Адекватность

Адекватность - это метод, разработанный Пьером де Ферма в его трактате Methodus ad disquirendam maximam et minimam ( латинский трактат, распространенный во Франции c. 1636) для вычисления максимумов и минимумов функций, касательных к кривым, площади, центр масс, наименьшее действие и другие проблемы в исчислении. Согласно Андре Вейлю, Ферма "вводит технический термин adaequalitas, adaequare и т. Д., Который, по его словам, он заимствовал из Диофанта. Как показывает Диофант V.11, это означает приблизительный равенство, и именно так Ферма объясняет это слово в одном из своих более поздних произведений ". (Weil 1973). Диофант придумал слово παρισότης (parisotēs) для обозначения приблизительного равенства. Клод Гаспар Баше де Мезириак перевел греческое слово Диофанта на латынь как adaequalitas. Французский перевод Поля Таннери латыни Ферма в трактатах о максимумах и минимумах использовались слова adéquation и adégaler.

• 1 Метод Ферма
• 2 Критика Декарта
• 3 Научная полемика
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Библиография

Ферма сначала использовал адекватность для поиска максимумов функций, а затем адаптировал его для поиска касательных к кривым.

Чтобы найти максимум члена $p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\}$, Ферма приравнял (или, точнее, адекватно) $p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\}$и $p\; (x\; +\; e)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x\; +\; e)\}$и после выполнения алгебры он мог сократить множитель of $e,\; \{\backslash \; displaystyle\; e,\}$, а затем отбросить все оставшиеся термины, содержащие $e.\; \{\backslash \; displaystyle\; e.\}$Чтобы проиллюстрировать метод на собственном примере Ферма, рассмотрим задачу нахождения максимума $p\; (x)\; =\; bx\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\; =\; bx\; -x\; ^\; \{2\}\}$(По словам Ферма, это означает разделение строки длиной $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$в точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, так что произведение двух результирующих частей было максимальным.) Ферма адекватно $bx\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; bx-x\; ^\; \{2\}\}$с $b\; (x\; +\; e)\; -\; (x\; +\; e)\; 2\; =\; bx\; -\; x\; 2\; +\; be\; -\; 2\; ex\; -\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x\; +\; e)\; -\; (x\; +\; e)\; ^\; \{2\}\; =\; bx-x\; ^\; \{2\}\; +\; be-2ex-e\; ^\; \{2\}\}$. То есть (используется запись $\backsim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; backsim\}$для обозначения адекватности, введенная Полом Таннери ):

$bx\; -\; x\; 2\; \backsim \; bx\; -\; x\; 2\; +\; быть\; -\; 2\; отл\; -\; е\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; bx-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; backsim\; bx-x\; ^\; \{2\}\; +\; be-2ex-e\; ^\; \{2\}.\}$

Отмена условий и деление на $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$Ферма пришел к

$b\; \backsim \; 2\; x\; +\; e.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; backsim\; 2x\; +\; e.\}$

Удаление терминов, содержащих $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, Ферма пришел к желаемому результату: максимум достигается, когда $x\; =\; b\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\; /\; 2\}$.

Ферма также использовал свой принцип, чтобы дать математический вывод законов Снеллиуса преломления непосредственно из принципа, согласно которому свет проходит наиболее быстрым путем.

Метод Ферма подвергся резкой критике со стороны его современников, в частности, Декарта. Виктор Кац предполагает, что это связано с тем, что Декарт независимо открыл ту же новую математику, известную как его метод нормалей, и Декарт очень гордился своим открытием. Кац также отмечает, что, хотя методы Ферма были ближе к будущим разработкам в области исчисления, методы Декарта оказали более непосредственное влияние на развитие.

И Ньютон, и Лейбниц ссылались на работу Ферма. как предшественник исчисления бесконечно малых. Тем не менее, среди современных ученых существуют разногласия по поводу точного значения адекватности Ферма. Адекватность Ферма анализировалась в ряде научных исследований. В 1896 г. Поль Таннери опубликовал французский перевод латинских трактатов Ферма о максимумах и минимумах (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp. 121–156). Таннери перевел термин Ферма как «adégaler» и принял «адеквацию» Ферма. Таннери также ввел символ $\backsim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; backsim\}$для соответствия математическим формулам.

Генрих Вилейтнер (1929) писал:

Ферма заменяет A на A + E. Затем он устанавливает новое выражение примерно равным (angenähert gleich ) старому, отменяет равные члены с обеих сторон и делит на максимально возможную степень E. Затем он отменяет все члены, содержащие E, и устанавливают те, которые остаются равными друг другу. Из этого [требуемого] результата А. О том, что E должно быть как можно меньше, нигде не говорится и в лучшем случае выражается словом «adaequalitas».

