В математическом анализе, то максимумы и минимумы (соответствующие формах множественного числа от максимума и минимума) в виде функции, известной под общим названием экстремумов (множественное числом экстремума), являются самым крупным и наималейшим значением функции, либо в пределах заданного диапазона (The местных или относительные экстремумы), или на всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общую технику, адекватность, для нахождения максимумов и минимумов функций.
Как определено в теории множеств, максимум и минимум набора - это наибольший и наименьший элементы в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как множество действительных чисел, не имеют минимума или максимума.
Действительнозначная функция f, определенная в области X, имеет точку глобального (или абсолютного) максимумапри х *, если е ( х *) ≥ F ( х) для всех х в X. Точно так же функция имеет точку глобального (или абсолютного) минимумапри х *, если е ( х *) ≤ F ( х) для всех х в X. Значение функции в точке максимума называется максимальное значение функции обозначается, а значение функции в точке минимума называетсяминимальное значение функции. Условно это можно записать так:
Аналогично происходит определение точки глобального минимума.
Если область X является метрическим пространством, то говорят, что f имеет локальную (или относительную) точку максимумав точке x ∗, если существует такое ε gt; 0, что f ( x ∗) ≥ f ( x) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗. Аналогично функция имеет точку локального минимумав точке x ∗, если f ( x ∗) ≤ f ( x) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗. Аналогичное определение можно использовать, когда X - топологическое пространство, поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:
Аналогично можно провести определение точки локального минимума.
Как в глобальном, так и в локальном случаях концепция можно определить строгий экстремум. Например,x∗- этострогая глобальная точка максимальной, если для всеххвXс х ≠ х *, мы имеем е ( х *)gt; е ( х)их*являетсяточка строгого локального максимума, если существует такое ε gt; 0, что для всехxвXна расстоянииεотx∗,где x ≠ x ∗, выполняется f ( x ∗)gt; f ( x). Обратите внимание, что точка является точкой строгого глобального максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной точкой глобального максимума, и аналогично для точек минимума.
Непрерывная вещественная функция с компактной области всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функцией, область является замкнутым и ограниченным интервалом из действительных чисел (см график выше).
Поиск глобальных максимумов и минимумов - цель математической оптимизации. Если функция непрерывна на отрезке, то по теореме об экстремальных значениях глобальные максимумы и минимумы существуют. Кроме того, глобальный максимум (или минимум) должен быть либо локальным максимумом (или минимумом) внутри домена, либо лежать на границе домена. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы посмотреть на все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть на максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольшее ( или самый маленький) один.
Вероятно, наиболее важной, но вполне очевидной особенностью непрерывных действительных функций действительной переменной является то, что они убывают до локальных минимумов и увеличиваются после них, также как и до максимумов. (Формально, если f является непрерывной действительной функцией действительной переменной x, то x 0 является локальным минимумом тогда и только тогда, когда существует a lt; x 0 lt; b такое, что f убывает на ( a, x 0) и увеличивается на ( х 0, б)) прямое следствие этого является теоремой Ферма, в котором говорится, что локальные экстремумы должны происходить при критических точках (или точках, где функция отлична от дифференцируемой ). Можно выделить критической точкой является ли локальный максимум или локальный минимум с помощью первой производной теста, вторую производную тест, или тест более высокого порядка производной при достаточной дифференцируемость.
Для любой функции, которая определяется кусочно, можно найти максимум (или минимум), найдя максимум (или минимум) каждой части отдельно, а затем увидев, какая из них наибольшая (или наименьшая).
Функция | Максимумы и минимумы |
---|---|
х 2 | Уникальный глобальный минимум при x = 0. |
х 3 | Нет глобальных минимумов или максимумов. Хотя первая производная (3 x 2) равна 0 при x = 0, это точка перегиба. (2-я производная в этот момент равна 0.) |
Уникальный глобальный максимум при x = e. (См. Рисунок справа) | |
х - х | Уникальный глобальный максимум положительных действительных чисел при x = 1 / e. |
х 3 /3 - х | Первая производная x 2 - 1 и вторая производная 2 x. Установка первой производной на 0 и решение относительно x дает стационарные точки в −1 и +1. По знаку второй производной видно, что −1 - это локальный максимум, а +1 - локальный минимум. Эта функция не имеет глобального максимума или минимума. |
| х | | Глобальный минимум при x = 0, который нельзя найти, взяв производные, потому что производная не существует при x = 0. |
cos ( x) | Бесконечно много глобальных максимумов в точках 0, ± 2 π, ± 4 π,... и бесконечно много глобальных минимумов в точках ± π, ± 3 π, ± 5 π,.... |
2 cos ( x) - x | Бесконечно много локальных максимумов и минимумов, но нет глобального максимума или минимума. |
cos (3 π x) / x с 0,1 ≤ x ≤ 1,1 | Глобальный максимум при x = 0,1 (граница), глобальный минимум около x = 0,3, локальный максимум около x = 0,6 и локальный минимум около x = 1,0. (См. Рисунок вверху страницы.) |
x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1, определенный на отрезке (отрезке) [−4,2] | Локальный максимум при х = -1- √ 15 /3, локальный минимум при х = -1+ √ 15 /3, глобальный максимум при х = 2 и глобального минимума при х = -4. |
В качестве практического примера предположим ситуацию, когда кто-то стоит на ногах ограждения и пытается максимизировать квадратные метры прямоугольного ограждения, где - длина, - ширина и - площадь:
Производная по:
Установив это равным
показывает, что это наша единственная критическая точка. Теперь извлеките конечные точки, определив интервал, которым они ограничены. Так как ширина положительна, то, и так, что означает, что. Подключите критическую точку, а также конечные точки и, в, и результаты будут и соответственно.
Следовательно, наибольшая достижимая площадь с прямоугольными опорами ограждения составляет.
Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличиваемом) рисунке справа необходимые условия для локального максимума аналогичны условиям для функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которая должна быть максимизирована) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это всего лишь необходимые, но недостаточные условия для локального максимума из-за возможности возникновения седловой точки. Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой повсюду. Второй частная производная тест может помочь классифицировать точку в качестве относительного максимума или минимума относительного. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченный дифференцируемая функция F, определенный на отрезке в прямом имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то он также является глобальным минимумом (использовать теорему промежуточного значения и теорему Ролля, чтобы доказать это, сокращение до невозможности ). В двух и более измерениях этот аргумент неверен. Это иллюстрируется функцией
единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), которая является локальным минимумом с f (0,0) = 0. Однако она не может быть глобальной, потому что f (2,3) = −5.
Если область определения функции, для которой должен быть найден экстремум, состоит из функций (т. Е. Если должен быть найден экстремум функционала ), то экстремум находится с использованием вариационного исчисления.
Для множеств также могут быть определены максимумы и минимумы. В общем, если в упорядоченном множестве S есть наибольший элемент m, то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как. Кроме того, если S является подмножеством упорядоченного множества Т и м является наибольшим элементом S с (относительно порядка, индуцированным Т), то т является не менее верхней границей из S в T. Аналогичные результаты верны для наименьшего элемента, минимального элемента и точной нижней границы. Функции максимума и минимума для наборов используются в базах данных и могут быть вычислены быстро, поскольку максимум (или минимум) набора может быть вычислен из максимумов раздела; формально это саморазлагаемые агрегатные функции.
В случае общего частичного порядка, по наименьшим элементом (т.е. один, который меньше, чем все остальные) не следует путать с минимальным элементом (ничего не меньше). Точно так же, наибольший элемент из частично упорядоченного множества (посета) является верхней границей множества, которое содержится в наборе, в то время как максимальный элемент т из посета А является элементом таким образом, что, если т ≤ б (для любого b в A), тогда m = b. Любой наименьший или наибольший элемент чугуна уникален, но чум может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если у poset более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.
В полностью упорядоченном наборе или цепочке все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сопоставимости минимальный элемент также будет наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном наборе мы можем просто использовать термины минимум и максимум.
Если цепочка конечна, то у нее всегда будет максимум и минимум. Если цепочка бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются точной нижней границей и точной верхней границей множества S соответственно.