Ряд Неймана

редактировать

A Ряд Неймана представляет собой математический ряд вида

∑ k = 0 ∞ T k {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k}}\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k}

где T - оператор и T k: = T k - 1 ∘ T {\ displaystyle T ^ {k}: = {} T ^ {k-1} \ circ {T}}{\ displaystyle T ^ {k}: = {} T ^ { k-1} \ circ {T}} его k-кратное повторение. Это обобщает геометрический ряд.

. Этот ряд назван в честь математика Карла Неймана, который использовал его в 1877 году в контексте теории потенциала. Ряд Неймана используется в функциональном анализе. Он составляет основу ряда Лиувилля-Неймана, который используется для решения интегральных уравнений Фредгольма. Это также важно при изучении спектра ограниченных операторов.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Пример
  • 3 Набор обратимых операторов открыт
  • 4 Ссылки

Свойства

Предположим, что T - линейный ограниченный оператор на нормированное векторное пространство X. Если ряд Неймана сходится в operator norm, то Id - T обратимый, а его обратный ряд -

(I d - T) - 1 знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ T К {\ Displaystyle (\ mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k}}(\ mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k} ,

где I d {\ displaystyle \ mathrm {Id}}\ mathrm {Id} - это оператор тождества в X. Чтобы понять, почему, рассмотрим частичные суммы

S n: = к знак равно 0 N T К {\ Displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k}}S_ {n}: = \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k} .

Тогда мы имеем

lim n → ∞ (I d - T) S n = lim n → ∞ (∑ k = 0 n T k - ∑ k = 0 n T k + 1) = lim n → ∞ (I d - T n + 1) = I d. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (\ mathrm {Id} -T) S_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ { n} T ^ {k} - \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k + 1} \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ mathrm {Id} - T ^ {n + 1} \ right) = \ mathrm {Id}.}\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (\ mathrm {Id} -T) S_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k } - \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k + 1} \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ mathrm {Id} -T ^ {n + 1 } \ right) = \ mathrm {Id}.

Этот результат для операторов аналогичен геометрической серии в R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} , в котором находим:

(1 - x) ⋅ (1 + x + x 2 + ⋯ + xn - 1 + xn) = 1 - xn + 1, {\ displaystyle (1 -x) \ cdot (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n-1} + x ^ {n}) = 1-x ^ {n + 1},}{\ displaystyle (1-x) \ cdot (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n-1} + x ^ {n}) = 1 -x ^ {n + 1},}
1 + х + х 2 + ⋯ знак равно 1 1 - х. {\ displaystyle 1 + x + x ^ {2} + \ cdots = {\ frac {1} {1-x}}.}{\ displaystyle 1 + x + x ^ {2} + \ cdots = {\ frac {1} {1-x }}.}

Один случай, когда сходимость гарантирована, - это когда X является банаховым пространством и | T | < 1 in the operator norm or ∑ | Т н | {\ displaystyle \ sum | T ^ {n} |}{\ displaystyl е \ сумма | T ^ {n} |} сходится. Однако есть также результаты, которые дают более слабые условия сходимости ряда.

Пример

Пусть дан C ∈ R 3 × 3 {\ displaystyle C \ in \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3}}{ \ displaystyle C \ in \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3}} по:

(0 1 2 1 4 5 7 0 1 7 3 10 3 5 0). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {4}} \\ {\ frac {5} {7}} 0 {\ frac {1} {7}} \\ {\ frac {3} {10}} {\ frac {3} {5}} 0 \ end {pmatrix}}.}{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {4}} \\ {\ frac {5} {7}} 0 {\ frac {1} {7}} \\ {\ frac {3} {10}} {\ frac {3} {5}} 0 \ end {pmatrix}}.}

Нам нужно показать, что C меньше единицы в какая-то норма. Следовательно, вычисляем:

| | C | | ∞ = max i ∑ j | c i j | = max {3 4, 6 7, 9 10} = 9 10 < 1. {\displaystyle {\begin{aligned}||C||_{\infty }=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\end{aligned}}}{\ displaystyle {\ begin {align} || C || _ {\ infty} = \ max _ {i} \ sum _ {j} | c_ {ij} | = \ max \ left \ lbrace {\ frac {3} {4}}, {\ frac {6} {7}}, {\ frac {9} {10}} \ right \ rbrace = { \ frac {9} {10}} <1. \ end {align}}}

Таким образом, из приведенного выше утверждения мы знаем, что (I - C) - 1 {\ displaystyle (IC) ^ {- 1}}{\ displaystyle (IC) ^ {- 1}} существует.

Множество обратимых операторов открыто

Следствие состоит в том, что множество обратимых операторов между двумя банаховыми пространствами B и B 'открыто в топологии, индуцированной операторной нормой. Действительно, пусть S: B → B 'обратимый оператор и пусть T: B → B' другой оператор. Если

| S - T | < |S|,

, тогда T также обратим.

Поскольку | Id - ST | < 1, the Neumann series Σ(Id – (ST)) is convergent. Therefore, we have

TS = (Id - (Id - ST)) = Σ (Id - (ST)).

Принимая нормы, получаем

| TS | ≤ 1 / (1 - | Id - (ST) |).

Норма T может быть ограничена

| Т - 1 | ≤ 1 1 - q | S - 1 | где q = | S - T | | S - 1 |. {\ displaystyle | T ^ {- 1} | \ leq {\ tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | \ quad {\ text {where}} \ quad q = | ST | \, | S ^ {- 1} |.}| T ^ {- 1} | \ leq {\ tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | \ quad { \ text {where}} \ quad q = | ST | \, | S ^ {- 1} |.

Ссылки

  • Вернер, Дирк (2005). Функциональный анализ (на немецком языке). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.
Последняя правка сделана 2021-05-31 05:03:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте