Геометрическая последовательность

Сумма (бесконечной) геометрической прогрессии Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрат (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16 и т. д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата. Другой геометрический ряд (общий масштаб a = 4/9 и стандартное отношение r = 1/9), показанный как площади фиолетовых квадратов. Общая фиолетовая площадь S = a / (1 - r) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, что можно подтвердить, наблюдая, что внешний квадрат разделен на бесконечное количество L-образных областей, каждая из которых состоит из четырех пурпурных квадратов и четырех желтых квадратов, наполовину фиолетовых.

В математике геометрический ряд - это ряд с постоянным соотношением между последовательными членами. Например, ряд

$1\; 2\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 8\; +\; 1\; 16\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\}$

является геометрическим, поскольку каждый последующий член можно получить, умножив предыдущий член на 1/2.

Геометрические ряды являются одними из самых простых примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством. Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в исследовании сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике, и они имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике., теория массового обслуживания и финансы.

• 1 Общее соотношение
• 2 Сумма
  • 2.1 Пример
  • 2.2 Формула
  • 2.3 Доказательство сходимости
• 3 Приложения
  • 3.1 Повторяющиеся десятичные дроби
  • 3.2 Квадратура Параболы Архимеда
  • 3.3 Фрактальная геометрия
  • 3.4 Парадоксы Зенона
  • 3.5 Евклид
  • 3.6 Экономика
  • 3.7 Геометрический степенной ряд
• 4 См. Также
  • 4.1 Конкретные геометрические ряды
• 5 Ссылки
  • 5.1 История и философия
  • 5.2 Экономика
  • 5.3 Биология
  • 5.4 Информатика
• 6 Внешние ссылки

Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1/2 Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1

Члены геометрического ряды образуют геометрическую прогрессию, что означает, что отношение следующих друг за другом членов в серия постоянна. Это соотношение позволяет представить геометрический ряд, используя только два члена, r и a. Член r - это обычное отношение, а a - первый член ряда. В качестве примера приведен геометрический ряд, приведенный во введении:

$1\; 2\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 8\; +\; 1\; 16\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{4\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\}$

можно просто записать как

$a\; +\; ar\; +\; ar\; 2\; +\; ar\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; ar\; +\; ar\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\}$, где $a\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$и $r\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$.

В следующей таблице показано несколько геометрических рядов с разными начальными членами и общими отношениями:

Начальный член, a	Общее отношение, r	Пример серии
4	10	4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
9	1/3	9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
7	1/10	7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + ···
3	1	3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
1	−1/2	1 - 1 / 2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ···
3	–1	3 - 3 + 3 - 3 + 3 - ···

поведение членов зависит от общего отношения r:

Если r находится между -1 и +1, члены ряда приближаются каждый нуль в пределе (становится все меньше и меньше в величине ), и ряд сходится к сумме. В приведенном выше случае, где r равно 1/2, ряд сходится к 1.

Если r больше единицы или меньше минус единицы, члены серии становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. (Ряд расходится.)

Если r равно единице, все члены ряда одинаковы. Ряд расходится.

Если r минус один члены принимают два значения поочередно (например, 2, −2, 2, −2, 2,...). Сумма членов колеблется между двумя значениями (например,, 2, 0, 2, 0, 2,...). Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы. См., Например, Ряд Гранди : 1 - 1 + 1 - 1 + ···.

сумма геометрического ряда конечна до тех пор, пока абсолютное значение отношения меньше 1; поскольку числа, близкие к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на то, что ряд содержит бесконечно много членов. Сумма может быть вычислена с использованием самоподобия ряда.

