Аннуитет

редактировать

Аннуитет - это серия платежей, производимых через равные промежутки времени. Примерами аннуитетов являются регулярные вклады на сберегательный счет, ежемесячные выплаты по ипотеке, ежемесячные выплаты страховки и пенсионные выплаты. Аннуитеты можно классифицировать по частоте дат выплаты. Выплаты (депозиты) могут производиться еженедельно, ежемесячно, ежеквартально, ежегодно или в любой другой регулярный интервал времени.

Аннуитет, который предусматривает выплаты на оставшуюся часть жизни человека, представляет собой пожизненный аннуитет.

Содержание

  • 1 Типы
    • 1.1 Сроки выплат
    • 1.2 Непредвиденные обстоятельства выплат
    • 1.3 Изменчивость платежей
    • 1.4 Отсрочка платежей
  • 2 Оценка
    • 2.1 Без аннуитета
      • 2.1.1 Немедленная аннуитетная
        • 2.1.1.1 Формула подтверждения немедленной аннуитета
      • 2.1.2 Причитающийся аннуитет
      • 2.1.3 Бессрочный аннуитет
    • 2.2 Пожизненный аннуитет
  • 3 Расчет амортизации
  • 4 Пример расчета
  • 5 Правовые режимы
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Типы

Аннуитеты можно классифицировать несколькими способами.

Сроки платежей

Выплаты по аннуитету - немедленные, производятся в конце периодов выплаты, так что проценты начисляются между выпуском аннуитета и первым платежом. Выплаты по аннуитету производятся в начале платежных периодов, поэтому платеж производится сразу же по выдаче.

Непредвиденные выплаты

Аннуитеты, которые предусматривают выплаты, которые будут выплачиваться в течение заранее известного периода, представляют собой определенные аннуитеты или гарантированные аннуитеты. Аннуитеты, выплачиваемые только при определенных обстоятельствах, являются условными. Типичным примером является пожизненная рента, которая выплачивается в течение оставшегося срока действия ренты. Определенная и пожизненная рента гарантированно выплачивается в течение ряда лет, а затем становится зависимой от того, что получатель ренты жив.

Изменчивость платежей

  • Фиксированные аннуитеты - Это аннуитеты с фиксированными выплатами. Если это предусмотрено страховой компанией, компания гарантирует фиксированный доход от первоначальных инвестиций. Фиксированные аннуитеты не регулируются Комиссией по ценным бумагам и биржам.
  • Переменные аннуитеты - Зарегистрированные продукты, которые регулируются SEC в Соединенных Штатах Америки. Они позволяют осуществлять прямые инвестиции в различные фонды, специально созданные для переменных аннуитетов. Как правило, страховая компания гарантирует определенное пособие в случае смерти или пожизненное пособие при отказе от выплаты.
  • Аннуитеты, индексируемые на акции - Аннуитеты с выплатами, привязанными к индексу. Как правило, минимальный платеж составляет 0%, а максимальный будет определен заранее. Результативность индекса определяет, будет ли клиенту начислен минимум, максимум или нечто среднее.

Отсрочка платежей

Аннуитет, который начинает выплаты только после периода, является отсроченным аннуитетом. Аннуитет, при котором выплаты начинаются без периода отсрочки, является немедленным аннуитетом.

Оценка

Оценка аннуитета влечет за собой расчет текущей стоимости будущих аннуитетных платежей. Оценка аннуитета включает в себя такие концепции, как временная стоимость денег, процентная ставка и будущая стоимость.

с учетом аннуитета

Если число размер платежей известен заранее, аннуитет - это аннуитетный или гарантированный аннуитет. Оценка аннуитетов может быть рассчитана по формулам в зависимости от сроков выплат.

Немедленная аннуитетная

Если выплаты производятся в конце периодов времени, так что проценты накапливаются до выплаты, аннуитет называется немедленным аннуитетом или обычным аннуитетом. Выплаты по ипотеке производятся немедленно, проценты начисляются до выплаты.

...платежи
————————————
012...nпериоды

Текущая стоимость аннуитета - это стоимость потока платежей, дисконтированная с учетом процентной ставки, чтобы учесть тот факт, что платежи производятся в различные моменты в будущем. Текущая стоимость дается в актуарной записи следующим образом:

a n ¯ | я = 1 - (1 + я) - N я. {\ displaystyle a _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {i}}.}{\ displaystyle a _ {\ overline {n}} | i} = {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ { -n}} {i}}.}

Где n {\ displaystyle n}n - количество условий, а i {\ displaystyle i}i - процентная ставка за период. Приведенная стоимость линейна в зависимости от суммы платежей, поэтому приведенная стоимость платежей или ренты R {\ displaystyle R}R составляет:

PV (i, n, R) = R × an ¯ | я. {\ displaystyle {\ text {PV}} (i, n, R) = R \ times a _ {{\ overline {n}} | i}.}{\ displaystyle {\ text {PV}} (i, n, R) = R \ times a _ {{\ overline {n}} | i}.}

На практике часто ссуды указываются ежегодно, а проценты начисляются и выплаты производятся ежемесячно. В этом случае процентная ставка I {\ displaystyle I}I указывается как номинальная процентная ставка, а i = I 12 {\ displaystyle i = {\ frac {I} {12}}}{\ displaystyle i = {\ frac {I} {12}}} .

Будущая стоимость аннуитета - это накопленная сумма, включая выплаты и проценты, потока платежей, сделанных на процентный счет. Для немедленной аннуитета это значение сразу после n-го платежа. Будущее значение определяется как:

s n ¯ | я = (1 + я) п - 1 я. {\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}.}{\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i }}.}

Где n {\ displaystyle n }n - количество условий, а i {\ displaystyle i}i - процентная ставка за период. Будущее значение линейно зависит от суммы платежей, поэтому будущая стоимость платежей или ренты R {\ displaystyle R}R составляет:

FV (i, n, R) = R × sn ¯ | i {\ displaystyle {\ text {FV}} (i, n, R) = R \ times s _ {{\ overline {n}} | i}}{\ displaystyle {\ text {FV}} (i, n, R) = R \ times s _ {{\ overline {n}} | i}}

Пример: Текущее значение 5- годовой аннуитет с номинальной годовой процентной ставкой 12% и ежемесячными выплатами в размере 100 долларов составляет:

PV (0,12 12, 5 × 12, 100 долларов) = 100 долларов × 60 ¯ | 0,01 = 4 доллара США, 495,50 {\ displaystyle {\ text {PV}} \ left ({\ frac {0.12} {12}}, 5 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times a _ {{\ overline {60}} | 0.01} = \ $ 4 495,50}{\ displaystyle {\ text {PV}} \ left ({\ frac {0.12} {12}}, 5 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times a_ {{\ overline {60}} | 0,01} = \ $ 4 495,50}

Под арендной платой понимается сумма, выплачиваемая в конце каждого периода взамен суммы PV, взятой в нулевой момент времени, основной суммы кредита или выплаченной суммы выводится с процентного счета в конце каждого периода, когда сумма PV инвестируется в нулевой момент времени, и счет становится нулевым при n-м снятии средств.

Будущие и текущие значения связаны, поскольку:

s n ¯ | i = (1 + i) n × a n ¯ | я {\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times a _ {{\ overline {n}} | i}}{\ Displaystyle s_ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times a _ {{\ overline {n}} | i}}

и

1 an ¯ | i - 1 s n ¯ | я = я {\ displaystyle {\ frac {1} {a _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {s _ {{\ overline {n}} | i}}} = i}{\ displaystyle {\ frac {1} {a _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {s _ {{\ overline {n}} | i}}} = i}
Доказательство формулы немедленного аннуитета

