Обобщения производной

редактировать

В математике производная является фундаментальной конструкцией дифференциальное исчисление и допускает множество возможных обобщений в областях математического анализа, комбинаторики, алгебры и геометрии.

Содержание

1 Производные в анализе
- 1.1 Многопараметрическое исчисление
- 1.2 Выпуклый анализ
- 1.3 Высшие производные и дифференциальные операторы
- 1.4 Слабые производные
- 1.5 Анализ фракталов
- 1.6 Дробные производные
- 1.7 Комплексный анализ
- 1.8 Кватернионный анализ
- 1.9 Функциональный анализ
- 1.10 Аналоги производных в полях положительной характеристики
2 Оператор разности, q-аналоги и шкалы времени
3 Производные в алгебре
- 3.1 Выводы
- 3.2 Коммутативная алгебра
- 3.3 Теория чисел
- 3.4 Теория типов
4 Производные в геометрии
- 4.1 Дифференциальная топология
- 4.2 Разница физическая геометрия
- 4.3 Геометрическое исчисление
5 Другие обобщения
6 См. также
7 Примечания

Производные в анализе

В реальном, комплексном и функциональном анализе производные обобщаются на функции нескольких вещественных или комплексных переменных и функции между топологическими векторными пространствами. Важным случаем является вариационная производная в вариационном исчислении. Многократное применение дифференцирования приводит к производным более высокого порядка и дифференциальным операторам.

Многопараметрическое исчисление

Производная часто встречается впервые как операция над единственной действительной функцией единственной действительной переменной. Одна из самых простых настроек для обобщений - это векторные функции от нескольких переменных (чаще всего область также образует векторное пространство). Это поле исчисления с несколькими переменными.

В исчислении с одной переменной мы говорим, что функция $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ R \ to \ R$ дифференцируемо в точке x, если предел

lim h → 0 f (x + h) - f (x) h {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

\ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) - f (x)} {h}

существует. Тогда его значение будет производной '(x). Функция дифференцируема на интервале , если она дифференцируема в каждой точке интервала. Поскольку строка $L (z) = f ′ (x) (z - x) + f (x) {\ displaystyle L (z) = f '(x) (zx) + f (x)}$ $L(z)=f'(x)(z-x)+f(x)$ касается исходной функции в точке $(x, f (x)), {\ displaystyle (x, f (x)),}$ ${\ displaystyle (x, f (x)),}$ производную можно рассматривать как способ найти наилучшее линейное приближение функции. Если игнорировать постоянный член, установка $L (z) = f ′ (x) z {\ displaystyle L (z) = f '(x) z}$ $L(z) = f'(x)z$ , L (z) становится фактический линейный оператор на R, рассматриваемый как векторное пространство над собой.

Это мотивирует следующее обобщение для отображения функций $R m {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb {R} ^ {m}$ в $R n {\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ : ƒ дифференцируема в точке x, если существует линейный оператор A (x) (зависящий от x) такой, что

lim ‖ h ‖ → 0 ‖ е (Икс + час) - е (Икс) - А (Икс) час ‖ ‖ час ‖ = 0. {\ Displaystyle \ lim _ {\ | ч \ | \ к 0} {\ гидроразрыва {\ | f ( x + h) -f (x) -A (x) h \ |} {\ | h \ |}} = 0.}

\ lim _ {\ | h \ | \ к 0} \ гидроразрыва {\ | е (х + час) - е (х) - A (х) час \ |} {\ | час \ |} = 0.

Хотя это определение, возможно, не так явно, как приведенное выше, если такой оператор существует, то оно единственно и в одномерном случае совпадает с исходным определением. (В этом случае производная представлена матрицей 1 на 1, состоящей из единственного элемента f '(x).) Обратите внимание, что, как правило, мы в основном занимаемся функциями, дифференцируемыми в некоторой открытой окрестности из $x {\ displaystyle x}$ $x$ , а не в отдельных точках, поскольку невыполнение этого имеет тенденцию приводить к множеству патологических контрпримеров.

m матрица линейного оператора A (x) известна как матрица Якобиана J x (ƒ) отображения ƒ в точка x. Каждый элемент этой матрицы представляет собой частную производную , определяющую скорость изменения одной координаты диапазона по отношению к изменению координаты домена. Конечно, матрица Якоби композиции g ° f является произведением соответствующих матриц Якоби: J x(g°f) = J ƒ (x) (g) J х (ƒ). Это многомерное утверждение правила цепочки .

Для функций с действительным знаком от R до R(скалярных полей ), полная производная может интерпретироваться как векторное поле , называемое градиентом . Интуитивно понятная интерпретация градиента состоит в том, что он указывает «вверх»: другими словами, он указывает в направлении наиболее быстрого увеличения функции. Его можно использовать для вычисления производных по направлению от скалярных функций или нормальных направлений.

Несколько линейных комбинаций частных производных особенно полезны в контексте дифференциальных уравнений, определенных векторнозначной функцией от R до R . Дивергенция дает меру того, сколько «источника» или «стока» находится рядом с точкой. Его можно использовать для вычисления потока по теореме о расходимости. curl измеряет, насколько «вращение » имеет векторное поле рядом с точкой.

Для векторнозначных функций от R до R (т.е. параметрических кривых ) можно взять производная каждого компонента в отдельности. Результирующая производная - это еще одна векторная функция. Это полезно, например, если вектор-функция - это вектор положения частицы во времени, тогда производная - это вектор скорости частицы во времени.

конвективная производная учитывает изменения из-за зависимости от времени и движения в пространстве вдоль векторного поля.

Выпуклый анализ

субпроизводная и субградиент являются обобщениями производной для выпуклых функций.

Производные высшего порядка и дифференциал операторы

Можно повторять процесс дифференцирования, то есть применять производные более одного раза, получая производные второго и более высокого порядка. Более сложная идея - объединить несколько производных, возможно, разного порядка, в одном алгебраическом выражении, дифференциальном операторе . Это особенно полезно при рассмотрении обычных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Например, если f (x) является дважды дифференцируемой функцией одной переменной, дифференциальное уравнение

f ″ + 2 f ′ - 3 f = 4 x - 1 {\ displaystyle f '' + 2f'-3f = 4x -1 \,}

f''+2f'-3f=4x-1\,

можно переписать в виде

L (f) = 4 x - 1, {\ displaystyle L (f) = 4x-1, \,}

L (f) = 4x-1, \,

где

L = d 2 dx 2 + 2 ddx - 3 {\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {d} {dx}} - 3 }

L = \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} +2 \ frac {d} {dx} -3

- линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами второго порядка, действующий на функции x. Ключевой идеей здесь является то, что мы рассматриваем конкретную линейную комбинацию нулевых производных, производных первого и второго порядка «сразу». Это позволяет нам рассматривать множество решений этого дифференциального уравнения как «обобщенную первообразную» его правой части 4x - 1, по аналогии с обычным интегрированием, и формально записывать

f (x) = L - 1 (4 х - 1). {\ displaystyle f (x) = L ^ {- 1} (4x-1). \,}

f (x) = L ^ {- 1} (4x-1). \,

Высшие производные также могут быть определены для функций нескольких переменных, изучаемых в многомерном исчислении. В этом случае вместо многократного применения производной многократно применяют частные производные по различным переменным. Например, частные производные второго порядка скалярной функции от n переменных могут быть организованы в матрицу n на n, матрицу Гессе. Один из тонких моментов заключается в том, что старшие производные не определены внутренне и зависят от выбора координат сложным образом (в частности, матрица Гессе функции не является тензором ). Тем не менее, у высших производных есть важные приложения для анализа локальных экстремумов функции в ее критических точках. Для расширенного применения этого анализа к топологии многообразий см. теория Морса.

Как и в случае функций одной переменной, мы можем комбинировать частные производные первого и более высокого порядка, чтобы получить понятие оператора в частных производных. Некоторые из этих операторов настолько важны, что имеют свои собственные имена:

оператор Лапласа или лапласиан на R является оператором в частных производных второго порядка Δ, задаваемое дивергенцией градиента скалярной функции трех переменных, или явно как

Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2. {\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}

\ Delta = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2 } + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2}.

Аналогичные операторы могут быть определены для функций от любого числа переменных.

Волновой оператор Даламбертиана или похож на лапласиан, но действует на функции четырех переменных. В его определении используется неопределенный метрический тензор пространства Минковского вместо евклидова точечного произведения R:

◻ = ∂ 2 ∂ Икс 2 + ∂ 2 ∂ Y 2 + ∂ 2 ∂ Z 2 - 1 с 2 ∂ 2 ∂ т 2. {\ displaystyle \ square = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}.}

\ square = \ frac { \ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2}.

Слабые производные

Для данной функции $u: R n → R {\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u : \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ который является локально интегрируемым, но не обязательно классически дифференцируемым, слабая производная может быть определена посредством интегрирования по частям. Сначала определите тестовые функции, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями с компактным носителем $φ ∈ C c ∞ (R n) {\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n })}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ и мультииндексы, которые представляют собой списки целых чисел длиной $n {\ displaystyle n}$ $n$ $α = (α 1,…, Α n) {\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ с $| α | : = ∑ 1 N α я {\ textstyle | \ alpha |: = \ sum _ {1} ^ {n} \ alpha _ {i}}$ ${\ textstyle | \ alpha |: = \ sum _ {1} ^ {n} \ alpha _ {i}}$ . Применительно к тестовым функциям, $D α φ: = ∂ | α | φ ∂ Икс 1 α 1… xn α N {\ Displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi: = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi: = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}}$ . Тогда $α th {\ textstyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ textstyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ слабая производная от $u {\ displaystyle u}$ $u$ существует, если существует функция $v: R n → R {\ displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ такая, что для всех тестовых функций $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , имеем

$∫ R nu D α φ dx = (- 1) | α | ∫ р nv φ dx {\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} u \ D ^ {\ alpha} \! \ Varphi \ dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} v \ \ varphi \ dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} u \ D ^ {\ alpha} \! \ Varphi \ dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} v \ \ varphi \ dx}$

Если такая функция существует, то $D α u: = v {\ displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$ , который является уникальным почти везде. Это определение совпадает с классической производной для функций $u ∈ C | α | (R n) {\ displaystyle u \ in C ^ {| \ alpha |} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {| \ alpha |} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ и может быть расширен до типа обобщенных функций, называемых распределения, двойственное пространство тестовых функций. Слабые производные особенно полезны при изучении дифференциальных уравнений в частных производных и в рамках частей функционального анализа.

Анализ фракталов

Лапласианы и дифференциальные уравнения могут быть определены на фракталах.

Дробные производные

В дополнение к n-м производным для любого натурального числа n, Существуют различные способы определения производных дробного или отрицательного порядка, которые изучаются в дробном исчислении. Производная −1 порядка соответствует интегралу, откуда член дифференциальный интеграл.

Комплексный анализ

В комплексном анализе центральными объектами изучения являются голоморфные функции, которые являются комплексными функциями от комплексных чисел, удовлетворяющих подходящему расширенному определению дифференцируемости.

Производная Шварца описывает, как комплексная функция приближается дробно-линейная карта, почти так же, как нормальная производная описывает, как функция аппроксимируется линейной картой.

Производные Виртингера - это набор дифференциальных операторов, которые позволяют построить дифференциальное исчисление для сложных функций, полностью аналогичное обычному дифференциальному исчислению для функций вещественных переменных.