Пример

Визуальный вывод суммы бесконечных членов геометрического ряда

Рассмотрим сумму следующего геометрического ряда:

$s\; =\; 1\; +\; 2\; 3\; +\; 4\; 9\; +\; 8\; 27\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{9\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\; 27\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Эта серия имеет общее отношение 2/3. Если мы умножим на это обычное отношение, то начальная 1 станет 2/3, 2/3 станет 4/9 и так далее:

$2\; 3\; s\; =\; 2\; 3\; +\; 4\; 9\; +\; 8\; 27\; +\; 16\; 81\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; s\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{9\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; frac\; \{8\}\; \{27\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{81\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что первая срок отсутствует. Вычитание нового ряда (2/3) s из исходного ряда s отменяет каждый член в оригинале, кроме первого,

$s\; -\; 2\; 3\; s\; =\; 1,\; поэтому\; s\; =\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash ,\; -\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; s\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1,\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \{\backslash \; t\_dv\; \{so\}\}\; s\; =\; 3.\}$

Аналогичный метод можно использовать для вычисления любого самоподобное выражение.

Формула

Следующий геометрический вывод S = a / (1 - r) начинается с представления членов геометрического ряда 1, r, r,... r... в виде областей перекрытия квадраты, A 0, A 1, A 2,... A i... соответственно. Каждая перекрывающаяся квадратная область A i содержит неперекрывающуюся L-образную область L i = A i - A i + 1 = A i (1 - r). Следовательно, A i / L i = 1 / (1 - r) или A i = L i / (1 - р). Другими словами, каждая перекрывающаяся квадратная область может быть преобразована в эквивалентную область без перекрытия L-формы путем увеличения L-формы этой области в 1 / (1 - r). Учитывая, что сумма всех немасштабированных L-образных областей равна 1 (поскольку они разделяют единичный квадрат), сумма всех L-образных областей, масштабированных на 1 / (1 - r), также должна быть 1 / (1 - r), который представляет собой сумму площадей всех перекрывающихся квадратов, которая является суммой всех членов геометрического ряда. К единичному квадрату можно применить общий масштаб a, чтобы получить более общий вид формулы замкнутой формы, S = a / (1 - r), которая выводится для диапазона 0 < r < 1 but can be extended to the range -1 < r < 1 by applying the derived formula separately to two partitions of the geometric series: one with even powers of r (which cannot be negative) and the other with odd powers of r (which can be negativ e). The sum over both partitions is S = a / (1 - r) + a r / (1 - r) = a (1 + r) / ((1 + r)(1 - r)) = a / (1 - r). Ниже приводится геометрический вывод формулы формула частичного геометрического ряда S = 1 + r + r +... + r со знаменателем r>1. Каждый член ряда r представлен площадью перекрывающегося квадрата A i, который может быть преобразован в неперекрывающуюся L-образную область. Каждая L-образная область L i = A i - A i-1 = (1 - 1 / r) A i = (r - 1) A i / r = (r - 1) A i-1, что эквивалентно L i + 1 = (r - 1) A i или A i = L i + 1 / (r - 1). Следовательно, S, сумма A i от i = от 0 до n-1 равна сумме L i / (r - 1) по i = от 1 до n. Отметим, что немасштабированный L i в диапазоне от i = от 1 до n является просто разделом A n за вычетом правого верхнего края области A 0, S = (A n - A 0) / (r - 1) = (r - 1) / (r - 1). Применение общего масштаба a ко всем перекрывающимся и неперекрывающимся областям фигуры приводит к S = a (r - 1) / (r - 1).

Для $r\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; neq\; 1\; \}$, сумма первых n членов геометрического ряда равна

$a\; +\; ar\; +\; ar\; 2\; +\; ar\; 3\; +\; \cdots \; +\; arn\; -\; 1\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; арк\; знак\; равно\; a\; (1\; -\; rn\; 1\; -\; r),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; ar\; +\; ar\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; ar\; ^\; \{n-1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; ar\; ^\; \{k\}\; =\; a\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{n\}\}\; \{1-r\}\}\; \backslash \; right),\}$

где a - первый член ряда, а r - обычное отношение. Формулу суммы s можно вывести следующим образом:

$s\; =\; a\; +\; ar\; +\; ar\; 2\; +\; ar\; 3\; +\; \cdots \; +\; arn\; -\; 1,\; rs\; =\; ar\; +\; ar\; 2\; +\; ar\; 3\; +\; \cdots \; +\; arn\; -\; 1\; +\; arn,\; s\; -\; rs\; =\; a\; -\; arn,\; s\; (1\; -\; r)\; =\; a\; (1\; -\; rn),\; s\; =\; a\; (1\; -\; rn\; 1\; -\; r)\; (если\; r\; \ne \; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; s\; =\; a\; +\; ar\; +\; ar\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; ar\; ^\; \{n-1\},\; \backslash \backslash \; rs\; =\; ar\; +\; ar\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; ar\; ^\; \{n-1\}\; +\; ar\; ^\; \{n\},\; \backslash \backslash \; s-rs\; =\; a-ar\; ^\; \{n\},\; \backslash \backslash \; s\; (1-r)\; =\; a\; (1\; -r\; ^\; \{n\}),\; \backslash \backslash \; s\; =\; a\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{n\}\}\; \{1-r\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{(if\}\}\; r\; \backslash \; neq\; 1\; \{\backslash \; text\; \{)\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Когда n стремится к бесконечности, абсолютное значение r должно быть меньше единицы, чтобы ряды сходились. Сумма тогда становится

Когда a = 1, это можно упростить до

$1\; +\; r\; +\; r\; 2\; +\; r\; 3\; +\; \cdots \; =\; 1\; 1\; -\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; r\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-r\}\},\}$

левая часть представляет собой геометрическое ряд с общим отношением r.

Формула также верна для комплексного r, с соответствующим ограничением, модуль r строго меньше единицы.

Доказательство сходимости

Мы можем доказать, что геометрический ряд сходится, используя формулу суммы для геометрической прогрессии :

$1\; +\; r\; +\; r\; 2\; +\; r\; 3\; +\; \cdots \; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; r\; +\; r\; 2\; +\; \cdots \; +\; rn)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; 1\; -\; rn\; +\; 1\; 1\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 1\; +\; r\; +\; r\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; r\; +\; r\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{1-r\}\}.\; \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

Поскольку (1 + r + r +... + r) (1 − r)

= ((1-r) + (r - r) + (r - r) +... + (r - r))

= ((1 -r) + (r - r) + (r - r) +... + (r- r))

= 1 − r и r → 0 для | г | < 1.

Сходимость геометрических рядов также можно продемонстрировать, переписав ряд как эквивалентный телескопический ряд. Рассмотрим функцию

$g\; (K)\; =\; r\; K\; 1\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (K)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{K\}\}\; \{1-r\}\}.\}$

Обратите внимание, что

$1\; =\; g\; (0)\; -\; g\; (1),\; r\; =\; g\; (\; 1)\; -\; г\; (2),\; р\; 2\; знак\; равно\; г\; (2)\; -\; г\; (3),\dots \; \{\backslash \; Displaystyle\; 1\; =\; г\; (0)\; -g\; (1)\; \backslash ,\; \backslash \; г\; =\; г\; (1)\; -g\; (2)\; \backslash ,\; \backslash \; r\; ^\; \{2\}\; =\; g\; (2)\; -g\; (3)\; \backslash ,\; \backslash \; ldots\}$

Таким образом,

$S\; =\; 1\; +\; r\; +\; r\; 2\; +\; r\; 3\; +\; \cdots \; =\; (g\; (0)\; -\; g\; (1))\; +\; (g\; (1)\; -\; g\; (2))\; +\; (g\; (2)\; -\; g\; (3))\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; 1\; +\; r\; +\; r\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; (g\; (0)\; -g\; (1))\; +\; (g\; (1)\; -g\; (2))\; +\; (g\; (2)\; -g\; (3))\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Если

, тогда

$g\; (K)\; ⟶\; 0\; при\; K\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (K)\; \backslash \; longrightarrow\; 0\; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\; K\; \backslash \; to\; \backslash \; infty.\}$

Итак, S сходится к

$g\; (0)\; =\; 1\; 1\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-r\}\}.\}$

Повторяющиеся десятичные дроби

Повторяющиеся десятичные дроби можно рассматривать как геометрические серия, значащее отношение которой равно степени 1/10. Например:

$0,7777\dots \; =\; 7\; 10\; +\; 7\; 100\; +\; 7\; 1000\; +\; 7\; 10000\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.7777\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{10\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{100\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{1000\}\; \}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{10000\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь,

$0,7777\dots \; =\; a\; 1\; -\; r\; =\; 7/10\; 1\; -\; 1/10\; =\; 7/10\; 9/10\; =\; 7\; 9.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.7777\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1-r\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{7/10\}\; \{1-1\; /\; 10\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\; \backslash \; frac\; \{7/10\}\; \{9/10\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{9\}\}.\}$

Формула работает не только для одной повторяющейся фигуры, но и для повторяющейся группы фигур. Например:

$0,123412341234\dots \; =\; a\; 1\; -\; r\; =\; 1234/10000\; 1\; -\; 1/10000\; =\; 1234/10000\; 9999/10000\; =\; 1234\; 9999.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.123412341234\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1-r\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1234/10000\}\; \{1-1\; /\; 10000\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\; \backslash \; frac\; \{1234/10000\}\; \{9999/10000\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1234\}\; \{9999\}\}.\}$

Обратите внимание, что каждую серию повторяющихся последовательных десятичных знаков можно удобно упростить следующим образом:

$0,09090909\dots \; =\; 09\; 99\; =\; 1\; 11.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0,09090909\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{09\}\; \{99\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{11\}\}.\}$

$0,143814381438\dots \; =\; 1438\; 9999.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.143814381438\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1438\}\; \{9999\}\}.\}$

$0.9999\dots \; =\; 9\; 9\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0.9999\; \backslash \; ldots\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{9\; \}\; \{9\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1.\}$

То есть повторяющееся десятичное число с длиной повторения n равно частному повторяющейся части (как целому числу) и 10 - 1.

Квадратура параболы Архимеда

Разрез Архимеда параболического сегмента на бесконечное множество треугольников

Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной параболой и прямая линия. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой составляет 4/3 площади синего треугольника.

Архимед определил, что каждый зеленый треугольник имеет 1/8 площади синего треугольника, каждый желтый треугольник имеет 1/8 площади зеленого треугольника и так далее.

Если предположить, что синий треугольник имеет площадь 1, общая площадь представляет собой бесконечную сумму:

$1\; +\; 2\; (1\; 8)\; +\; 4\; (1\; 8)\; 2\; +\; 8\; (1\; 8)\; 3\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 4\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 8\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй термин - это площади двух зеленых треугольников, третий термин - площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает

$1\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 16\; +\; 1\; 64\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{64\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Это геометрический ряд с обычным отношением 1/4 и дробной частью, равной

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 4\; -\; n\; =\; 1\; +\; 4\; -\; 1\; +\; 4\; -\; 2\; +\; 4-3\; +\; \cdots \; =\; 4\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 4\; ^\; \{-\; n\}\; =\; 1\; +\; 4\; ^\; \{-\; 1\}\; +4\; ^\; \{-\; 2\}\; +4\; ^\; \{-\; 3\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \{\; 4\; \backslash \; более\; 3\}.\}$

Сумма равна

$1\; 1\; -\; r\; =\; 1\; 1\; -\; 1\; 4\; =\; 4\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-r\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\; 4\}\; \{3\}\}.\}$

Это вычисление использует метод исчерпания, раннюю версию интеграции. Используя исчисление, ту же область можно найти с помощью определенного интеграла.

Фрактальной геометрии

Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой объединение бесконечного множества треугольников.

При исследовании фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, область или объем самоподобная фигура.

Например, область внутри снежинки Коха может быть описана как объединение бесконечного множества равносторонних треугольников (см. Рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника составляет ровно 1/3 размера стороны большого синего треугольника и, следовательно, имеет ровно 1/9 площади. Точно так же каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника и так далее. Если взять синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки составит

$1\; +\; 3\; (1\; 9)\; +\; 12\; (1\; 9)\; 2\; +\; 48\; (1\; 9)\; 3\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 12\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; 48\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Первый член этого ряда представляет площадь синий треугольник, второй член - это общая площадь трех зеленых треугольников, третий член - общая площадь двенадцати желтых треугольников и так далее. За исключением начальной 1, этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением r = 4/9. Первый член геометрического ряда равен a = 3 (1/9) = 1/3, поэтому сумма равна

$1\; +\; a\; 1\; -\; r\; =\; 1\; +\; 1\; 3\; 1\; -\; 4\; 9\; =\; 8\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1-r\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{9\}\}\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{5\}\}.\}$

Таким образом, снежинка Коха имеет 8/5 площади основного треугольника.

Парадоксы Зенона

Сходимость геометрического ряда показывает, что сумма, содержащая бесконечное количество слагаемых, действительно может быть конечной, и поэтому позволяет разрешить многие из Зенона парадоксы. Например, парадокс дихотомии Зенона утверждает, что движение невозможно, поскольку любой конечный путь можно разделить на бесконечное количество шагов, при этом каждый шаг равен половине оставшегося расстояния. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной. Это, конечно, неверно, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с $r\; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1/2\}$.

Это, однако, не полное разрешение парадокса дихотомии Зенона.. Строго говоря, если мы не допускаем обратного движения времени, когда размер шага начинается с $r\; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1/2\}$и приближается к нулю как предел, это в противном случае бесконечная серия должна начинаться с бесконечно малого шага. Подобная обработка бесконечно малых величин, как правило, не является чем-то строго математическим, кроме нестандартного исчисления. Итак, хотя верно то, что все бесконечное суммирование дает конечное число, мы не можем создать простой порядок членов, начиная с бесконечно малого, и поэтому мы не можем адекватно описать первый шаг любого данного действия.

Евклид

Книга IX, Предложение 35 из Элементов Евклида выражает частичную сумму геометрического ряда в терминах членов ряда. Это эквивалент современной формулы.

Экономика

В экономике геометрические ряды используются для представления приведенной стоимости аннуитета (сумма деньги, подлежащие выплате через определенные промежутки времени).

Например, предположим, что платеж в размере 100 долларов будет производиться владельцу аннуитета один раз в год (в конце года) в бессрочный период. Получение 100 долларов через год будет меньше, чем немедленные 100 долларов, потому что нельзя инвестировать деньги, пока не получишь их. В частности, приведенная стоимость 100 долларов через год в будущем составляет 100 долларов / (1 + $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$), где $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- годовая процентная ставка.

Аналогичным образом, платеж в размере 100 долларов США через два года в будущем имеет приведенную стоимость 100 долларов США / (1 + $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$) (в квадрате, поскольку стоимость двухлетнего проценты теряются из-за того, что не получили деньги прямо сейчас). Следовательно, приведенная стоимость получения 100 долларов в год на неограниченный срок составляет

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 100\; долларов\; (1\; +\; I)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; \$\; 100\}\; \{(1\; +\; I)\; ^\; \{n\}\}\},\}$

бесконечный ряд:

$100\; долларов\; (1\; +\; I)\; +\; 100\; долларов\; (1\; +\; I)\; 2\; +\; 100\; долларов\; (1\; +\; I)\; 3\; +\; 100\; \$\; (1\; +\; I)\; 4\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\}\; \{(1\; +\; I)\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\}\; \{(1\; +\; I)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\}\; \{(1\; +\; I)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\}\; \{(1\; +\; I)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; cdots.\}$

Это геометрический ряд с общим отношением 1 / (1 + $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$). Сумма - это первое слагаемое, деленное на (один минус обычное отношение):

$100\; долларов\; США\; /\; (1\; +\; I)\; 1\; -\; 1\; /\; (1\; +\; I)\; =\; 100\; долларов\; США\; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\; /\; (1\; +\; I)\}\; \{1-1\; /\; (1\; +\; I)\}\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \$\; 100\}\; \{I\}\}.\}$

Для Например, если годовая процентная ставка составляет 10% ($I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$= 0,10), то вся аннуитетная ставка имеет приведенную стоимость 100 долларов США / 0,10 = 1000 долларов США.

Этот вид вычислений используется для вычисления годовых ссуды (например, ипотечной ссуды ). Его также можно использовать для оценки приведенной стоимости ожидаемых дивидендов по акциям или конечной стоимости ценных бумаг.

Геометрический степенной ряд

формула для геометрического ряда

$1\; 1\; -\; x\; =\; 1\; +\; x\; +\; x\; 2\; +\; x\; 3\; +\; x\; 4\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-x\}\}\; =\; 1\; +\; x\; +\; x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

можно интерпретировать как степенной ряд в смысле теоремы Тейлора, сходящийся где . Отсюда можно экстраполировать и получить другой степенной ряд. Например,

$загар\; -\; 1\; \; (x)\; =\; \int \; dx\; 1\; +\; x\; 2\; =\; \int \; dx\; 1\; -\; (-\; x\; 2)\; =\; \int \; (1\; +\; (-\; x\; 2)\; +\; (-\; x\; 2)\; 2\; +\; (-\; x\; 2)\; 3\; +\; \cdots )\; dx\; =\; \int \; (1\; -\; x\; 2\; +\; x\; 4\; -\; x\; 6\; +\; \cdots )\; dx\; =\; x\; -\; x\; 3\; 3\; +\; x\; 5\; 5\; -\; x\; 7\; 7\; +\; \cdots \; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; N\; 2\; N\; +\; 1\; Икс\; 2\; N\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; \}\; \{1\; -\; (-\; x\; ^\; \{2\})\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; left\; (-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; (1-x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{6\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right)\; dx\; \backslash \backslash \; =\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{5\}\}\; \{5\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{7\}\}\; \{7\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{2n\; +\; 1\; \}\}\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Дифференцируя геометрический ряд, получаем вариант

Аналогичным образом получается:

и

• 0,999... - Альтернативное десятичное разложение числа 1
• Асимптота - В геометрии предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности
• Расходящийся геометрический серия
• Обобщенная гипергеометрическая функция
• Геометрическая прогрессия
• Серия Неймана
• Коэффициент соотношения
• Корневой тест
• Ряд (математика) - Бесконечная сумма

Конкретный геометрический ряд

• Гранди серия : 1-1 + 1-1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1-2 + 4-8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1 / 8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Геометрический ряд является единичным рядом (сумма ряда сходится к единице) тогда и только тогда, когда | r | < 1 and a + r = 1 (equivalent to the more familiar form S = a / (1-r) = 1 when |r| < 1). Therefore, an чередующийся ряд также является единичным рядом, когда -1 < r < 0 and a + r = 1 (for example, common scale a = 1.7 and common ratio r = -0.7).
• Члены геометрического ряда также являются членами обобщенной последовательности Фибоначчи (Fn= F n-1 + F n-2, но без требования F 0 = 0 и F 1 = 1), когда коэффициент геометрического ряда r удовлетворяет ограничению 1 + r = r, что в соответствии с квадратной формулой соответствует случаю, когда обычное отношение r равно золотому сечению (т. е. обычное отношение r = (1 ± √5) / 2).
• Единственный геометрический ряд, который является единичным рядом и также имеет члены обобщенной последовательности Фибоначчи, имеет золотое сечение в качестве общей шкалы a и сопряженное золотое отношение как его общее отношение r (т. е. a = (1 + √5) / 2 и r = (1 - √5) / 2). Это единичный ряд, потому что a + r = 1 и | r | <1, это обобщенная последовательность Фибоначчи, потому что 1 + r = r, и это чередующийся ряд, потому что r < 0.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. «Геометрические ряды». MathWorld.
• Geometric Series на PlanetMath.org.
• Пеппард, Ким. "Учебник по алгебре геометрических последовательностей и рядов в колледже". Западный Техасский университет AM.
• Билл Кассельман. «Геометрическая интерпретация геометрического ряда». Архивировано из оригинального (апплета) от 29 сентября 2007 года.
• «Геометрическая серия» Майкла Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project, 2007.