Теорема об экстремальных значениях

Непрерывная вещественная функция на отрезке имеет максимум и минимум Непрерывная функция $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$на закрытом интервале $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, показывающий абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий).

В исчислении, теорема об экстремальных значениях утверждает, что если действительная функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным на закрытом интервале $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$должен достигать максимума и минимума, каждый по крайней мере один раз. То есть существуют числа $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$и $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\; a,\; b]\}$такие, что:

$f\; (c)\; \ge \; f\; (x)\; \ge \; f\; (d)\; \forall \; x\; \in \; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (c)\; \backslash \; geq\; f\; (\; x)\; \backslash \; geq\; f\; (d)\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; [a,\; b]\}$

Связанная теорема - теорема об ограниченности, которая утверждает, что непрерывная функция f на отрезке [a, b] является ограниченным на этом интервале. То есть существуют действительные числа m и M такие, что:

Теорема об экстремальном значении обогащает теорему об ограниченности, утверждая, что не только функция ограничена, но также достигает своей наименьшей верхней границы как своего максимума и своей максимальной нижней границы как минимум.

Теорема об экстремальных значениях используется для доказательства теоремы Ролля. В формулировке из Карла Вейерштрасса эта теорема утверждает, что непрерывная функция из непустого компактного пространства в подмножество из действительных чисел достигает максимума и минимума.

• 1 История
• 2 Функции, к которым теорема неприменима
• 3 Обобщение на метрические и топологические пространства
• 4 Доказательство теорем
  • 4.1 Доказательство теоремы об ограниченности
  • 4.2 Альтернативное доказательство
  • 4.3 Доказательство теоремы об экстремальном значении
  • 4.4 Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении
  • 4.5 Доказательство с использованием гиперреалов
  • 4.6 Доказательство из первых принципов
• 5 Расширение на полунепрерывные функции
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Теорема об экстремальных значениях была первоначально доказана Бернардом Больцано в 1830-х годах в работе Function Теория, но работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на отрезке ограничена, а затем показать, что функция достигает максимального и минимального значений. Оба доказательства использовали то, что сегодня известно как теорема Больцано – Вейерштрасса. Результат был также обнаружен позже Вейерштрассом в 1860 году.

Следующие примеры показывают, почему область функций должна быть замкнута и ограничена, чтобы теорема была применять. Каждому не удается достичь максимума на заданном интервале.

1. $f\; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\}$определено на $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$не ограничен сверху.
2. $f\; (x)\; =\; x\; 1\; +\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1\; +\; x\}\}\}$определено более $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$ограничен, но не достигает своей наименьшей верхней границы $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$.
3. $f\; (x)\; =\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$определено на $(0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,1]\}$не ограничен сверху.
4. $f\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 1-x\}$определено над $(0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; 0,1]\}$ограничен, но никогда не достигает своей наименьшей верхней границы $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$.

Определение $f\; (0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (0)\; =\; 0\}$в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$.

При переходе от реальной линии $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}$на метрические пространства и общие топологические пространства, подходящим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компакт. Набор $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$называется компактным, если он имеет следующее свойство: из каждой коллекции открытых наборов $U\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{\backslash \; alpha\}\}$такой, что $\bigcup \; U\; \alpha \; \supset \; K\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; bigcup\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; supset\; K\}$, конечная подколлекция $U\; \alpha \; 1,\dots ,\; U\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; ldots,\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\}$можно выбрать так, что $\bigcup \; i\; =\; 1\; N\; U\; \alpha \; я\; \supset \; К\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; U\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; supset\; K\}$. Обычно это кратко формулируется как «каждая открытая обложка $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$имеет конечное дополнительное покрытие». Теорема Гейне – Бореля утверждает, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Гейне – Бореля, если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно.

Понятие непрерывной функции также может быть обобщено. Даны топологические пространства $V,\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; V,\; \backslash \; W\}$, функция $f:\; V\; \to \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; V\; \backslash \; to\; W\}$называется непрерывным, если для каждого открытого множества $U\; \subset \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; W\}$, $f\; -\; 1\; (U)\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (U)\; \backslash \; subset\; V\; \}$также открыт. С учетом этих определений можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность:

Теорема. Если $V,\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; V,\; \backslash \; W\}$являются топологическими пространствами, $f\; :\; V\; \to \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; V\; \backslash \; to\; W\}$- непрерывная функция, а $K\; \subset \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; V\}$- компактный, тогда $f\; (K)\; \subset \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (K)\; \backslash \; subset\; W\}$также компактно.

В частности, если $W\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, то эта теорема означает, что $f\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (K)\}$замкнут и ограничен для любого компакта $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, что, в свою очередь, означает, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$достигает своих супремум и инфимум на любом (непустом) компакте $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы об экстремальных значениях:

Теорема. Если $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- компакт и $f:\; K\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; K\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- непрерывная функция, тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено и существует $p,\; q\; \in \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; p,\; q\; \backslash \; in\; K\}$такой, что $f\; (p)\; =\; sup\; x\; \in \; K\; f\; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; f\; (p)\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{\; x\; \backslash \; in\; K\}\; f\; (x)\}$и $f\; (q)\; =\; inf\; x\; \in \; K\; f\; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; f\; (q)\; =\; \backslash \; inf\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\}\; f\; (x)\}$.

В более общем плане это также верно для полунепрерывной сверху функции. (см. компактное пространство # Функции и компактное пространство ).

Мы смотрим на доказательство для верхней границы и максимума f. Применяя эти результаты к функции –f, следует существование нижней границы и результат для минимума f. Также обратите внимание, что все в доказательстве делается в контексте вещественных чисел.

. Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы об экстремальном значении. Основные шаги, необходимые для доказательства теоремы об экстремальном значении:

1. Докажите теорему об ограниченности.
2. Найдите последовательность, чтобы ее изображение сходилось к супремуму of f.
3. Покажите, что существует подпоследовательность, которая сходится к точке в области.
4. Используйте непрерывность, чтобы показать, что изображение подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности

Утверждение Если $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$непрерывно на $[a,\; b]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$тогда он ограничен $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$

Предположим, что функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$не ограничен сверху интервалом $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$. Тогда для каждого натурального числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$существует $xn\; \in \; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; [a,\; b]\}$такой, что $f\; (xn)>n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{n\})>n\}$. Это определяет последовательность $\{xn)\; n\; \in \; N\; \backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$. Потому что $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$ограничено, то из теоремы Больцано – Вейерштрасса следует, что существует сходящаяся подпоследовательность $(xnk)\; k\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\_\; \{k\}\})\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$из $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{x\_\; \{n\}\})\}$. Обозначьте его предел $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Поскольку $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$закрыт, он содержит $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Поскольку $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно в $x\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; x\}$, мы знаем, что $f\; (xnk)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \_\; \{\{n\}\; \_\; \{k\}\})\}$сходится к действительному числу $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$(as $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно последовательно непрерывно в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$). Но $f\; (xnk)>nk\; \ge \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \_\; \{n\}\; \_\; \{k\}\})>n\_\; \{k\}\; \backslash \; geq\; k\}$для каждого $тыс.\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, что означает, что $f\; (xnk)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; \_\; \{\{n\}\; \_\; \{k\}\})\}$расходится до $+\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; infty\}$, противоречие. Следовательно, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено сверху на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\; a,\; b]\}$. $◻\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\}$

Альтернативное доказательство

Утверждение Если $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$равно непрерывно на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, тогда оно ограничено на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$

Доказательство Рассмотрим набор $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$точек $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$такой, что $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$i s ограничен $[a,\; x]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; x]\}$. Отметим, что $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$является одной из таких точек, поскольку $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$ограничено $[a,\; a]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a]\}$на значение $f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\}$. Если $e>a\; \{\backslash \; displaystyle\; e>a\}$- еще одна точка, затем все точки между $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$также принадлежат $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$. Другими словами, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это интервал, закрытый с левой стороны на $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$.

Теперь $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно справа в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, следовательно, там существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$таким образом, чтобы для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; a\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; +\; \backslash \; delta]\}$. Таким образом, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено $f\; (a)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; -1\}$и $f\; (\; а)\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; +1\}$на интервале $[a,\; a\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; +\; \backslash \; delta]\}$так что все эти точки принадлежат $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$.

До сих пор мы знаем, что $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это интервал ненулевой длины, замкнутый на левом конце $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$.

Далее, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$ограничен сверху $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Следовательно, набор $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$имеет верхнюю грань в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$; назовем его $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$. Из ненулевой длины $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$мы можем вывести, что $s>a\; \{\backslash \; displaystyle\; s>a\}$.

Предположим . Теперь $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно в $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, следовательно, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$такое, что для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[s\; -\; \delta ,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$, так что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничен этим интервалом. Но из превосходства $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$следует, что существует точка, принадлежащая $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$скажем, что больше $s\; -\; \delta \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s-\; \backslash \; delta\; /\; 2\}$. Таким образом, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничен $[a,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; e]\}$, который перекрывает $[s\; -\; \delta ,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$, так что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничен $[\; a,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$. Однако это противоречит превосходству $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$.

Следовательно, мы должны иметь $s\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; b\}$. Теперь $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно слева в $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, следовательно, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$такие, что для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[s\; -\; \delta ,\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s]\}$, так что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено на этом интервале. Но это следует из превосходства из $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, что существует точка, принадлежащая $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, например, которая больше, чем $s\; -\; \delta \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s-\; \backslash \; delta\; /\; 2\}$. Таким образом, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено $[a,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; e]\}$, который перекрывает $[s\; -\; \delta ,\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s]\}$так что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено на $[a,\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; s]\}$. ∎

Доказательство теоремы об экстремальном значении

По теореме об ограниченности f ограничено выше, следовательно, в силу дедекиндовской полноты действительных чисел, существует точная верхняя граница (супремум) M для f. Необходимо найти точку d в [a, b] такую, что M = f (d). Пусть n - натуральное число. Поскольку M является точной верхней границей, M - 1 / n не является верхней границей для f. Следовательно, существует d n в [a, b], так что M - 1 / n < f(dn). Это определяет последовательность {d n }. Поскольку M является верхней границей для f, мы имеем M - 1 / n < f(dn) ≤ M для всех n. Следовательно, последовательность {f (d n)} сходится к M.

Теорема Больцано – Вейерштрасса говорит нам, что существует подпоследовательность {$dnk\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\_\; \{k\}\}\}$}, который сходится к некоторому d, и, поскольку [a, b] замкнут, d находится в [a, b]. Поскольку f непрерывна в d, последовательность {f ($d\; n\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{n\_\; \{k\}\}\}$)} сходится к f (d). Но {f (d nk)} является подпоследовательностью {f (d n)}, которая сходится к M, поэтому M = f (d). Следовательно, f достигает своего супремума M в точке d. ∎

Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении

Множество {y ∈ R : y = f (x) для некоторого x ∈ [a, b]} является ограниченным множеством. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует посредством свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Пусть M = sup (f (x)) на [a, b]. Если на [a, b] нет точки x, так что f (x) = M, то f (x) < M on [a, b]. Therefore, 1/(M − f(x)) is continuous on [a, b].

Однако для каждого положительного числа ε всегда существует некоторый x в [a, b] такой, что M - f (x) < ε because M is the least upper bound. Hence, 1/(M − f(x))>1 / ε, что означает, что 1 / (M - f (x)) не ограничено. Поскольку каждая непрерывная функция на a [a, b] ограничена, это противоречит заключению, что 1 / (M - f (x)) была непрерывна на [a, b]. Следовательно, в [a, b] должна быть точка x такая, что f (x) = M. ∎

Доказательство с использованием гиперреалов

В настройке нестандартного исчисления, пусть N - бесконечное гиперинтегральное число. Интервал [0, 1] имеет естественное гиперреальное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подынтервалов равной бесконечно малой длины 1 / N, с точками разбиения x i = i / N, когда i "пробегает" от 0 до N. естественным образом расширяется до функции ƒ *, определенной на гиперреалах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартной настройке (когда N конечно), точка с максимальным значением всегда может быть выбрана среди N + 1 точек x i, по индукции. Следовательно, по принципу передачи существует гиперинтегральное число i 0 такое, что 0 ≤ i 0 ≤ N и $f\; \ast \; (xi\; 0)\; \ge \; f\; *\; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\})\; \backslash \; geq\; f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\})\}$для всех i = 0,…, N. Рассмотрим действительную точку

$c\; =\; st\; (xi\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \backslash \; mathbf\; \{st\}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\})\}$

, где st - это стандартная функция детали. Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подинтервале разбиения, а именно $x\; \in \; [xi,\; xi\; +\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [x\_\; \{i\},\; x\_\; \{i\; +\; 1\}]\}$, так что st(xi) = x. Применяя st к неравенству $f\; \ast \; (xi\; 0)\; \ge \; f\; \ast \; (xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\})\; \backslash \; geq\; f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\})\}$, получаем $st\; (f\; \ast \; (xi\; 0))\; \ge \; st\; (f\; \ast \; (xi))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{st\}\; (f\; ^\; \{*\; \}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\}))\; \backslash \; geq\; \backslash \; mathbf\; \{st\}\; (f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\}))\}$. По непрерывности ƒ мы имеем

$st\; (f\; *\; (xi\; 0))\; =\; f\; (st\; (xi\; 0))\; =\; f\; (c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{st\}\; (f\; ^\; \{*\}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\}))\; =\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{st\}\; (x\_\; \{i\_\; \{0\}\}))\; =\; f\; (c)\}$.

Следовательно, ƒ (c) ≥ ƒ (x) для всех действительных x, доказывая c должно быть не более ƒ.

Доказательство из первых принципов

Утверждение Если $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$непрерывно $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$тогда он достигает своей верхней грани на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$

Доказательство По теореме об ограниченности $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$ограничено сверху на $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$и по свойству полноты действительных чисел имеет верхнюю грань в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$. Назовем его $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$или $M\; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; [a,\; b]\}$. Понятно, что ограничение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на подынтервал $[a,\; x]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; x]\}$где $x\; \le \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; b\}$имеет верхнюю грань $M\; [a,\; x]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; [a,\; x]\}$которая меньше чем или равно $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, и что $M\; [a,\; x]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; [a,\; x]\}$увеличивается с $е\; (а)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\}$до $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$как $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$увеличивается с $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$до $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$.

Если $f\; (a)\; =\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; M\}$, тогда мы закончили. Поэтому предположим, что и пусть $d\; =\; M\; -\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; M-f\; (a)\}$. Рассмотрим набор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$точек $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$такие, что .

Очевидно, $a\; \in \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; L\}$; кроме того, если $e>a\; \{\backslash \; displaystyle\; e>a\}$- это еще одна точка в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, затем все точки между $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$также принадлежат к $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, потому что $M\; [a,\; x]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; [a,\; x]\}$монотонно возрастает. Следовательно, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- непустой интервал, закрытый на левом конце $a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\}$.

Теперь $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно справа в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, следовательно, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$таким образом, чтобы для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; a\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; +\; \backslash \; delta]\}$. Таким образом, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$меньше $M\; -\; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Md\; /\; 2\}$на интервале $[a,\; a\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; +\; \backslash \; delta]\}$, так что все эти точки принадлежат $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$.

Далее, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$ограничен сверху $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и, следовательно, имеет верхнюю грань в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$: назовем его $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$. Из вышесказанного видно, что $s>a\; \{\backslash \; displaystyle\; s>a\}$. Мы покажем, что $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- это точка, которую мы ищем, т.е. точка, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$достигает вершины, или, другими словами, $f\; (s)\; =\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (s)\; =\; M\}$.

Предположим противное, а именно . Пусть $d\; =\; M\; -\; f\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; Mf\; (s)\}$и рассмотрим следующие два случая:

(1) . Поскольку $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является непрерывным в $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$таким образом, чтобы для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[s\; -\; \delta ,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$. Это означает, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$меньше $M\; -\; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Md\; /\; 2\}$на интервале $[s\; -\; \delta ,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$. Но из превосходства $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$следует, что существует точка, $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, скажем, принадлежащая $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, который больше $s\; -\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; s-\; \backslash \; delta\}$. По определению $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, . Пусть $d\; 1\; =\; M\; -\; M\; [a,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; MM\; [a,\; e]\}$, тогда для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; e]\}$, $f\; (x)\; \le \; M\; -\; d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; leq\; M-d\_\; \{1\}\}$. Принимая $d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{2\}\}$как минимум $d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; /\; 2\}$и $d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\}$, мы имеем $f\; (x)\; \le \; M\; -\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; leq\; M-d\_\; \{2\}\}$для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; s\; +\; \delta ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; s\; +\; \backslash \; delta]\}$.

Следовательно, так, чтобы $s\; +\; \delta \; \in \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; in\; L\}$. Однако это противоречит превосходству $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$и завершает доказательство.

(2) $s\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; b\}$. Поскольку $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывно слева в $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, существует $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$такие, что для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[s\; -\; \delta ,\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s]\}$. Это означает, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$меньше $M\; -\; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Md\; /\; 2\}$на интервале $[s\; -\; \delta ,\; s]\; \{\backslash \; displaystyle\; [s-\; \backslash \; delta,\; s]\}$. Но это следует из превосходство $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, что существует точка, $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, скажем, принадлежащая $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \}$который больше чем $s\; -\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; s-\; \backslash \; delta\}$. По определению $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, . Пусть $d\; 1\; =\; M\; -\; M\; [a,\; e]\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; =\; MM\; [a,\; e]\}$, затем для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; е]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; e]\}$, $е\; (х)\; \le \; M\; -\; d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; leq\; M-d\_\; \{1\}\}$. Принимая $d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{2\}\}$как минимум $d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; /\; 2\}$и $d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\}$, мы имеем $f\; (x)\; \le \; M\; -\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; leq\; M-d\_\; \{2\}\}$для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$. Это противоречит превосходству $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и завершает доказательство. ∎

Если непрерывность функции f ослаблена до полунепрерывности, то соответствующая половина теоремы об ограниченности и теорема о крайнем значении верны и значения –∞ или + ∞, соответственно, из строки расширенных вещественных чисел могут быть разрешены как возможные значения. Точнее:

Теорема: Если функция f: [a, b] → [–∞, ∞) полунепрерывна сверху, то есть

$lim\; sup\; y\; \to \; xf\; (y)\; \le \; f\; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; \_\; \{y\; \backslash \; to\; x\}\; f\; (y)\; \backslash \; leq\; f\; (x)\}$

для всех x в [a, b], тогда f ограничено сверху и достигает своей верхней грани.

Доказательство: если f (x) = –∞ для всех x в [a, b], то супремум также равен –∞ и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство представляет собой небольшую модификацию приведенных выше доказательств. В доказательстве теоремы об ограниченности верхняя полунепрерывность функции f в точке x означает только то, что верхний предел подпоследовательности {f (x nk)} ограничен сверху значением f (x) < ∞, but that is enough to obtain the contradiction. In the proof of the extreme value theorem, upper semi-continuity of f at d implies that the limit superior of the subsequence {f(dnk)} ограничено сверху функцией f (d), но этого достаточно, чтобы заключить, что f (d) = M. ∎

Применение этого результата к −f доказывает:

Теорема: Если функция f: [a, b] → (–∞, ∞] полунепрерывно снизу, что означает, что

$lim\; inf\; y\; \to \; xf\; (y)\; \ge \; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; \_\; \{y\; \backslash \; to\; x\}\; f\; (\; y)\; \backslash \; geq\; f\; (x)\}$

для всех x в [a, b], тогда f ограничена снизу и достигает своей инфимума.

Действительнозначная функция является верхней и нижней полу- непрерывна, если и только если она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, из этих двух теорем следует теорема об ограниченности и теорема об экстремальном значении.

• Адамс, Роберт А. (1995). Calculus: A Complete Course. Reading: Addison-Wesley, pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Морри, CB (1977). "Th e Теоремы об ограниченности и предельном значении ». Первый курс реального анализа. Нью-Йорк: Спрингер. С. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

• Доказательство теоремы об экстремальных значениях в срезание узла
• «Теорема об ограниченности». PlanetMath.
• "Теорема об экстремальном значении". PlanetMath.
• Теорема об экстремальном значении от Жаклин Вандзура с дополнительными вкладами Стивена Вандзуры, Демонстрационный проект Wolfram.
• Вайсштейн, Эрик У. «Теорема об экстремальном значении». MathWorld.
• Система Mizar доказательство: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15