Для расчета приведенной стоимости k-й платеж должен быть дисконтирован до настоящего времени путем деления на проценты, составленные на k членов. Следовательно, вклад k-го платежа R будет R (1 + i) k {\ displaystyle {\ frac {R} {(1 + i) ^ {k}}}}{\ displaystyle {\ frac {R} {(1 + i) ^ {k }}}} . Просто считая R равным единице, тогда:

a n ¯ | i = ∑ k = 1 n 1 (1 + i) k = 1 1 + i ∑ k = 0 n - 1 (1 1 + i) k = 1 1 + i (1 - (1 + i) - n 1 - (1 + i) - 1) Используя уравнение для суммы геометрического ряда = 1 - (1 + i) - n 1 + i - 1 = 1 - (1 1 + i) ni. {\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ overline {n}} | i} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k }}} = {\ frac {1} {1 + i}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ { k} \\ = {\ frac {1} {1 + i}} \ left ({\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1- (1 + i) ^ {- 1 }}} \ right) \ quad \ quad {\ text {Используя уравнение для суммы геометрического ряда}} \\ = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1 + i-1}} \\ = {\ frac {1- \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ {n}} {i}}. \ end {выравнивается}} }{\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ overline {n}} | i} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k}}} = {\ frac {1} {1 + i}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1 } \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ {k} \\ = {\ frac {1} {1 + i}} \ left ({\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1- (1 + i) ^ {- 1}}} \ right) \ quad \ quad {\ text {Используя уравнение для суммы геометрического ряда}} \\ = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1 + i-1}} \\ = {\ frac {1- \ left ( {\ frac {1} {1 + i}} \ right) ^ {n}} {i}}. \ end {align}}}

Что дает нам требуемый результат.

Точно так же мы можем доказать формулу будущей стоимости. Плата, произведенная в конце прошлого года, не будет накапливать процентов, а платеж, произведенный в конце первого года, будет накапливать проценты в общей сложности (n − 1) лет. Следовательно,

s n ¯ | i = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + ⋯ + (1 + i) n - 1 = (1 + i) n a n ¯ | я = (1 + я) п - 1 я. {\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = 1 + (1 + i) + (1 + i) ^ {2} + \ cdots + (1 + i) ^ {n-1} = ( 1 + i) ^ {n} a _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}.}{\ displaystyle s _ {{\ overline {n}} | i} = 1 + (1 + i) + (1 + i) ^ {2} + \ cdots + (1 + i) ^ {n-1} = (1 + i) ^ {n} a _ {{\ overline {n}} | i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}.}

Аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж - это аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого периода. Депозиты в виде сбережений, арендных платежей или арендных платежей, а также страховых взносов являются примерами подлежащих уплате аннуитетов.

...платежи
————————————
01...n-1nпериодов

Каждому аннуитетному платежу разрешается составлять один дополнительный период. Таким образом, можно рассчитать текущую и будущую стоимость аннуитета.

a ¨ n | ¯ i = (1 + i) × a n | ¯ i = 1 - (1 + i) - n d. {\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {\ overline {n |}} i} = (1 + i) \ times a _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {d}}.}{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline { n |}} i} = (1 + i) \ times a _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {d }}.}
s ¨ n | ¯ i = (1 + i) × s n | ¯ i = (1 + i) n - 1 d. {\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i} = (1 + i) \ times s _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {(1+ i) ^ {n} -1} {d}}.}{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i} = (1 + i) \ times s _ {{\ overline {n |} } i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {d}}.}

где n {\ displaystyle n}n - количество терминов, i {\ displaystyle i}i - процентная ставка на срок, а d {\ displaystyle d}d - эффективная ставка дисконта, определяемая как d = ii + 1 {\ displaystyle d = {\ frac {i} {i + 1}}}{\ displaystyle d = {\ frac {i} {i +1}}} .

Будущие и текущие значения подлежащих уплате аннуитетов связаны, поскольку:

s ¨ n ¯ | i = (1 + i) n × a ¨ n ¯ | я, {\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n }} | i},}{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n}} | i} = (1 + i) ^ {n} \ times {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n}} | i},}
1 a ¨ n ¯ | i - 1 s ¨ n ¯ | я = d. {\ displaystyle {\ frac {1} {{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {{\ ddot {s}} _ {{\ overline {n}} | i}}} = d.}{\ displaystyle {\ frac {1 } {{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n}} | i}}} - {\ frac {1} {{\ ddot {s}} _ {{\ overline {n}} | i} }} = d.}

Пример: Можно рассчитать окончательное значение 7-летнего аннуитета с номинальной годовой процентной ставкой 9% и ежемесячными платежами в размере 100 долларов США. по:

