Нестандартный анализ

редактировать

Исчисление с использованием логически строгого понятия бесконечно малых чисел

Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что идеализированные числа, содержащие бесконечно малые быть введенным.

История исчисления полна философских споров о значении и логической достоверности флюксий или бесконечно малых чисел. Стандартный способ разрешить эти споры - определить операции исчисления с использованием процедур эпсилон – дельта, а не бесконечно малых. Нестандартный анализ вместо этого переформулирует исчисление, используя логически строгое понятие бесконечно малых чисел.

Нестандартный анализ возник в начале 1960-х годов математиком Абрахамом Робинсоном. Он писал:

... идея бесконечно малых или бесконечно малых величин, кажется, естественным образом обращается к нашей интуиции. Во всяком случае, использование бесконечно малых величин было широко распространено на этапах становления дифференциального и интегрального исчисления. Что касается возражения... о том, что расстояние между двумя различными действительными числами не может быть бесконечно малым, Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что теория бесконечно малых подразумевает введение идеальных чисел, которые могут быть бесконечно малыми или бесконечно большими по сравнению с с действительными числами, но которые должны были обладать теми же свойствами, что и последние.

Робинсон утверждал, что этот закон непрерывности Лейбница является предшественником принципа переноса. Робинсон продолжил:

Однако ни он, ни его ученики и преемники не смогли дать рационального развития, ведущего к системе такого рода. В результате теория бесконечно малых величин постепенно приобрела дурную славу и была заменена классической теорией пределов.

Робинсон продолжает:

... идеи Лейбница могут быть полностью подтверждены и... они приводят к роману и плодотворный подход к классическому анализу и многим другим разделам математики. Ключом к нашему методу является подробный анализ взаимосвязи между математическими языками и математическими структурами, лежащий в основе современной теории моделей.

В 1973 году интуиционист Аренд Гейтинг высоко оценил нестандартный анализ как «стандартную модель важных математических исследований».

Содержание

1 Введение
2 Основные определения
3 Мотивация
- 3.1 Исторический
- 3.2 Педагогический
- 3.3 Технические
4 Подходы к нестандартному анализу
5 Книга Робинсона
6 Проблема инвариантного подпространства
7 Другие приложения
- 7.1 Приложения к исчислению
8 Критика
9 Логическая структура
10 Внутренние наборы
11 Первые последствия
12 κ-насыщение
13 См. Также
14 Дополнительная литература
15 Ссылки
16 Библиография
17 Внешние ссылки

Введение

Ненулевой элемент упорядоченного поля $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb F$ является бесконечно малым тогда и только тогда, когда его абсолютное значение меньше любого элемента $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb F$ формы $1 n {\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ , для $n {\ displaystyle n}$ $n$ стандартное натуральное число. Упорядоченные поля, содержащие бесконечно малые элементы, также называются неархимедовыми. В более общем смысле нестандартный анализ - это любая форма математики, основанная на нестандартных моделях и принципе переноса. Поле, которое удовлетворяет принципу переноса для действительных чисел, - это гиперреальное поле, и нестандартный реальный анализ использует эти поля как нестандартные модели действительных чисел.

Оригинальный подход Робинсона был основан на этих нестандартных моделях поля действительных чисел. Его классическая основополагающая книга по теме «Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году и до сих пор издается. На странице 88 Робинсон пишет:

Существование нестандартных моделей арифметики было обнаружено Торальфом Сколемом (1934). Метод Сколема предвещает сверхмощную конструкцию [...]

Для разработки исчисления бесконечно малых необходимо решить несколько технических вопросов. Например, недостаточно построить упорядоченное поле с бесконечно малыми величинами. См. Статью о гиперреальных числах для обсуждения некоторых из соответствующих идей.