(Вилейтнер использует символ $\sim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sim\}$.)

.

Макс Миллер (1934) писал:

В этой связи следует поставить оба термины, выражающие максимум и минимум, приблизительно равны (näherungsweise gleich ), как говорит Диофант.

(Миллер использует символ $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; приблизительно\}$.)

.

Жан Итар (1948) писал:

Известно, что выражение «adégaler» заимствовано Ферма из Диофанта, переведенного Ксиландером и Баше. Речь идет о приблизительном равенстве (égalité приблизительно ) ".

(Итард использует символ $\backsim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; backsim\}$.)

.

Джозеф Эренфрид Хофманн (1963) писал:

Ферма выбирает величину h, которую он считает достаточно малой, и полагает f (x + h) примерно равным (ungefähr gleich ) на f (x). Его технический термин - adaequare.

(Хофманн использует символ $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; приблизительно\}$.)

.

Peer Стрёмхольм (1968) писал:

В основе подхода Ферма лежало сравнение двух выражений, которые, хотя и имели одинаковую форму, не совсем равны . Эту часть процесса он назвал «compare par adaequalitatem» или «comparer per adaequalitatem», и это подразумевает, что в остальном строгая идентичность между двумя сторонами «уравнения» была нарушена изменением переменной на небольшую величину:

$f\; (A)\; \sim \; е\; (A\; +\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\; (A)\; \{\backslash \; sim\}\; f\; (A\; +\; E)\}$.

Это, я не верю ve, было реальное значение его использования πἀρισον Диофанта, подчеркивая малость вариации. Обычный перевод слова «adaequalitas» выглядит как «приблизительное равенство », но я предпочитаю «псевдравенство », чтобы представить мысль Ферма в этом месте.

Он далее отмечает что «в M1 (Метод 1) никогда не было вопроса о том, чтобы вариация E была равна нулю. Слова, которые Ферма использовал для выражения процесса подавления терминов, содержащих E, были« elido »,« deleo »и« expungo », и во французских «i'efface» и «i'ôte». Мы не можем поверить, что здравомыслящий человек, желающий выразить свое значение и ищущий слова, постоянно находил бы такие извилистые способы передать тот простой факт, что эти термины исчезли, потому что E было равно нулю. (Стр. 51)

.

Клаус Йенсен (1969) писал:

Более того, применяя понятие adégalité, которое составляет основу общего метода Ферма построения касательных и с помощью которого означало сравнение двух величин , как если бы они были равны, хотя на самом деле они не ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non s int ") - я буду использовать более привычный в настоящее время символ $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; приблизительно\}$.

Латинская цитата взята из книги Ферма, изданной Таннери 1891 года, том 1, страница 140.

.

Майкл Шон Махони (1971) писал:

Метод максимумов и минимумов Ферма, который явно применим к любому многочлену P (x), изначально базировался на чисто финитистских алгебраических основах. Он предположил, , а не , неравенство двух равных корней, чтобы определить, согласно теории уравнений Вите, связь между этими корнями и одним из коэффициентов многочлена, отношение, которое было полностью общим. Это соотношение затем привело к решению экстремального значения, когда Ферма удалил свое контрфактическое предположение и установил равные корни. Заимствуя термин у Диофанта, Ферма назвал это контрфактическое равенство «адекватностью».

(Махони использует символ $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; приблизительно\}$.) п. 164, конец сноски 46, Махони отмечает, что одним из значений адекватности является приблизительное равенство или равенство в предельном случае.

.

Чарльз Генри Эдвардс младший (1979) писал:

Например, чтобы определить, как разделить отрезок длины $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; b\}$на два сегмента $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\}$и $b\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; bx\}$, произведение $x\; (b\; -\; x)\; =\; bx\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\; (bx)\; =\; bx-x\; ^\; \{2\}\}$максимально, то есть найти прямоугольник с периметром $2\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; 2b\}$имеющий максимальную площадь, он [Ферма] поступает следующим образом. Сначала он заменил неизвестный x $x\; +\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\; +\; e\}$

(он использовал A, E вместо x, e), а затем записал следующий "псевдо- равенство "для сравнения полученного выражения с исходным:

$b\; (x\; +\; e)\; -\; (x\; +\; e)\; 2\; =\; bx\; +\; be\; -\; x\; 2\; -\; 2\; xe\; -\; e\; 2\; \sim \; bx\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; b\; (x\; +\; e)\; -\; (x\; +\; e)\; ^\; \{2\}\; =\; bx\; +\; be-x\; ^\; \{2\}\; -2xe-e\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; \backslash \; sim\; \backslash ;\; bx-x\; ^\; \{\; 2\}.\}$

После отмены условий он разделил на e, чтобы получить $b\; -\; 2\; x\; -\; e\; \sim \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; b-2\; \backslash ,\; xe\; \backslash ;\; \backslash \; sim\; \backslash ;\; 0.\}$Наконец, он отбросил оставшийся член, содержащий е, превратив псевдравенство в истинное равенство $x\; =\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{2\}\}\}$, который дает значение x, которое делает $bx\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; bx-x\; ^\; \{2\}\}$максимальным. К сожалению, Ферма никогда не объяснил логическую основу этого метода с достаточной ясностью или полнотой, чтобы предотвратить разногласия между историками относительно того, что именно он имел в виду или имел в виду ».

Кирсти Андерсен (1980) написала:

Два выражения максимума или минимума сделаны «адекватными», что означает что-то вроде как можно более близкое к .

(Андерсен использует символ $\approx \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; приблизительно\}$.)

.

Герберт Брегер (1994) писал:

Я хочу выдвинуть свою гипотезу: Ферма использовал слово «adaequare» в значении «поставить равное» ... В математическом контексте единственная разница между "aequare" и "adaequare", по-видимому, состоит в том, что последний придает большее значение факту достижения равенства.

(стр. 197f.)

.

John Стиллвелл (Стиллвелл 2006, стр. 91) писал:

Ферма представил идею адекватности в 1630-х годах, но он опередил свое время. Его преемники не желали отказываться от конвенций. знания обыкновенных уравнений, предпочитая использовать равенство нечетко, а не точно использовать адекватность. Идея адекватности возродилась только в ХХ веке, в так называемом нестандартном анализе.

.

Энрико Джусти (2009) цитирует письмо Ферма Марину Мерсенну где Ферма писал:

Cette compareison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question »(« Это сравнение по адекватности дает два неравных условия, которые в конечном итоге приводят к равенству (следуя моему методу), который дает нам решение проблемы ").

Джусти отмечает в сноске, что это письмо, похоже, ускользнуло от внимания Брегера.

.

Клаус Барнер (2011) утверждает, что Ферма использует два разных латинских слова (aequabitur и adaequabitur), чтобы заменить обычный в настоящее время знак равенства, aequabitur, когда уравнение касается действительного тождества между двумя константами, универсально действующей (доказанной) формулы или условного уравнения, adaequabitur, однако, когда уравнение описывает связь между двумя переменными, которые ch не являются независимыми (и уравнение не является допустимой формулой). На странице 36 Барнер пишет: «Почему Ферма постоянно повторял свою непоследовательную процедуру для всех своих примеров для метода касательных? Почему он никогда не упоминал секанс, которой он фактически оперировал? Я не знаю».

Кац, Шапс, Шнидер (2013) утверждают, что применение Ферма техники к трансцендентным кривым, таким как циклоида, показывает, что метод адекватности Ферма выходит за рамки чисто алгебраического алгоритма и что, вопреки интерпретации Брегера, технические термины parisotes, используемые Диофантом, и adaequalitas, используемые Ферма, означают «приблизительное равенство». Они развивают формализацию техники адекватности Ферма в современной математике в виде стандартной функции части, которая округляет конечное гиперреалистическое число до ближайшего действительного числа.

• Принцип Ферма
• Трансцендентный закон однородности

• Брегер, Х. (1994) «Тайны адаэквара: подтверждение Ферма», Архив истории of Exact Sciences 46 (3): 193–219.
• Эдвардс, С.Х. мл. (1994), Историческое развитие исчисления, Springer
• Джусти, Э. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat ", Ann. Фак. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
• Грабинер, Джудит В. (сентябрь 1983 г.), «Меняющаяся концепция изменения: производная от Ферма к Вейерштрассу», Mathematics Magazine, 56 (4): 195–206, doi : 10.2307 / 2689807, JSTOR 2689807
• Кац, В. (2008), История математики: Введение, Аддисон Уэсли
• Стиллвелл, Дж. (2006) Тоска по невозможному. Удивительные истины математики, стр. 91, A. K Peters, Ltd., Веллесли, Массачусетс
• Вейль, A., Рецензия на книгу: Математическая карьера Пьера де Ферма. Бык. Амер. Математика. Soc. 79 (1973), нет. 6, 1138–1149.