FV к оплате (0,09 12, 7 × 12, 100 долларов США) = 100 долларов США × с ¨ 84 ¯ | 0,0075 = 11 730,01 долл. США. {\ displaystyle {\ text {FV}} _ {\ text {due}} \ left ({\ frac {0.09} {12}}, 7 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times {\ ddot {s}} _ {{\ overline {84}} | 0.0075} = \ 11 730,01 долл.}{\ displaystyle {\ text {FV}} _ {\ text {due }} \ left ({\ frac {0.09} {12}}, 7 \ times 12, \ $ 100 \ right) = \ $ 100 \ times {\ ddot {s}} _ {{\ overline {84}} | 0,0075} = \ 11 730,01 доллара США.}

Обратите внимание, что в Excel функции PV и FV принимают необязательный пятый аргумент, который выбирает из немедленного аннуитета или аннуитета к оплате.

Аннуитетный платеж с n платежами - это сумма одного ежегодного платежа сейчас и обычного аннуитета с одним платежом меньше, а также равна, со сдвигом во времени, обычному аннуитету. Таким образом, мы имеем:

a ¨ n | ¯ i = a n ¯ | я (1 + я) = а п - 1 | ¯ я + 1 {\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {\ overline {n |}} i} = a _ {{\ overline {n}} | i} (1 + i) = a _ {{\ overline {n-1 |}} i} +1}{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |} i}} = a _ {{\ overline {n} | i}} (1 + i) = a _ {{\ overline {n-1 |} i}} + 1 . Стоимость на момент первой из n выплат составляет 1.
s ¨ n | ¯ i = s n ¯ | i (1 + i) = s n + 1 | ¯ я - 1 {\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i} = s _ {{\ overline {n}} | i} (1 + i) = s _ {{\ overline {n + 1 |}} i} -1}{\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |} i}} = s _ {{\ overline {n} | i}} (1 + i) = s_ { {\ overline {n + 1 |} i}} - 1 . Значение через один период после момента последней из n выплат в размере 1.

Бессрочный период

Бессрочный период - это аннуитет, выплаты по которому продолжаются бесконечно. Заметим, что

lim n → ∞ PV (i, n, R) = lim n → ∞ R × a n ¯ | я знак равно lim n → ∞ R × 1 - (1 + я) - N я = R я. {\ displaystyle \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} {\ text {PV}} (i, n, R) = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ times a_ {{\ overline {n}} | i} = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ times {\ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {i}} = \, {\ frac {R} {i}}.}{\ displaystyle \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} {\ text {PV}} (i, n, R) = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ times a _ {{\ overline {n}} | i} = \ lim _ {n \, \ rightarrow \, \ infty} R \ times { \ frac {1- \ left (1 + i \ right) ^ {- n}} {i}} = \, {\ frac {R} {i}}.}

Следовательно, бессрочный период имеет конечную приведенную стоимость при ненулевой ставке дисконтирования. Формулы вечности:

a ∞ ¯ | i = 1 i и a ∞ ¯ | я = 1 д. {\ displaystyle a _ {{\ overline {\ infty}} | i} = {\ frac {1} {i}} {\ text {and}} {\ ddot {a}} _ {{\ overline {\ infty} } | i} = {\ frac {1} {d}}.}{\ displaystyle a _ {{\ overline {\ infty}} | i} = {\ frac {1} {i}} {\ text {and}} {\ ddot {a }} _ {{\ overline {\ infty}} | i} = {\ frac {1} {d}}.}

Где i {\ displaystyle i}i - процентная ставка, а d = i 1 + i {\ displaystyle d = {\ frac {i} {1 + i}}}{\ displaystyle d = {\ frac {i} {1 + i}}} - эффективная ставка дисконтирования.

Пожизненные аннуитеты

Оценка пожизненных аннуитетов может быть произведена путем расчета актуарной приведенной стоимости будущих условных платежей за пожизненный доход. Таблицы продолжительности жизни используются для расчета вероятности того, что получатель ренты доживет до каждого периода будущих выплат. Оценка пожизненных аннуитетов также зависит от сроков выплат, как и в случае определенных аннуитетов, однако пожизненные аннуитеты могут не рассчитываться с использованием аналогичных формул, поскольку актуарная приведенная стоимость учитывает вероятность смерти в каждом возрасте.

Расчет амортизации

Если аннуитет предназначен для погашения долга P с процентами, сумма задолженности после n платежей составляет

R i - (1 + i) n (R i - P). {\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - \ left (1 + i \ right) ^ {n} \ left ({\ frac {R} {i}} - P \ right).}{\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - \ left (1 + i \ right) ^ {n} \ left ({ \ frac {R} {i}} - P \ right).}

Поскольку эта схема эквивалентна заимствованию суммы R i {\ displaystyle {\ frac {R} {i}}}{\ displaystyle {\ frac {R} {i}}} для создания бессрочного права с купоном R {\ displaystyle R}R , и положив R i - P {\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - P}{\ displaystyle {\ frac {R} {i}} - P} этой заемной суммы в банке для роста с процентами i {\ displaystyle i}i .

Кроме того, это можно рассматривать как приведенную стоимость оставшихся платежей

R [1 i - (i + 1) n - N i] = R × a N - n ¯ | я. {\ displaystyle R \ left [{\ frac {1} {i}} - {\ frac {(i + 1) ^ {nN}} {i}} \ right] = R \ times a _ {{\ overline {Nn }} | i}.}{\ displaystyle R \ left [{\ frac {1} {i}} - {\ frac {(i + 1) ^ {nN}} {i}} \ right] = R \ times a _ {{\ overline {Nn}} | i}.}

См. также ипотека с фиксированной ставкой.

Пример расчетов

Формула для поиска периодического платежа (R), учитывая A:

R = A / (1 + 〖(1- (1 + ((j / m))〗 ^ (- (n-1)) / (j / m))

Примеры:

  1. Найдите периодический выплата аннуитета в размере 70 000 долларов США, выплачиваемая ежегодно в течение 3 лет под 15% годовых.
    • R = 70 000 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 15) / 1))〗 ^ (- (3-1)) / ((. 15) / 1))
    • R = 70,000 / 2,625708885
    • R = 26659,46724 $

Найдите коэффициент PVOA как. 1) найдите r как, (1 ÷ 1,15) = 0,8695652174 2) найти rx (r ^ (n) -1) ÷ (r-1) 08695652174 x (- 0,3424837676) ÷ (-1304347826) = 2,2832251175 70000 ÷ 2,2832251175 = 30658,3873 - правильное значение

  1. Найдите периодическую выплату аннуитета в размере 250 700 долларов США, выплачиваемую ежеквартально в течение 8 лет с начислением 5% за квартал.
    • R = 250 700 / (1 + 〖(1- (1 + ((. 05) / 4))〗 ^ (- (32-1)) / ((. 05) / 4))
    • R = 250,700 / 26,5692901
    • R = 9 435,71 долл. США

Поиск Периодический платеж (R), учитывая S:

R = S \, / ((〖((1+ (j / m))〗 ^ (n + 1) -1) / (j / m) -1)

Примеры:

  1. Найдите периодическую выплату накопленной стоимости в размере 55 000 долларов США, выплачиваемую ежемесячно в течение 3 лет по ставке 15% ежемесячно.
    • R = 55 000 / ((((1 + ((. 15) / 12)) ^ (36 + 1) -1) / ((. 15) / 12) -1)
    • R = 55,000 / 45,67944932
    • R = 1 204,04 долл.
  2. Найдите периодический платеж накопленной стоимости в размере 1 600 000 долл. США, выплачиваемый ежегодно в течение 3 лет с начислением 9% годовых.
    • R = 1,600,000 / ((〖((1 + ((. 09) / 1))〗 ^ (3 + 1) -1) / ((. 09) / 1) -1)
    • R = 1,600,000 /3.573129
    • R = 447 786,80 долларов США

Правовые режимы

См. Также

Ссылки

  • Сэмюэл А. Броверман (2010). Математика инвестиций и кредита, 5-е издание. ACTEX Academic Series. ACTEX Publications. ISBN 978-1-56698-767-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
  • Стивен Келлисон (2008). Теория интереса, 3-е издание. McGraw-Hill / Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Последняя правка сделана 2021-06-11 17:10:33
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте