Метрика (математика)

редактировать
Не путать с Мера (математика). Иллюстрация сравнения метрики такси с евклидовой метрикой на плоскости: в соответствии с метрикой такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12). Согласно евклидовой метрике, зеленый путь имеет длину и является уникальным кратчайшим путем. 6 2 8,49 {\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ приблизительно 8,49}

В математике, А метрика или функция расстояния является функцией, которая дает расстояние между каждой парой точечных элементов набора. Множество с метрикой называется метрическим пространством. Метрика индуцирует топологию на множестве, но не все топологии могут быть сгенерированы метрикой. Топологическое пространство, топология может быть описана метрикой называется метризуемым.

Одним из важных источников метрик в дифференциальной геометрии являются метрическими тензорами, билинейные формами, которые могут быть определены из касательных векторов одного дифференцируемого многообразия на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых посредством интегрирования и, таким образом, определяет метрику.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Примечания
  • 3 Примеры
  • 4 Эквивалентность показателей
  • 5 Метрика, индуцированная нормой
  • 6 Метрики на мультимножествах
  • 7 Обобщенные метрики
    • 7.1 Расширенные метрики
    • 7.2 Псевдометрика
    • 7.3 Квазиметрика
    • 7.4 Метаметрики
    • 7.5 Полиметрика
    • 7.6 Преметрики
    • 7.7 Псевдоквазиметрия
    • 7.8 Расстояние Лукашика-Кармовского
    • 7.9 Важные случаи обобщенных показателей
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки

Определение

Метрика на множестве X - это функция (называемая функцией расстояния или просто расстоянием)

d : Икс × Икс [ 0 , ) , {\ displaystyle d: X \ times X \ to [0, \ infty),}

где - множество неотрицательных действительных чисел и для всех выполняются следующие три аксиомы: [ 0 , ) {\ displaystyle [0, \ infty)} Икс , у , z Икс {\ displaystyle x, y, z \ in X}

1. d ( Икс , у ) знак равно 0 Икс знак равно у {\ displaystyle d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y} идентичность неразличимых
2. d ( Икс , у ) знак равно d ( у , Икс ) {\ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)} симметрия
3. d ( Икс , у ) d ( Икс , z ) + d ( z , у ) {\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)} неравенство треугольника

Метрика (как определено) - это неотрицательная функция с действительными значениями. Это вместе с аксиомой 1 обеспечивает условие разделения, при котором различные или отдельные точки - это как раз те, которые имеют положительное расстояние между ними.

Требование иметь диапазон значений является уточняющим (но ненужным) ограничением в определении, поскольку, если бы у нас была какая-либо функция, удовлетворяющая тем же трем аксиомам, можно было бы доказать, что функция по-прежнему неотрицательна следующим образом (с использованием аксиом 1, 3 и 2 в таком порядке): d {\ displaystyle d} [ 0 , ) {\ displaystyle [0, \ infty)} d : Икс × Икс р {\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}

0 знак равно d ( Икс , Икс ) d ( Икс , у ) + d ( у , Икс ) знак равно d ( Икс , у ) + d ( Икс , у ) знак равно 2 d ( Икс , у ) {\ Displaystyle 0 = d (x, x) \ leq d (x, y) + d (y, x) = d (x, y) + d (x, y) = 2d (x, y)}что подразумевает. 0 d ( Икс , у ) {\ Displaystyle 0 \ Leq d (х, у)}

Метрика называется ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника, когда точки никогда не могут попадать «между» другими точками:

d ( Икс , у ) Максимум ( d ( Икс , z ) , d ( у , z ) ) {\ Displaystyle д (х, у) \ Leq \ макс (д (х, z), d (у, z))}

для всех Икс , у , z Икс {\ displaystyle x, y, z \ in X}

Метрика d на X называется внутренней, если любые две точки x и y в X могут быть соединены кривой с длиной, произвольно близкой к d ( x, y).

Метрика d на группе G (записанная мультипликативно) называется левоинвариантной (соответственно правоинвариантной), если мы имеем

d ( z Икс , z у ) знак равно d ( Икс , у ) {\ Displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}[соотв. ] d ( Икс z , у z ) знак равно d ( Икс , у ) {\ Displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}

для всех х, у и г в G.

Метрика на коммутативной аддитивной группе называется трансляционно-инвариантной, если для всех или эквивалентно, если для всех Каждое векторное пространство также является коммутативной аддитивной группой, а метрика на вещественном или комплексном векторном пространстве, индуцированная нормой, всегда является трансляционной. инвариантный. Метрика на вещественном или комплексном векторном пространстве индуцируется нормой тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно сдвигов и абсолютно однородна, где последнее означает, что для всех скаляров и всех, и в этом случае функция определяет норму, а каноническая метрика индуцирует по равно D {\ displaystyle D} Икс {\ displaystyle X} D ( Икс , у ) знак равно D ( Икс + z , у + z ) {\ Displaystyle D (х, y) = D (х + Z, y + z)} Икс , у , z Икс , {\ Displaystyle х, у, г \ в х,} D ( Икс , у ) знак равно D ( Икс - у , 0 ) {\ Displaystyle D (х, y) = D (ху, 0)} Икс , у Икс . {\ displaystyle x, y \ in X.} D {\ displaystyle D} Икс {\ displaystyle X} D ( s Икс , s у ) знак равно | s | D ( Икс , у ) {\ Displaystyle D (sx, sy) = | s | D (x, y)} s {\ displaystyle s} Икс , у Икс , {\ displaystyle x, y \ in X,} Икс знак равно D ( Икс , 0 ) {\ Displaystyle \ | х \ |: = D (х, 0)} Икс {\ displaystyle X} {\ displaystyle \ | \ cdot \ |} D . {\ displaystyle D.}

Примечания

Эти условия выражают интуитивные представления о концепции расстояния. Например, расстояние между отдельными точками положительно, а расстояние от x до y совпадает с расстоянием от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше, чем от x до z напрямую. Евклид в своей работе утверждал, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это линия; это было неравенство треугольника для его геометрии.

Примеры

Основная статья: Метрическое пространство § Примеры метрических пространств

Эквивалентность показателей

Для данного множества X две метрики d 1 и d 2 называются топологически эквивалентными ( равномерно эквивалентными), если тождественное отображение

идентификатор: ( X, d 1) → ( X, d 2)

является гомеоморфизмом ( равномерным изоморфизмом ).

Например, если это метрика, то и метрики эквивалентны d {\ displaystyle d} мин ( d , 1 ) {\ Displaystyle \ мин (д, 1)} d 1 + d {\ displaystyle {\ frac {d} {1 + d}}} d . {\ displaystyle d.}

Смотрите также: Метрическое пространство § Понятия эквивалентности метрического пространства

Метрика, индуцированная нормой

Нормы на векторных пространствах эквивалентны определенным метрикам, а именно однородным, трансляционно-инвариантным. Другими словами, каждая норма определяет метрику, а некоторые метрики определяют норму.

Учитывая нормированное векторное пространство, мы можем определить метрику на который называется метрика, индуцированной или просто норма индуцированной метрики, по ( Икс , ) {\ Displaystyle (Х, \ | \ cdot \ |)} d {\ displaystyle d} Икс , {\ displaystyle X,} {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}

d ( Икс , у ) знак равно Икс - у . {\ Displaystyle d (х, y): = \ | ху \ |.}

Говорят, что метрика индуцирована нормой d {\ displaystyle d} . {\ Displaystyle \ | \ cdot \ |.}

Наоборот, если метрика в векторном пространстве удовлетворяет свойствам d {\ displaystyle d} Икс {\ displaystyle X}

  • Перевод инвариантность: ; d ( Икс , у ) знак равно d ( Икс + а , у + а ) {\ Displaystyle д (х, у) = д (х + а, у + а)}
  • Абсолютная однородность : ; d ( α Икс , α у ) знак равно | α | d ( Икс , у ) {\ Displaystyle d (\ альфа х, \ альфа у) = | \ альфа | d (х, у)}

тогда норма на может быть определена Икс {\ displaystyle X}

Икс знак равно d ( Икс , 0 ) {\ Displaystyle \ | х \ |: = d (х, 0)}

где метрика, индуцированная этой нормой, является исходной данной метрикой d . {\ displaystyle d.}

Точно так же полунорма индуцирует псевдометрику (см. Ниже), а однородная псевдометрика, инвариантная относительно сдвигов, индуцирует полунорму.

Метрики на мультимножествах

Мы можем обобщить понятие метрики от расстояния между двумя элементами до расстояния между двумя непустыми конечными мультимножествами элементов. Мультимножество представляет собой обобщение понятия множества таким образом, что элемент может происходить больше одного раз. Определите, является ли мультимножество, состоящим из элементов мультимножества, и, то есть, если оно встречается один раз и один раз, то оно встречается дважды. Функция расстояния на множестве непустых конечных мультимножеств является метрикой, если Z знак равно Икс Y {\ Displaystyle Z = XY} Z {\ displaystyle Z} Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} Икс {\ displaystyle x} Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} Z {\ displaystyle Z} d {\ displaystyle d}

  1. d ( Икс ) знак равно 0 {\ displaystyle d (X) = 0}если все элементы равны, и в противном случае ( положительная определенность ), то есть ( неотрицательность плюс идентичность неразличимых ) Икс {\ displaystyle X} d ( Икс ) gt; 0 {\ displaystyle d (X)gt; 0}
  2. d ( Икс ) {\ displaystyle d (X)}инвариантен относительно всех перестановок ( симметрии ) Икс {\ displaystyle X}
  3. d ( Икс Y ) d ( Икс Z ) + d ( Z Y ) {\ Displaystyle d (XY) \ Leq d (XZ) + d (ZY)}( неравенство треугольника )

Обратите внимание, что знакомая метрика между двумя элементами получается, если мультимножество имеет два элемента в 1 и 2, а мультимножества имеют по одному элементу каждый в 3. Например, если состоит из двух вхождений, то согласно 1. Икс {\ displaystyle X} Икс , Y , Z {\ displaystyle X, Y, Z} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle x} d ( Икс ) знак равно 0 {\ displaystyle d (X) = 0}

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с. Более сложные примеры - информационное расстояние в мультимножествах; и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультимножествах. Икс {\ displaystyle X} d ( Икс ) знак равно Максимум { Икс : Икс Икс } - мин { Икс : Икс Икс } {\ displaystyle d (X) = \ max \ {x: x \ in X \} - \ min \ {x: x \ in X \}}

Обобщенные метрики

Существует множество способов ослабить аксиомы метрики, что приведет к появлению различных понятий обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрика часто происходит от полунорм на векторных пространствах, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию этого термина в топологии.

Расширенные метрики

Некоторые авторы позволяют функции расстояния d достигать значения ∞, то есть расстояния - это неотрицательные числа на расширенной действительной числовой прямой. Такая функция называется расширенной метрикой или «∞-метрикой». Каждую расширенную метрику можно преобразовать в конечную метрику, так что метрические пространства эквивалентны в том, что касается понятий топологии (таких как непрерывность или сходимость ). Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например, d ′ ( x, y) = d ( x, y) / (1 + d ( x, y)) или d ″ ( x, y).) = min (1, d ( x, y)).

Требование, чтобы метрика принимала значения в [0, ∞), можно даже ослабить, чтобы рассматривать метрики со значениями в других направленных наборах. Переформулировка аксиом в этом случае приводит к построению однородных пространств : топологических пространств с абстрактной структурой, позволяющих сравнивать локальные топологии разных точек.

Псевдометрика

Основная статья: Псевдометрическое пространство

Псевдометрика на X является функцией, которая удовлетворяет аксиомам метрики, за исключением того, что вместо второго (тождество неразличимых) только d ( х, х) = 0 для всех х требуется. Другими словами, аксиомы псевдометрии таковы: d : Икс × Икс р {\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}

  1. д ( х, у) ≥ 0
  2. d ( x, x) = 0 (но, возможно, d ( x, y) = 0 для некоторых различных значений x ≠ y.)
  3. д ( х, у) = д ( у, х)
  4. d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

В некоторых контекстах псевдометрики называют полуметриками из-за их связи с полунормами.

Квазиметрики

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, за исключением, возможно, симметрии. Название этого обобщения не совсем стандартизировано.

  1. d ( x, y) ≥ 0 ( положительность)
  2. d ( x, y) = 0 тогда и только тогда, когда   x = y ( положительная определенность)
  3. д ( х, у) = д ( у, х)( симметрия, отброшена)
  4. d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z) ( неравенство треугольника)

Квазиметрика - обычное дело в реальной жизни. Например, учитывая набор X горных деревень, типичное время ходьбы между элементами X формирует квазиметрическое значение, потому что путешествие вверх по холму занимает больше времени, чем путешествие вниз по склону. Другой примером является таксомотор геометрии топологии, имеющая одну стороны улицы, где путь от точки А до точки Б содержит различный набор улиц, чем путь от B к A.

Квазиметрику вещественных чисел можно определить, задав

d ( x, y) = x - y, если x ≥ y, и
d ( x, y) = 1 в противном случае. 1 можно заменить на бесконечность или на. 1 + 10 ( у - Икс ) {\ displaystyle 1 + 10 ^ {(yx)}}

Топологическое пространство, лежащее в основе этого квазиметрического пространства, - это линия Зоргенфрея. Это место описывает процесс опиливания металлической палочки: ее легко уменьшить, но сложно или невозможно вырастить.

Если d - квазиметрика на X, метрика d ' на X может быть образована, взяв

d ' ( х, у) = 1/2( д ( х, у) + д ( у, х)).

Метаметрики

В метаметрике выполняются все аксиомы метрики, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики:

  1. д ( х, у) ≥ 0
  2. d ( x, y) = 0 означает x = y (но не наоборот).
  3. д ( х, у) = д ( у, х)
  4. d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

Метаметрики возникают при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальное metametric на такое пространстве удовлетворяет условию d ( х, х) = 0 для точек х на границе, но в противном случае d ( х, х) составляет приблизительно расстояние от й до границы. Метаметрики впервые были определены Юсси Вяйсяля.

Полиметрика

Полуметрика на X функция, которая удовлетворяет первые три аксиомы, но не обязательно неравенство треугольника: d : Икс × Икс р {\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}

  1. д ( х, у) ≥ 0
  2. d ( x, y) = 0 тогда и только тогда, когда   x = y
  3. д ( х, у) = д ( у, х)

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

d ( x, z) ≤ ρ ( d ( x, y) + d ( y, z))  (ρ-релаксирующее неравенство треугольника)
d ( x, z) ≤ ρ max ( d ( x, y), d ( y, z))  (ρ-инфраметрическое неравенство).

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-релаксированное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-релаксированного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полиметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называются «квазиметриками», «околометриками» или инфраметриками.

Ρ-Инфраметрические неравенства были введены для моделирования времени задержки приема-передачи в Интернете. Неравенство треугольника влечет 2-инфраметрическое неравенство, а ультраметрическое неравенство - это в точности 1-инфраметрическое неравенство.

Преметрики

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:

  1. д ( х, у) ≥ 0
  2. d ( х, х) = 0

Это нестандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений показателей, таких как псевдосемиметрика или псевдометрика; в переводах русских книг иногда встречается как «праметрический». Преметрика, удовлетворяющая симметрии, то есть псевдосемиметрика, также называется расстоянием.

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для положительного реального г, то г -шар с центром в точке р определяется как

B r ( p) = { x | d ( x, p) lt;r}.

Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r- шар с центром в p, который содержится в множестве. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически секвенциальным пространством. Вообще говоря, сами r- шары не обязательно должны быть открытыми множествами по отношению к этой топологии. Что касается показателей, расстояние между двумя наборами A и B определяется как

д (, B) = инф х ε, у ε В д ( х, у).

Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополеметрического) пространства, мы получим псевдосемиметрику, то есть симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к следующему оператору предварительного закрытия cl:

cl ( A) = { x | d ( x, A) = 0}.

Псевдоквазиметрия

Префиксы псевдо-, квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрический (иногда называемый гемиметрическим) ослабляет аксиому неразличимости и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r- шары составляют основу открытых множеств. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства - это множество {0,1} с преметрикой, заданной формулами d (0,1) = 1 и d (1,0) = 0. Соответствующее топологическое пространство - это пространство Серпинского.

Множества, снабженные расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщенные метрические пространства». С категориальной точки зрения, расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства, вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями, являются лучшими из категорий метрических пространств. Можно брать произвольные продукты и сопродукты и формировать частные объекты в рамках данной категории. Если отказаться от «расширенного», можно будет брать только конечные продукты и сопродукции. Если отбросить «псевдо», нельзя брать частные. Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, которое поддерживает эти хорошие категориальные свойства.

Расстояние Лукашика-Кармовского

Расстояние Лукашика-Кармовского - это функция, определяющая расстояние между двумя случайными величинами или двумя случайными векторами. Аксиомы этой функции:

  1. д ( х, у)gt; 0
  2. д ( х, у) = д ( у, х)
  3. d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

Эта функция расстояния удовлетворяет тождественному условию неразличимости тогда и только тогда, когда оба аргумента описываются идеализированными функциями распределения вероятностей дельта- плотности Дирака.

Важные случаи обобщенных показателей

В дифференциальной геометрии рассматривается метрический тензор, который можно рассматривать как «бесконечно малую» квадратичную метрическую функцию. Это определяется как невырожденная симметрической билинейной форма на касательном пространстве в виде коллектора с соответствующей дифференцируемостью требованием. Хотя это не метрические функции, как определено в этой статье, они индуцируют то, что называется псевдополиметрической функцией, путем интегрирования ее квадратного корня по пути через многообразие. Если на метрический тензор накладывается требование положительной определенности скалярного произведения, это ограничивается случаем риманова многообразия, и интегрирование по путям дает метрику.

В общей теории относительности соответствующее понятие - это метрический тензор (общая теория относительности), который выражает структуру псевдориманова многообразия. Хотя используется термин «метрика», основная идея отличается, потому что в касательном пространстве этих многообразий есть ненулевые нулевые векторы, и векторы могут иметь отрицательные квадраты нормы. Этот обобщенный взгляд на «метрики», в котором нулевое расстояние не означает идентичности, проник и в некоторые математические сочинения:

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Последняя правка сделана 2024-01-02 08:47:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте