \ int _ {U} \ left (\ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi - \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \ right) \, dV = \ oint _ {\ partial U} \ left (\ psi \ nabla \ varphi - \ varphi \ nabla \ psi \ right) \ cdot d \ mathbf {S}.}$

В частности, это свидетельствует о том, что лапласиан является самосопряженным оператором в L ² скалярного произведения для функций, равных нулю на границе так, что правая сторона выше идентичности равна нулю.

Черпает Грин третьей идентичности из второго тождества, выбирая ф = G, где функция Грина G принимается, чтобы быть фундаментальным решением от оператора Лапласа, Д. Это значит, что:

${\ displaystyle \ Delta G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = \ delta (\ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}}) ~.}$

Например, в R ³ решение имеет вид

${\ displaystyle G (\ mathbf {x}, {\ boldsymbol {\ eta}}) = {\ frac {-1} {4 \ pi \ | \ mathbf {x} - {\ boldsymbol {\ eta}} \ | }} ~.}$

Третье тождество Грина утверждает, что если ψ - функция, дважды непрерывно дифференцируемая на U, то

${\ displaystyle \ int _ {U} \ left [G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \, \ Delta \ psi (\ mathbf {y}) \ right] \, dV _ {\ mathbf {y}} - \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ partial \ psi \ over \ partial \ mathbf {n}} (\ mathbf {y}) - \ psi (\ mathbf {y}) {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) \ over \ partial \ mathbf {n}} \ right] \, dS _ {\ mathbf {y}}.}$

Упрощение возникает, если ψ сама является гармонической функцией, т. Е. Решением уравнения Лапласа. Тогда ∇ ²ψ = 0 и тождество упрощается до

${\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ oint _ {\ partial U} \ left [\ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ partial \ mathbf {n}}} - G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}}) {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ mathbf {n}}} (\ mathbf {y}) \ right] \, dS _ {\ mathbf {y}}.}.$

Второй член в приведенном выше интеграле можно исключить, если в качестве G выбрать функцию Грина, которая обращается в нуль на границе U ( граничное условие Дирихле ),

${\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {\ eta}}) = \ oint _ {\ partial U} \ psi (\ mathbf {y}) {\ frac {\ partial G (\ mathbf {y}, {\ boldsymbol {\ eta}})} {\ partial \ mathbf {n}}} \, dS _ {\ mathbf {y}} ~.}$

Эта форма используется для построения решений краевых задач Дирихле. Вместо этого для поиска решений краевых задач Неймана используется функция Грина с нулевым нормальным градиентом на границе.

Можно дополнительно проверить, что указанное выше тождество также применимо, когда ψ является решением уравнения Гельмгольца или волнового уравнения, а G - подходящей функцией Грина. В таком контексте это тождество является математическим выражением принципа Гюйгенса и приводит к формуле дифракции Кирхгофа и другим приближениям.

На римановом многообразии справедливы тождества Грина. В этой настройке первые два

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {M} u \, \ Delta v \, dV + \ int _ {M} \ langle \ nabla u, \ nabla v \ rangle \, dV amp; = \ int _ {\ частичное M} uNv \, d {\ widetilde {V}} \\\ int _ {M} \ left (u \, \ Delta vv \, \ Delta u \ right) \, dV amp; = \ int _ {\ partial M } (uNv-vNu) \, d {\ widetilde {V}} \ конец {выровнено}}}$

где u и v - гладкие вещественнозначные функции на M, dV - форма объема, совместимая с метрикой, - форма индуцированного объема на границе M, N - ориентированное наружу единичное векторное поле, нормальное к границе, и Δ u = div (grad u) - лапласиан. ${\ displaystyle d {\ widetilde {V}}}$

Второе тождество Грина устанавливает связь между производными второго и (расходимостью) первого порядка двух скалярных функций. В дифференциальной форме

${\ displaystyle p_ {m} \, \ Delta q_ {m} -q_ {m} \, \ Delta p_ {m} = \ nabla \ cdot \ left (p_ {m} \ nabla q_ {m} -q_ {m) } \, \ nabla p_ {m} \ right),}$

где p m и q m - два произвольных дважды непрерывно дифференцируемых скалярных поля. Это тождество имеет большое значение в физике, потому что таким образом можно установить уравнения неразрывности для скалярных полей, таких как масса или энергия.

В теории векторной дифракции вводятся две версии второго тождества Грина.

Один вариант предполагает дивергенцию перекрестного произведения и устанавливает взаимосвязь в терминах ротора-ротора поля.

${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) - \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ раз \ mathbf {Q} \ right) \ right).}$

Это уравнение можно записать в терминах лапласианов:

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} + \ mathbf {Q} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right) \ right] - \ mathbf {P} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) \ right] = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) \ right).}$

Однако условия

${\ displaystyle \ mathbf {Q} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right) \ right] - \ mathbf {P} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ набла \ cdot \ mathbf {Q} \ right) \ right],}$

не может быть легко записано в терминах расхождения.