Основные определения

В этом разделе мы обрисовываем один из простейших подходов к определению гиперреального поля $∗ R {\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ $^ {*} {\ mathbb {R}}$ . Пусть $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ будет полем действительных чисел, а $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ будет полукольцо натуральных чисел. Обозначим через $R N {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ набор последовательностей действительных чисел. Поле $∗ R {\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ $^ {*} {\ mathbb {R}}$ определяется как подходящее частное от $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb { N}}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{\ mathbb {N}} }$ следующим образом. Возьмем неглавный ультрафильтр $F ⊆ P (N) {\ displaystyle F \ substeq P (\ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle F \ substeq P (\ mathbb {N}) }$ . В частности, $F {\ displaystyle F}$ $F$ содержит фильтр Фреше. Рассмотрим пару последовательностей

u = (un), v = (vn) ∈ RN {\ displaystyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ { \ mathbb {N}}}

u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {{\ mathbb {N}}}

Мы говорим, что $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ эквивалентны, если они совпадают набор индексов, который является членом ультрафильтра, или в формулах:

{n ∈ N: un = vn} ∈ F {\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N}: u_ {n} = v_ {n} \} \ in F}

\ {n \ in {\ mathbb {N}}: u_ {n } = v_ {n} \} \ in F

Частное от $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{\ mathbb {N}} }$ по полученному отношению эквивалентности является гиперреальным поле $∗ R {\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ $^ {*} {\ mathbb {R}}$ , ситуация описывается формулой $∗ R = RN / F {\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R} = {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} / {F}}$ $^ {*} { \ mathbb {R}} = {{\ mathbb {R}} ^ {{\ mathbb {N}}}} / {F}$ .

Мотивация

Существует как минимум три причины рассмотреть нестандартный анализ: исторический, педагогический и технический.

Исторический

Большая часть самого раннего развития исчисления бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем была сформулирована с использованием таких выражений, как бесконечно малое число и исчезающая величина. Как отмечалось в статье о гиперреальных числах, эти формулировки подверглись широкой критике со стороны Джорджа Беркли и других. Было непросто разработать последовательную теорию анализа с использованием бесконечно малых величин, и первым, кто сделал это удовлетворительным образом, был Абрахам Робинсон.

В 1958 году Курт Шмиден и Детлеф Лаугвиц опубликовали статью «Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung» - «Расширение исчисления бесконечно малых», в котором предложена конструкция кольца, содержащего бесконечно малые числа. Кольцо было построено из последовательностей действительных чисел. Две последовательности считались эквивалентными, если они отличались только конечным числом элементов. Арифметические операции определялись поэлементно. Однако построенное таким образом кольцо содержит делители нуля и поэтому не может быть полем.

Педагогический

Х. Джером Кейслер, Дэвид Толл и другие преподаватели утверждают, что использование бесконечно малых чисел более интуитивно понятно и легче усваивается учащимися, чем подход «эпсилон – дельта» к аналитическим концепциям.. Такой подход иногда может обеспечить более легкое доказательство результатов, чем соответствующая формулировка доказательства эпсилон-дельта. Большая часть упрощения происходит от применения очень простых правил нестандартной арифметики, а именно:

бесконечно малое × конечное = бесконечно малое

бесконечно малое + бесконечно малое = бесконечно малое

вместе с принципом переноса, упомянутым ниже.

Еще одно педагогическое применение нестандартного анализа - Эдвард Нельсон изучает теорию случайных процессов.

Технический

Некоторые недавние работы были выполнены в анализ с использованием концепций нестандартного анализа, особенно при исследовании предельных процессов статистики и математической физики. Серджио Альбеверио и др. обсудите некоторые из этих приложений.

Подходы к нестандартному анализу

Существует два основных различных подхода к нестандартному анализу: семантический или теоретико-модельный подход и синтаксический подход. Оба этих подхода применимы к другим областям математики, выходящим за рамки анализа, включая теорию чисел, алгебру и топологию.

Оригинальная формулировка нестандартного анализа Робинсоном относится к категории семантического подхода. Как он разработал в своих статьях, он основан на изучении моделей (в частности, насыщенных моделей ) теории. С тех пор, как впервые появилась работа Робинсона, был разработан более простой семантический подход (благодаря Элиасу Закону) с использованием чисто теоретико-множественных объектов, называемых надстройками. В этом подходе модель теории заменяется объектом, называемым надстройкой V (S) над множеством S. Начиная с надстройки V (S) каждый строит другой объект * V (S), используя сверхмощность вместе с отображением V (S) → * V (S), удовлетворяющим принципу переноса. Отображение * связывает формальные свойства V (S) и * V (S). Кроме того, можно рассмотреть более простую форму насыщения, называемую счетным насыщением. Этот упрощенный подход также больше подходит для использования математиками, которые не являются специалистами в теории моделей или логике.

