Функция с действительным знаком

Математическая функция, которая принимает действительные значения Масса, измеренная в граммах, является функцией от этого набора веса до положительных действительных чисел. Термин «весовая функция », являющийся намеком на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

В математике вещественная функция является функцией , значения которого являются действительными числами. Другими словами, это функция, которая присваивает действительное число каждому члену своей области.

Действительные функции действительной переменной (обычно называемые действительными функциями ) и действительные функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем смысле, реального анализа. В частности, многие функциональные пространства состоят из функций с действительными значениями.

• 1 Алгебраическая структура
• 2 Измеримый
• 3 Непрерывный
• 4 Гладкий
• 5 Появления в теории меры
• 6 Другие проявления
• 7 См. Также
• 8 Сноски
• 9 Внешние ссылки

Пусть $F\; (X,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X,\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\})\}$будет набором всех функций из установить X в действительные числа $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Поскольку $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является полем, $F\; (X,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (\; X,\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\})\}$можно преобразовать в векторное пространство и коммутативную алгебру над вещественными числами с помощью следующих операций:

• $f\; +\; g:\; x\; \mapsto \; f\; (x)\; +\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; +\; g:\; x\; \backslash \; mapsto\; f\; (x)\; +\; g\; (x)\}$– сложение векторов
• $0:\; x\; \mapsto \; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{0\}:\; x\; \backslash \; mapsto\; 0\}$– аддитивная идентичность
• $cf:\; x\; \mapsto \; cf\; (x),\; c\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; cf:\; x\; \backslash \; mapsto\; cf\; (x),\; \backslash \; quad\; c\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$– скалярное умножение
• $fg:\; x\; \mapsto \; f\; (x)\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; fg:\; x\; \backslash \; mapsto\; f\; (x)\; g\; (x)\}$– точечно умножение

Эти операции распространяются на частичные функции от X до $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$с ограничением, что частичные функции f + g и fg определены, только если домены f и g имеют непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения f и g.

Кроме того, поскольку $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является упорядоченным набором, существует частичный порядок

• $f\; \le \; g\; ⟺\; \forall \; x\; :\; е\; (Икс)\; \le \; г\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; F\; \backslash \; Leq\; г\; \backslash \; четырехъядерный\; \backslash \; iff\; \backslash \; четырехъядерный\; \backslash \; forall\; x:\; f\; (x)\; \backslash \; Leq\; g\; (x),\}$

на $F\; (\; X,\; R),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X,\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}),\}$, что делает $F\; (X,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X,\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\})\}$a частично упорядоченное кольцо.

σ-алгебра борелевских множеств - важная структура действительных чисел. Если X имеет свою σ-алгебру и функция f такова, что прообраз f (B) любого борелевского множества B принадлежит этой σ-алгебре, то f называется измеримой. Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше.

Более того, набор (семейство) вещественнозначных функций на X может фактически определять σ-алгебру на X, порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств. (или только интервалов, это не важно). Так возникают σ-алгебры в (Колмогорова ) теории вероятностей, где действительные функции на пространстве выборок Ω являются вещественными случайные величины.

Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (из которых следует, что X является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема экстремального значения утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компактном пространстве существуют ее глобальный максимум и минимум.

Сама концепция метрического пространства определяется с помощью действительной функции двух переменных, метрики, которая является непрерывной. Особое значение имеет пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве. Сходящиеся последовательности также могут рассматриваться как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше, и являются подклассом измеримых функций, потому что любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытые (или закрытые) множества.

Действительные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область реальной гладкой функции может быть реальным координатным пространством (которое дает действительную функцию многих переменных ), топологическим векторным пространством, открытым их подмножество или гладкое многообразие.

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено выше, и являются подклассом непрерывных функций.

A мера на множестве является неотрицательным вещественным функционалом на σ-алгебре подмножеств. L пространств на множествах с мерой определены из вышеупомянутых измеримых функций с действительным знаком, хотя на самом деле они являются факторпространствами. Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая соответствующему условию суммируемости , определяет элемент пространства L, в противоположном направлении для любых f ∈ L (X) и x ∈ X, не являющихся атомом , значение f (x) равно undefined. Тем не менее, вещественные L-пространства все еще имеют некоторую структуру, изложенную в выше. Каждое из L пространств является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p, а именно

$\cdot :\; L\; 1\; /\; \alpha \; \times \; L\; 1\; /\; \beta \; \to \; L\; 1\; /\; (\alpha \; +\; \beta ),\; 0\; \le \; \alpha ,\; \beta \; \le \; 1,\; \alpha \; +\; \beta \; \le \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot:\; L\; ^\; \{1\; /\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; times\; L\; ^\; \{1\; /\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; к\; L\; ^\; \{1\; /\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\},\; \backslash \; quad\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; leq\; 1,\; \backslash \; quad\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; leq\; 1.\}$

Например, поточечное произведение двух L функций принадлежит L.

Другие контексты, в которых используются функции с действительным знаком и их специальные свойства, включают монотонные функции (в упорядоченных наборах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно от одной или нескольких действительных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях ) и многочлены (от одного или нескольких действительных переменные).

• Реальный анализ
• Уравнения с частными производными, основной пользователь функций с действительным знаком
• Норма (математика)
• Скаляр (математика)

Вайсштейн, Эрик У. «Реальная функция». MathWorld.