Другой подход вводит бивекторы, эта формулировка требует диадической функции Грина. Представленный здесь вывод позволяет избежать этих проблем.

Считайте, что скалярные поля во втором тождестве Грина являются декартовыми компонентами векторных полей, т. Е.

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ sum _ {m} p_ {m} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {m}, \ qquad \ mathbf {Q} = \ sum _ {m} q_ {m} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {m}.}$

Суммируя уравнение для каждого компонента, получаем

${\ displaystyle \ sum _ {m} \ left [p_ {m} \ Delta q_ {m} -q_ {m} \ Delta p_ {m} \ right] = \ sum _ {m} \ nabla \ cdot \ left ( p_ {m} \ nabla q_ {m} -q_ {m} \ nabla p_ {m} \ right).}$

LHS в соответствии с определением скалярного произведения может быть записан в векторной форме как

${\ displaystyle \ sum _ {m} \ left [p_ {m} \, \ Delta q_ {m} -q_ {m} \, \ Delta p_ {m} \ right] = \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P}.}$

RHS немного сложнее выразить в терминах векторных операторов. Из-за дистрибутивности оператора дивергенции по сложению сумма дивергенции равна дивергенции суммы, т. Е.

${\ displaystyle \ sum _ {m} \ nabla \ cdot \ left (p_ {m} \ nabla q_ {m} -q_ {m} \ nabla p_ {m} \ right) = \ nabla \ cdot \ left (\ sum _ {m} p_ {m} \ nabla q_ {m} - \ sum _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m} \ right).}$

Напомним векторную идентичность для градиента скалярного произведения,

${\ displaystyle \ nabla \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ right) = \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {Q} + \ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P} + \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) + \ mathbf {Q} \ times \ left (\ набла \ раз \ mathbf {P} \ right),}$

которое, записанное в компонентах вектора, имеет вид

${\ displaystyle \ nabla \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ right) = \ nabla \ sum _ {m} p_ {m} q_ {m} = \ sum _ {m} p_ {m } \ nabla q_ {m} + \ sum _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m}.}$

Этот результат аналогичен тому, что мы хотим показать в векторных терминах «за исключением» знака «минус». Поскольку дифференциальные операторы в каждом члене действуют либо на один вектор (скажем,), либо на другой ( а), вклад в каждый член должен быть ${\ displaystyle p_ {m}}$${\ displaystyle q_ {m}}$

${\ displaystyle \ sum _ {m} p_ {m} \ nabla q_ {m} = \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {Q} + \ mathbf {P} \ times \ left (\ набла \ раз \ mathbf {Q} \ right),}$

${\ displaystyle \ sum _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m} = \ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P} + \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right).}$

Правильность этих результатов может быть строго доказана путем оценки компонентов вектора. Следовательно, RHS можно записать в векторной форме как

${\ displaystyle \ sum _ {m} p_ {m} \ nabla q_ {m} - \ sum _ {m} q_ {m} \ nabla p_ {m} = \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {Q} + \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P } - \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right).}$

Объединяя эти два результата, получаем результат, аналогичный теореме Грина для скалярных полей:

Теорема для векторных полей.

${\ displaystyle \ color {OliveGreen} \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ left [\ left (\ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {Q} + \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P} - \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) \ right].}$

Завиток поперечного продукта может быть записан в виде

${\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {P} \ times \ mathbf {Q} \ right) = \ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P} - \ left ( \ mathbf {P} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {Q} + \ mathbf {P} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right);}$

Тогда векторную идентичность Грина можно переписать как

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {P} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right) - \ nabla \ times \ left (\ mathbf {P} \ times \ mathbf {Q } \ right) + \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) \верно].}$

Поскольку дивергенция ротора равна нулю, третий член обращается в нуль, давая

Векторная идентичность Грина.

${\ displaystyle \ color {OliveGreen} \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {P} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right) + \ mathbf {P} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {P} \ right) \ right].}$

С помощью аналогичной процедуры лапласиан скалярного произведения может быть выражен через лапласианы множителей

${\ displaystyle \ Delta \ left (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} \ right) = \ mathbf {P} \ cdot \ Delta \ mathbf {Q} - \ mathbf {Q} \ cdot \ Delta \ mathbf {P} +2 \ nabla \ cdot \ left [\ left (\ mathbf {Q} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {P} + \ mathbf {Q} \ times \ nabla \ times \ mathbf {P} \ верно].}$

Как следствие, неудобные термины теперь могут быть записаны в терминах расходимости по сравнению с векторным уравнением Грина:

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) \ right] - \ mathbf {Q} \ cdot \ left [\ nabla \ left (\ набла \ cdot \ mathbf {P} \ right) \ right] = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {P} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {Q} \ right) - \ mathbf {Q} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {P} \ right) \ right].}$

Этот результат можно проверить, разложив расходимость скаляра на вектор на правой стороне.

• Функция Грина
• Интегральная теорема Кирхгофа
• Тождество Лагранжа (краевая задача)

• "Зеленые формулы", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• [1] Личность Грина в Wolfram MathWorld