Синтаксический подход требует гораздо меньше логики и теории моделей для понимания и использования. Этот подход был разработан в середине 1970-х математиком Эдвардом Нельсоном. Нельсон ввел полностью аксиоматическую формулировку нестандартного анализа, которую он назвал теорией внутренних множеств (IST). IST является расширением теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) в том смысле, что наряду с основным бинарным отношением принадлежности ∈, он вводит новый стандарт унарных предикатов, который может применяться к элементам математической вселенной вместе с некоторыми аксиомы для рассуждений с этим новым предикатом.

Синтаксический нестандартный анализ требует большой осторожности при применении принципа формирования множеств (формально известного как аксиома понимания ), который математики обычно принимают как должное. Как указывает Нельсон, ошибка в рассуждениях IST заключается в незаконном формировании множества. Например, в IST нет множества, элементы которого являются в точности стандартными целыми числами (здесь стандарт понимается в смысле нового предиката). Чтобы избежать незаконного формирования набора, для определения подмножеств следует использовать только предикаты ZFC.

Другим примером синтаксического подхода является Альтернативная теория множеств, представленная Петром Вопенькой, пытаясь найти аксиомы теории множеств, более совместимые с нестандартным анализом, чем аксиомы ZF.

В 2018 году Абдельджалил Саге предложил явный подход к построению поля нестандартного анализа без использования ультрафильтров.

В том же 2018 году Ангга Нуграха представил другой подход для создания того, что он называет наивным анализом бесконечно малых. Его подход является чем-то средним между двумя упомянутыми выше подходами (семантическим и синтаксическим). Семантически он предложил модель $RZ < {\displaystyle \mathbb {R^{Z_{<}}} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$ , которая в некотором смысле является упрощенной версией $∗ R {\ displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$ . Однако он не позволил этому помешать цели использования общего языка для обсуждения как $RZ < {\displaystyle \mathbb {R^{Z_{<}}} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$ , и $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Аксиоматически он также говорил о синтаксисе. Он использовал некоторые принципы, которые также напоминают принципы Белла - микростабильность и тому подобное. Тем не менее, у него не было необходимости различать «внутренние» и «внешние» наборы, поскольку его стратегия - Chunk Permeate, поэтому ему не приходилось беспокоиться о несоответствиях, возникающих в результате объединения этих двух. Еще одно преимущество использования его подхода состоит в том, что он работает достаточно интуитивно, без (слишком) увязших в технических сложностях.

Книга Робинсона

Книга Авраама Робинсона «Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году. Некоторые из тем, изложенных в книге, уже были представлены в его статье 1961 года с тем же названием (Robinson 1961). В дополнение к содержанию первого полного описания нестандартного анализа, книга содержит подробный исторический раздел, в котором Робинсон оспаривает некоторые из полученных мнений по истории математики, основанные на восприятии пред-нестандартного анализа бесконечно малых как несовместимых сущностей. Таким образом, Робинсон оспаривает идею о том, что Огюстена-Луи Коши «теорема о сумме » в Cours d'Analyse о сходимости ряда непрерывных функций была неверно, и предлагает интерпретацию своей гипотезы на основе бесконечно малых, которая приводит к правильной теореме.

Проблема инвариантного подпространства

Абрахам Робинсон и Аллен Бернстайн использовали нестандартный анализ, чтобы доказать, что каждый полиномиально компактный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет инвариантное подпространство.

Дан оператор T в гильбертовом пространстве H, рассмотрим орбиту точки v в H при итерациях T. Применяя Грама – Шмидта, получаем ортонормированный базис (e i) для H. Пусть (H i) будет соответствующей вложенной последовательностью «координатных» подпространств H. Матрица a i, j, выражающая T относительно (e i) является почти верхнетреугольным в том смысле, что коэффициенты a i + 1, i являются единственными ненулевыми субдиагональными коэффициентами. Бернштейн и Робинсон показывают, что если T полиномиально компактно, то существует гиперконечный индекс w такой, что матричный коэффициент a w + 1, w бесконечно мал. Затем рассмотрим подпространство H w в * H. Если y в H w имеет конечную норму, то T (y) бесконечно близко к H w.

. Пусть теперь T w - оператор $P w ∘ T {\ displaystyle P_ {w} \ circ T}$ $P_ {w} \ circ T$ , действующий на H w, где P w - ортогональная проекция на H w. Обозначим через q многочлен такой, что q (T) компактно. Подпространство H w является внутренним гиперконечной размерностью. Путем переноса верхней триангуляризации операторов конечномерного комплексного векторного пространства существует внутренний ортонормированный базис гильбертова пространства (e k) для H w, где k пробегает от 1 до w, например что каждое из соответствующих k-мерных подпространств E k является T-инвариантным. Обозначим через Π k проекцию на подпространство E k. Для ненулевого вектора x конечной нормы в H можно считать, что q (T) (x) отлична от нуля или | q (T) (x) |>1 по исправлению идей. Так как q (T) - компактный оператор, (q (T w)) (x) бесконечно близок к q (T) (x), и, следовательно, также | q (T w) (x) |>1. Пусть теперь j будет наибольшим индексом такой, что $| q (T w) (Π j (x)) | < 1 2 {\displaystyle |q(T_{w})\left(\Pi _{j}(x)\right)|<{\tfrac {1}{2}}}$ $| q (T_ {w}) \ left (\ Pi _ {j} (x) \ right) | <{ \ tfrac {1} {2}}$ . Тогда пространство всех стандартных элементов, бесконечно близких к E j, является искомым инвариантным подпространством.

Прочитав препринт статьи Бернштейна и Робинсона, Пол Халмос переосмыслил их доказательство, используя стандартные методы. Обе статьи были опубликованы в одном и том же номере Pacific Journal of Mathematics. Некоторые идеи, использованные в доказательстве Халмоша, вновь проявились много лет спустя в собственной работе Халмоша по квазитреугольным операторам.

Другие приложения

Были получены другие результаты, связанные с переосмыслением или повторным подтверждением ранее известных результатов. Особый интерес представляет доказательство Тетуро Камаэ индивидуальной эргодической теоремы или Л. ван ден Дриса и трактовка Алексом Уилки теоремы Громова о группах полиномиального роста. Ларри Маневиц и Шмуэль Вайнбергер использовали нестандартный анализ, чтобы доказать результат в алгебраической топологии.

Однако реальный вклад нестандартного анализа заключается в концепциях и теоремах, которые используют новый расширенный язык теория нестандартных множеств. В списке новых приложений в математике есть новые подходы к вероятности, гидродинамике, теории меры, негладкому и гармоническому анализу и т. Д.

Есть также приложения нестандартного анализа к теории случайных процессов, в частности построения Броуновское движение как случайные блуждания. Альбеверио и др. иметь отличное введение в эту область исследований.

Приложения к математике

В качестве приложения к математическому образованию, H. Джером Кейслер написал Элементарное исчисление: бесконечно малый подход. Охват нестандартного исчисления, он развивает дифференциальное и интегральное исчисление с использованием гиперреальных чисел, которые включают бесконечно малые элементы. Эти приложения нестандартного анализа зависят от существования стандартной части конечного гиперреального r. Стандартная часть r, обозначенная st (r), является стандартным действительным числом, бесконечно близким к r. Одним из устройств визуализации, которые использует Кейслер, является воображаемый микроскоп с бесконечным увеличением, чтобы различать точки, бесконечно близкие друг к другу. Книга Кейслера сейчас больше не издается, но она находится в свободном доступе на его веб-сайте; см. ссылки ниже.

Критика

Несмотря на элегантность и привлекательность некоторых аспектов нестандартного анализа, также были высказаны критические замечания, например, со стороны Эрретта Бишопа, Алена Конн и П. Халмос, как описано в критике нестандартного анализа.

Логическая структура

Для любого множества S надстройка над множеством S является определенным множеством V (S). по условиям

V 0 (S) = S, {\ displaystyle V_ {0} (S) = S,}

V_ {0} (S) = S,

V n + 1 (S) = V n (S) ∪ ℘ (V n ( S)), {\ Displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ чашка \ wp (V_ {n} (S)),}

{\ Displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ cup \ wp (V_ {n} (S)),}

V (S) = ⋃ n ∈ NV n (S). {\ displaystyle V (S) = \ bigcup _ {n \ in \ mathbf {N}} V_ {n} (S).}

V (S) = \ bigcup _ {{n \ in {\ mathbf {N}}}} V _ {{n}} (S).

Таким образом, надстройка над S получается, начиная с S и повторяя операцию присоединения набор мощности для S и объединение результирующей последовательности. Надстройка над действительными числами включает множество математических структур: например, она содержит изоморфные копии всех разделимых метрических пространств и метризуемых топологических векторных пространств. Практически вся математика, которая интересует аналитика, происходит в рамках V (R ).

Рабочий вид нестандартного анализа - это набор * R и отображение *: V (R ) → V (* R ) который удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам. Чтобы сформулировать эти принципы, мы сначала дадим несколько определений.

Формула имеет ограниченную квантификацию тогда и только тогда, когда единственные кванторы, которые встречаются в формуле, имеют ограниченный диапазон по множествам, то есть все имеют вид:

∀ x ∈ A, Φ (x, α 1,…, α n) {\ displaystyle \ forall x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

\ forall x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})

∃ x ∈ A, Φ ( x, α 1,…, α n) {\ displaystyle \ exists x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

\ существует x \ in A, \ Phi ( x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})

Например, формула

∀ x ∈ A, ∃ y ∈ 2 B, x ∈ y {\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ exists y \ in 2 ^ {B}, \ quad x \ in y}

\ forall x \ in A, \ \ exists y \ in 2 ^ {B}, \ quad x \ in y

имеет ограниченную количественную оценку, универсально определенная количественная переменная x находится в диапазоне A, экзистенциально количественно определенная переменная y пребывает в диапазоне степеней B. С другой стороны,

∀ x ∈ A, ∃ y, x ∈ y {\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ exists y, \ quad x \ in y}

\ forall x \ в A, \ \ существует y, \ quad x \ in y

не имеет ограниченной количественной оценки, поскольку количественная оценка y не ограничена.

Внутренние наборы

Набор x является внутренним тогда и только тогда, когда x является элементом * A для некоторого элемента A из V (R ). * Сам A является внутренним, если A принадлежит V (R ).

Сформулируем базовую логическую структуру нестандартного анализа:

: Отображение * является тождеством по R.
Принцип переноса: для любой формулы P (x 1,..., x n) с ограниченной количественной оценкой и со свободными переменными x 1,..., x n и для любых элементов A 1,..., A n из V (R ), имеет место следующая эквивалентность:

P (A 1,…, A n) ⟺ P (∗ A 1,…, ∗ A n) {\ displaystyle P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ iff P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})}

P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ iff P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})

Счетный насыщенность: если {A k}k ∈ N- убывающая последовательность непустых внутренних множеств, где k находится в диапазоне от натуральных чисел, то

⋂ k A k ≠ ∅ {\ displaystyle \ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ emptyset}

\ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ emptyset

Используя ультрапродукты, можно показать, что такая карта * существует. Элементы V (R ) называются стандартными. Элементы * R называются гиперреальными числами.

Первые следствия

Символ * N обозначает нестандартные натуральные числа. По принципу расширения это расширенный набор N . Набор * N− Nне пуст. Чтобы увидеть это, примените счетную насыщенность к последовательности внутренних множеств

A n = {k ∈ ∗ N: k ≥ n} {\ displaystyle A_ {n} = \ {k \ in {^ {*} \ mathbf {N}}: k \ geq n \}}

A_ { n} = \ {k \ in {^ {*} {\ mathbf {N}}}: k \ geq n \}

Последовательность {A n}n ∈ Nимеет непустое пересечение, что доказывает результат.

Начнем с некоторых определений: гиперреалы r, s бесконечно близки тогда и только тогда, когда

r ≅ s ⟺ ∀ θ ∈ R +, | г - с | ≤ θ {\ displaystyle r \ cong s \ iff \ forall \ theta \ in \ mathbf {R} ^ {+}, \ | rs | \ leq \ theta}

r \ cong s \ iff \ forall \ theta \ in {\ mathbf {R}} ^ {+}, \ | rs | \ leq \ theta

Гиперреалистическое r бесконечно мало тогда и только тогда, когда оно бесконечно близко к 0. Например, если n является гиперицелым числом, то есть элементом * N− N, то 1 / n является бесконечно малым. Гиперреальное число r ограничено (или конечно) тогда и только тогда, когда его абсолютное значение преобладает (меньше) стандартного целого числа. Ограниченные гиперреалы образуют подкольцо * R, содержащее вещественные числа. В этом кольце бесконечно малые гиперреалы являются идеалом.

Множество ограниченных гиперреалов или множество бесконечно малых гиперреалов являются внешними подмножествами V (* R ); на практике это означает, что ограниченная количественная оценка, где граница является внутренним набором, никогда не распространяется на эти наборы.

Пример : Плоскость (x, y) с координатами x и y в пределах * R является внутренней и является моделью плоской евклидовой геометрии. Плоскость с x и y, ограниченными ограниченными значениями (аналогично плоскости Дена ), является внешней, и в этой ограниченной плоскости постулат параллельности нарушается. Например, любая линия, проходящая через точку (0, 1) на оси y и имеющая бесконечно малый наклон, параллельна оси x.

Теорема. Для любого ограниченного гиперреального числа r существует единственное стандартное вещественное число, обозначаемое st (r), бесконечно близкое к r. Отображение st является кольцевым гомоморфизмом кольца ограниченных гиперреалов в R.

Отображение st также является внешним.

Один из способов мышления стандартной части гиперреального - это сокращений Дедекинда ; любое ограниченное гиперреальное число s определяет разрез, рассматривая пару множеств (L, U), где L - набор стандартных рациональных чисел a меньше s, а U - набор стандартных рациональных чисел b больше s. Видно, что действительное число, соответствующее (L, U), удовлетворяет условию того, что оно является стандартной частью s.

Одна интуитивная характеристика непрерывности выглядит следующим образом:

Теорема. Действительнозначная функция f на интервале [a, b] непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого гиперреального x в интервале * [a, b], имеем: * f (x) ≅ * f (st (x)).

(подробнее см. микропрерывность ). Аналогично,

Теорема. Действительнозначная функция f дифференцируема при действительном значении x тогда и только тогда, когда для каждого бесконечно малого гиперреалистического числа h значение

f ′ (x) = st ⁡ (∗ f (х + час) - * е (х) час) {\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {{^ {*} f} (x + h) - {^ { *} f} (x)} {h}} \ right)}

f'(x)=\operatorname {st}\left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)

существует и не зависит от h. В этом случае f ′ (x) является действительным числом и является производной f в точке x.

κ-насыщенность

Возможно «улучшить» насыщенность, разрешив пересечение коллекций с более высокой мощностью. Модель является κ- насыщенной, если каждый раз, когда ${A i} i ∈ I {\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ in I}}$ $\ {A_i \} _ {i \ in I}$ является набор внутренних множеств со свойством конечного пересечения и $| Я | ≤ κ {\ displaystyle | I | \ leq \ kappa}$ $| I | \ leq \ kappa$ ,

⋂ i ∈ IA i ≠ ∅ {\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ neq \ emptyset}

\ bigcap _ {{i \ in I}} A_ {i} \ neq \ emptyset

Это полезно, например, в топологическом пространстве X, где нам может потребоваться | 2 | -насыщение, чтобы гарантировать, что пересечение стандартной базы окрестности непусто.

Для любого кардинального κ, a κ -насыщенное расширение может быть построено.

См. также

Дополнительная литература

E. Э. Розингер, [математика / 0407178]. Краткое введение в нестандартный анализ. arxiv.org.

Ссылки

Библиография

Внешние ссылки

Призраки ушедших величин Линдси Киган.