Кватернионный анализ

В кватернионном анализе производные можно определять аналогично действительным и комплексным функциям. Поскольку кватернионы $H {\ displaystyle \; \ mathbb {H} \;}$ ${\ displaystyle \; \ mathbb {H} \;}$ не коммутативны, предел разностного отношения дает две разные производные: левую производную

lim h → 0 [час - 1 (е (a + h) - f (a))] {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [\; h ^ {- 1} \ left (\, f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \, \ right) \; \ right]}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [\; h ^ {- 1} \ left (\, f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \, \ right) \; \ right]}

и правая производная

lim h → 0 [(f (a + h) - f (a)) h - 1]. {\ Displaystyle \ lim _ {ч \ к 0} \ влево [\; \ влево (\, е \ влево (а + ч \ вправо) -f \ влево (а \ вправо) \, \ вправо) ч ^ {- 1} \; \ right] ~.}

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [\; \ left (\, f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \, \ right) h ^ {- 1} \; \ right] ~.}

Существование этих ограничений является очень ограничивающим условием. Например, если $f: H → H {\ displaystyle \; f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H} \;}$ ${\ displaystyle \; f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H} \;}$ имеет левые производные в каждой точке открытого связный набор $U ⊂ H {\ displaystyle \; U \ subset \ mathbb {H} \;}$ ${\ displaystyle \; U \ subset \ mathbb {H} \;}$ , затем $f (q) = a + qb {\ displaystyle \; f ( q) = a + q \, b \;}$ ${\ displaystyle \; f (q) = a + q \, b \;}$ для $a, b ∈ H {\ displaystyle \; a, \, b \ in \ mathbb {H} \;}$ ${\ displaystyle \; a, \, b \ in \ mathbb {H} \;}$ .

Функциональный анализ

В функциональном анализе, функциональная производная определяет производную по отношению к функции функционала на пространстве функций. Это расширение производной по направлению до бесконечного размерного векторного пространства.

Производная Фреше позволяет расширить производную по направлению на общее банахово пространство. Производная Гато расширяет концепцию на локально выпуклые топологические векторные пространства. Дифференцируемость по Фреше - строго более сильное условие, чем дифференцируемость по Гато, даже в конечных размерностях. Между двумя крайностями находится квазипроизводная.

В теории меры производная Радона – Никодима обобщает якобиан, используемый для замены переменных, к мерам. Он выражает одну меру μ через другую меру ν (при определенных условиях).

В теории абстрактных винеровских пространств, H-производная определяет производную в определенных направлениях, соответствующих гильбертову пространству Кэмерона-Мартина .

В функциональном пространстве линейный оператор , который присваивает каждой функции ее производную, является примером дифференциального оператора. Общие дифференциальные операторы включают производные более высокого порядка. С помощью преобразования Фурье, могут быть определены псевдодифференциальные операторы, которые позволяют использовать дробное исчисление.

Аналоги производных в полях положительной характеристики

Производная Карлица - это операция, аналогичная обычному дифференцированию, была разработана с обычным контекстом действительных или комплексных чисел, измененным на локальные поля положительной характеристики в виде формального ряда Лорана с коэффициентами в некотором конечном поле Fq(известно, что любое локальное поле положительной характеристики изоморфно полю ряда Лорана).

Наряду с подходящими аналогами экспоненциальной функции, логарифмов и других производная может использоваться для разработки понятий гладкости, аналитичности, интегрирования, а также ряда Тейлора. как теория дифференциальных уравнений.

Оператор разности, q-аналоги и шкалы времени

q-производная функции определяется формулой

D qf (x) = f (qx) - f (x) (q - 1) x. {\ displaystyle D_ {q} f (x) = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}

D_q f (x) = \ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}.

Для x, отличного от нуля, если f - дифференцируемая функция x, то в пределе q → 1 мы получаем обычную производную, поэтому q-производную можно рассматривать как ее q-деформацию. Большое количество результатов обычного дифференциального исчисления, таких как биномиальная формула и разложение Тейлора, имеют естественные q-аналоги, которые были обнаружены в 19 веке, но оставались относительно неясными для большого количества людей. часть 20-го века, за пределами теории специальных функций. Прогресс комбинаторики и открытие квантовых групп кардинально изменили ситуацию, и популярность q-аналогов растет.

Разностный оператор в разностных уравнениях является еще одним дискретным аналогом стандартной производной.

Δ f (x) = f (x + 1) - f (x) {\ displaystyle \ Delta f (x) = f (x + 1) -f (x) \,}

\ Delta f (x) = f (x + 1) -f (x) \,

q-производная, оператор разности и стандартную производную можно рассматривать как одно и то же в разных временных масштабах. Например, взяв $ϵ = (q - 1) x {\ displaystyle \ epsilon = (q-1) x}$ $\ epsilon = (q-1) x$ , мы можем иметь

f (qx) - f (x) (д - 1) х знак равно е (х + ϵ) - е (х) ϵ. {\ displaystyle {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}} = {\ frac {f (x + \ epsilon) -f (x)} {\ epsilon}}.}

{\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}} = {\ frac {f (x + \ epsilon)) -f (x)} {\ epsilon}}.

q-производная является частным случаем разности Хана,

f (qx + ω) - f (x) qx + ω - x. {\ displaystyle {\ frac {f (qx + \ omega) -f (x)} {qx + \ omega -x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {f (qx + \ omega) -f (x)} {qx + \ omega -x}}.}

Разница Хана - это не только обобщение производной по q, но и расширение прямой разности.

Также обратите внимание, что q-производная - это не что иное, как частный случай известной производной. Возьмем $z = q x {\ displaystyle z = qx}$ $z = qx$ . Тогда имеем,

lim z → xf (z) - f (x) z - x = lim q → 1 f (qx) - f (x) qx - x = lim q → 1 f (qx) - f (х) (д - 1) х. {\ displaystyle \ lim _ {z \ to x} {\ frac {f (z) -f (x)} {zx}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {qx-x}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}

\ lim _ {{z \ to x}} {\ frac {f (z) -f (x)} {zx}} = \ lim _ {{q \ to 1}} { \ frac {f (qx) -f (x)} {qx-x}} = \ lim _ {{q \ to 1}} {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.

Производные в алгебра

В алгебре обобщения производной можно получить, наложив правило дифференцирования Лейбница в алгебраическую структуру, такую как кольцо или Алгебра Ли.

Выводы

A Вывод - это линейное отображение на кольце или алгебре, которое удовлетворяет закону Лейбница (правилу произведения). Также могут быть определены высшие производные и алгебраические дифференциальные операторы. Они изучаются в чисто алгебраической обстановке в дифференциальной теории Галуа и теории D-модулей, но также встречаются во многих других областях, где они часто соглашаются с менее алгебраическими определениями производные.

Например, формальная производная от полинома над коммутативным кольцом R определяется как

(adxd + ad - 1 xd - 1 + ⋯ + a 1 x + a 0) ′ = dadxd - 1 + (d - 1) ad - 1 xd - 2 + ⋯ + a 1. {\ displaystyle (a_ {d} x ^ {d} + a_ {d-1} x ^ {d-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}) '= da_ {d} x ^ {d-1} + (d-1) a_ {d-1} x ^ {d-2} + \ cdots + a_ {1}.}

(a_dx^d + a_{d-1}x^{d-1} + \cdots+a_1x+a_0)' = da_dx^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2} + \cdots+a_1.

Отображение $f ↦ f ′ {\ displaystyle f \ mapsto f '}$ $f\mapsto f'$ тогда является производным на кольце многочленов R [X]. Это определение можно распространить и на рациональные функции.

Понятие вывода применяется как к некоммутативным, так и к коммутативным кольцам и даже к неассоциативным алгебраическим структурам, таким как алгебры Ли.

См. Также производная Пинчерла и арифметическая производная.

коммутативная алгебра

В коммутативной алгебре, дифференциалы Кэлера являются универсальными производными коммутативного кольца или модуля. Их можно использовать для определения аналога внешней производной от дифференциальной геометрии, которая применяется к произвольным алгебраическим многообразиям, а не только к гладким многообразиям.

Теория чисел

В p-адическом анализе обычное определение производной недостаточно строго, и вместо этого требуется строгая дифференцируемость.

См. Также арифметическую производную и производную Хассе.

Теория типов

Многие абстрактные типы данных в математике и компьютерах science можно описать как алгебру, сгенерированную преобразованием, которое отображает структуры, основанные на типе, обратно в тип. Например, тип T двоичных деревьев, содержащих значения типа A, может быть представлен как алгебра, порожденная преобразованием 1 + A × T → T. «1» представляет построение пустого дерева, а второй член представляет построение дерева из значения и двух поддеревьев. Знак «+» означает, что дерево можно построить любым способом.

Производным от такого типа является тип, который описывает контекст конкретной подструктуры по отношению к ее следующей внешней содержащей структуре. Другими словами, это тип, представляющий «разницу» между ними. В примере с деревом производная - это тип, который описывает информацию, необходимую для конкретного поддерева для построения его родительского дерева. Эта информация представляет собой кортеж, который содержит двоичный индикатор того, находится ли дочерний элемент слева или справа, значение в родительском элементе и одноуровневое поддерево. Этот тип может быть представлен как 2 × A × T, что очень похоже на производную преобразования, которое сгенерировало тип дерева.

Эта концепция производного типа имеет практическое применение, например, метод застежки-молнии, используемый в языках функционального программирования.

Производные в геометрии

Главная Типы производных в геометрии - это производные Ли по векторному полю, внешний дифференциал и ковариантные производные.

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии векторное поле может быть определено как производное на кольце гладких функций на многообразии, и касательный вектор может быть определен как производное в точке. Это позволяет абстрагировать понятие производной по направлению скалярной функции до общих многообразий. Для многообразий, которые являются подмножествами из R, этот касательный вектор будет согласовываться с производной по направлению, определенной выше.

дифференциал или прямой отображения между многообразиями - это индуцированное отображение между касательными пространствами этих отображений. Он абстрагирует матрицу Якоби.

На внешней алгебре из дифференциальных форм над гладким многообразием, внешней производной является уникальным линейным отображением, которое удовлетворяет градуированной версии закона Лейбница и приводит к нулю. Это вывод 1 степени по внешней алгебре.

Производная Ли - это скорость изменения векторного или тензорного поля вдоль потока другого векторного поля. На векторных полях это пример скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли группы диффеоморфизмов многообразия). Это нулевой класс по алгебре.

Вместе с внутренним произведением (производная степени -1 на внешней алгебре, определяемой сжатием с векторным полем), внешняя производная и производная Ли образуют супералгебру Ли.

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии, ковариантная производная делает выбор для получения производных по направлениям векторных полей вдоль кривых. Это расширяет производную по направлению скалярных функций на разделы векторных пучков или главных пучков. В римановой геометрии существование метрики выбирает уникальную предпочтительную без кручения ковариантную производную, известную как связь Леви-Чивита. См. Также калибровочную ковариантную производную для рассмотрения, ориентированного на физику.

внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную до векторнозначных форм.

Геометрическое исчисление

В геометрическом исчислении геометрическая производная удовлетворяет более слабой форме правила Лейбница. Он специализирует производную Фреше для объектов геометрической алгебры. Геометрическое исчисление - это мощный формализм, который, как было показано, охватывает аналогичные рамки дифференциальных форм и дифференциальной геометрии.

Другие обобщения

Возможно объединение двух или более из вышеуказанных различных понятий расширения или абстракции исходной производной. Например, в финслеровской геометрии изучаются пространства, которые локально выглядят как банаховы пространства. Таким образом, может потребоваться производная с некоторыми из характеристик функциональной производной и ковариантной производной.

Для изучения случайных процессов требуется форма исчисления, известная как Исчисление Маллявэна. Одним из понятий производной в этой настройке является H-производная функции в абстрактном винеровском пространстве.

Мультипликативное исчисление заменяет сложение умножением и, следовательно, вместо того, чтобы иметь дело с пределом отношения различий, он имеет дело с пределом возведения в степень отношений. Это позволяет разрабатывать геометрическую производную и большую геометрическую производную. Более того, подобно тому, как классический дифференциальный оператор имеет дискретный аналог, оператор разности, существуют также дискретные аналоги этих мультипликативных производных.

См. Также

Примечания