Метрика (математика)

редактировать

Иллюстрация сравнения метрики такси с евклидовой метрикой на плоскости: в соответствии с метрикой такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину (12). Согласно евклидовой метрике, зеленый путь имеет длину и является уникальным кратчайшим путем.

{\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} \ приблизительно 8,49}

6 {\ sqrt {2}} \ приблизительно 8,49

В математике, А метрика или функция расстояния является функцией, которая дает расстояние между каждой парой точечных элементов набора. Множество с метрикой называется метрическим пространством. Метрика индуцирует топологию на множестве, но не все топологии могут быть сгенерированы метрикой. Топологическое пространство, топология может быть описана метрикой называется метризуемым.

Одним из важных источников метрик в дифференциальной геометрии являются метрическими тензорами, билинейные формами, которые могут быть определены из касательных векторов одного дифференцируемого многообразия на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых посредством интегрирования и, таким образом, определяет метрику.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примечания
3 Примеры
4 Эквивалентность показателей
5 Метрика, индуцированная нормой
6 Метрики на мультимножествах
7 Обобщенные метрики
- 7.1 Расширенные метрики
- 7.2 Псевдометрика
- 7.3 Квазиметрика
- 7.4 Метаметрики
- 7.5 Полиметрика
- 7.6 Преметрики
- 7.7 Псевдоквазиметрия
- 7.8 Расстояние Лукашика-Кармовского
- 7.9 Важные случаи обобщенных показателей
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки

Определение

Метрика на множестве X - это функция (называемая функцией расстояния или просто расстоянием)

{\ displaystyle d: X \ times X \ to [0, \ infty),}

{\ displaystyle d: X \ times X \ to [0, \ infty),}

где - множество неотрицательных действительных чисел и для всех выполняются следующие три аксиомы: ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ ${\ displaystyle x, y, z \ in X}$ $х, у, z \ в X$

1.	${\ displaystyle d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$ ${\ displaystyle d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$	идентичность неразличимых
2.	${\ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$ ${\ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$	симметрия
3.	${\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$	неравенство треугольника

Метрика (как определено) - это неотрицательная функция с действительными значениями. Это вместе с аксиомой 1 обеспечивает условие разделения, при котором различные или отдельные точки - это как раз те, которые имеют положительное расстояние между ними.

Требование иметь диапазон значений является уточняющим (но ненужным) ограничением в определении, поскольку, если бы у нас была какая-либо функция, удовлетворяющая тем же трем аксиомам, можно было бы доказать, что функция по-прежнему неотрицательна следующим образом (с использованием аксиом 1, 3 и 2 в таком порядке): ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle 0 = d (x, x) \ leq d (x, y) + d (y, x) = d (x, y) + d (x, y) = 2d (x, y)}$ ${\ Displaystyle 0 = d (x, x) \ leq d (x, y) + d (y, x) = d (x, y) + d (x, y) = 2d (x, y)}$ что подразумевает. ${\ Displaystyle 0 \ Leq d (х, у)}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq d (х, у)}$

Метрика называется ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника, когда точки никогда не могут попадать «между» другими точками:

{\ Displaystyle д (х, у) \ Leq \ макс (д (х, z), d (у, z))}

{\ Displaystyle д (х, у) \ Leq \ макс (д (х, z), d (у, z))}

для всех ${\ displaystyle x, y, z \ in X}$ $х, у, z \ в X$

Метрика d на X называется внутренней, если любые две точки x и y в X могут быть соединены кривой с длиной, произвольно близкой к d ( x, y).

Метрика d на группе G (записанная мультипликативно) называется левоинвариантной (соответственно правоинвариантной), если мы имеем

{\ Displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}

{\ Displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}

[соотв. ]

{\ Displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}

{\ Displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}

для всех х, у и г в G.

Метрика на коммутативной аддитивной группе называется трансляционно-инвариантной, если для всех или эквивалентно, если для всех Каждое векторное пространство также является коммутативной аддитивной группой, а метрика на вещественном или комплексном векторном пространстве, индуцированная нормой, всегда является трансляционной. инвариантный. Метрика на вещественном или комплексном векторном пространстве индуцируется нормой тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно сдвигов и абсолютно однородна, где последнее означает, что для всех скаляров и всех, и в этом случае функция определяет норму, а каноническая метрика индуцирует по равно ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle D (х, y) = D (х + Z, y + z)}$ ${\ Displaystyle D (х, y) = D (х + Z, y + z)}$ ${\ Displaystyle х, у, г \ в х,}$ ${\ Displaystyle х, у, г \ в х,}$ ${\ Displaystyle D (х, y) = D (ху, 0)}$ ${\ Displaystyle D (х, y) = D (ху, 0)}$ ${\ displaystyle x, y \ in X.}$ ${\ displaystyle x, y \ in X.}$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle D (sx, sy) = | s | D (x, y)}$ ${\ Displaystyle D (sx, sy) = | s | D (x, y)}$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ${\ displaystyle x, y \ in X,}$ ${\ displaystyle x, y \ in X,}$ ${\ Displaystyle \ | х \ |: = D (х, 0)}$ ${\ Displaystyle \ | х \ |: = D (х, 0)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ ${\ displaystyle D.}$ $Д.$

Примечания

Эти условия выражают интуитивные представления о концепции расстояния. Например, расстояние между отдельными точками положительно, а расстояние от x до y совпадает с расстоянием от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше, чем от x до z напрямую. Евклид в своей работе утверждал, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это линия; это было неравенство треугольника для его геометрии.

Примеры

Основная статья: Метрическое пространство § Примеры метрических пространств

Дискретной метрики : если х = у, то d ( х, у) = 0. В противном случае, д ( х, у) = 1.
Евклидова метрика является перевод и вращение инвариантом.
Таксомотора метрика является перевод инвариантом.
В более общем смысле, любая метрика, индуцированная нормой, инвариантна относительно сдвига.
Если это последовательность из полунормов определения ( локально выпуклые ) топологические векторного пространство Е, то ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} { 1 + p_ {n} (xy)}}}$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} { 1 + p_ {n} (xy)}}}$ метрика, определяющая ту же топологию. (Можно заменить любой суммируемой последовательностью строго положительных чисел. ) ${\ textstyle {\ frac {1} {2 ^ {n}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2 ^ {n}}}}$ ${\ Displaystyle (а_ {п})}$ $(а_ {п})$
Нормированное пространство является банахово пространство, где абсолютное значение является нормой на вещественной прямой, которая индуцирует обычное евклидово топологии на определение метрики на по для всех так же, как «ы индуцированная метрика, метрика также индуцирует обычной евклидовой топологии на R. Тем не менее, не является полной метрика, потому что последовательность определяется является -Cauchy последовательности, но это не сходится к любой точке R. Как следствие, не сходящиеся, это -Cauchy последовательность не может быть последовательность Коши в (т.е. не является последовательностью Коши по норме), потому что если бы это было -Cauchy, то тот факт, что банахово пространство будет означать, что он сходится (противоречие). ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle D: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle D: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle D (х, y) = | \ arctan (x) - \ arctan (y) |}$ ${\ Displaystyle D (х, y) = | \ arctan (x) - \ arctan (y) |}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x_ {i}: = i}$ ${\ displaystyle x_ {i}: = i}$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$
Метрика графа, метрика, определяемая в терминах расстояний в определенном графе.
Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
Риманова метрика - тип метрической функции, которую можно наложить на любое дифференцируемое многообразие. Для любого такого многообразия в каждой точке p выбирается симметричная положительно определенная билинейная форма L: T p × T p → R на касательном пространстве T p в точке p, делая это плавным образом. Эта форма определяет длину любого касательного вектора v на многообразии через определение. Тогда для любого дифференцируемого пути на многообразии его длина определяется как интеграл длины касательного вектора к пути в любой точке, где интегрирование выполняется по параметру пути. Наконец, чтобы получить метрику, заданную на любой паре { x, y } точек многообразия, берется точная нижняя грань по всем путям от x до y набора длин путей. Гладкое многообразие с римановой метрикой называется римановым многообразием. ${\ textstyle \ | v \ | = {\ sqrt {L (\ mathbf {v}, \ mathbf {v})}}}$ ${\ textstyle \ | v \ | = {\ sqrt {L (\ mathbf {v}, \ mathbf {v})}}}$
Метрика Фубини-исследование на комплексном проективном пространстве. Это пример римановой метрики.
Строковые метрики, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования строки, определяют метрику над строками.
Расстояние редактирования графика определяет функцию расстояния между графиками.
Вассерстин метрика является функцией расстояния между двумя определяется вероятностных распределений.
Финслерово метрика является непрерывная неотрицательная функция F: ТМ → [0, + ∞), определенный на касательном расслоении.

Эквивалентность показателей

Для данного множества X две метрики d 1 и d 2 называются топологически эквивалентными ( равномерно эквивалентными), если тождественное отображение

идентификатор: ( X, d 1) → ( X, d 2)

является гомеоморфизмом ( равномерным изоморфизмом ).

Например, если это метрика, то и метрики эквивалентны ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ Displaystyle \ мин (д, 1)}$ $\ мин (д, 1)$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {1 + d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {1 + d}}}$ ${\ displaystyle d.}$ $d.$

Метрика, индуцированная нормой

Нормы на векторных пространствах эквивалентны определенным метрикам, а именно однородным, трансляционно-инвариантным. Другими словами, каждая норма определяет метрику, а некоторые метрики определяют норму.

Учитывая нормированное векторное пространство, мы можем определить метрику на который называется метрика, индуцированной или просто норма индуцированной метрики, по ${\ Displaystyle (Х, \ | \ cdot \ |)}$ $(Х, \ | \ cdot \ |)$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$

{\ Displaystyle d (х, y): = \ | ху \ |.}

{\ Displaystyle d (х, y): = \ | ху \ |.}

Говорят, что метрика индуцирована нормой ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |.}$ $\ | \ cdot \ |.$

Наоборот, если метрика в векторном пространстве удовлетворяет свойствам ${\ displaystyle d}$ $d$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Перевод инвариантность: ; ${\ Displaystyle д (х, у) = д (х + а, у + а)}$ $д (х, у) = д (х + а, у + а)$
Абсолютная однородность : ; ${\ Displaystyle d (\ альфа х, \ альфа у) = | \ альфа | d (х, у)}$ $d (\ alpha x, \ alpha y) = | \ alpha | д (х, у)$

тогда норма на может быть определена ${\ displaystyle X}$ $Икс$

{\ Displaystyle \ | х \ |: = d (х, 0)}

\ | x \ |: = d (х, 0)

где метрика, индуцированная этой нормой, является исходной данной метрикой ${\ displaystyle d.}$ $d.$

Точно так же полунорма индуцирует псевдометрику (см. Ниже), а однородная псевдометрика, инвариантная относительно сдвигов, индуцирует полунорму.

Метрики на мультимножествах

Мы можем обобщить понятие метрики от расстояния между двумя элементами до расстояния между двумя непустыми конечными мультимножествами элементов. Мультимножество представляет собой обобщение понятия множества таким образом, что элемент может происходить больше одного раз. Определите, является ли мультимножество, состоящим из элементов мультимножества, и, то есть, если оно встречается один раз и один раз, то оно встречается дважды. Функция расстояния на множестве непустых конечных мультимножеств является метрикой, если ${\ Displaystyle Z = XY}$ $Z = XY$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ${\ displaystyle d}$ $d$

${\ displaystyle d (X) = 0}$ $d (X) = 0$ если все элементы равны, и в противном случае ( положительная определенность ), то есть ( неотрицательность плюс идентичность неразличимых ) ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle d (X)gt; 0}$ $d (X)gt; 0$
${\ displaystyle d (X)}$ $d (X)$ инвариантен относительно всех перестановок ( симметрии ) ${\ displaystyle X}$ $Икс$
${\ Displaystyle d (XY) \ Leq d (XZ) + d (ZY)}$ $d (XY) \ leq d (XZ) + d (ZY)$ ( неравенство треугольника )

Обратите внимание, что знакомая метрика между двумя элементами получается, если мультимножество имеет два элемента в 1 и 2, а мультимножества имеют по одному элементу каждый в 3. Например, если состоит из двух вхождений, то согласно 1. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ $X, Y, Z$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle d (X) = 0}$ $d (X) = 0$

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с. Более сложные примеры - информационное расстояние в мультимножествах; и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультимножествах. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle d (X) = \ max \ {x: x \ in X \} - \ min \ {x: x \ in X \}}$ $d (X) = \ max \ {x: x \ in X \} - \ min \ {x: x \ in X \}$

Обобщенные метрики

Существует множество способов ослабить аксиомы метрики, что приведет к появлению различных понятий обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрика часто происходит от полунорм на векторных пространствах, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию этого термина в топологии.

Расширенные метрики

Некоторые авторы позволяют функции расстояния d достигать значения ∞, то есть расстояния - это неотрицательные числа на расширенной действительной числовой прямой. Такая функция называется расширенной метрикой или «∞-метрикой». Каждую расширенную метрику можно преобразовать в конечную метрику, так что метрические пространства эквивалентны в том, что касается понятий топологии (таких как непрерывность или сходимость ). Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например, d ′ ( x, y) = d ( x, y) / (1 + d ( x, y)) или d ″ ( x, y).) = min (1, d ( x, y)).

Требование, чтобы метрика принимала значения в [0, ∞), можно даже ослабить, чтобы рассматривать метрики со значениями в других направленных наборах. Переформулировка аксиом в этом случае приводит к построению однородных пространств : топологических пространств с абстрактной структурой, позволяющих сравнивать локальные топологии разных точек.

Псевдометрика

Основная статья: Псевдометрическое пространство

Псевдометрика на X является функцией, которая удовлетворяет аксиомам метрики, за исключением того, что вместо второго (тождество неразличимых) только d ( х, х) = 0 для всех х требуется. Другими словами, аксиомы псевдометрии таковы: ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$

д ( х, у) ≥ 0
d ( x, x) = 0 (но, возможно, d ( x, y) = 0 для некоторых различных значений x ≠ y.)
д ( х, у) = д ( у, х)
d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

В некоторых контекстах псевдометрики называют полуметриками из-за их связи с полунормами.

Квазиметрики

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, за исключением, возможно, симметрии. Название этого обобщения не совсем стандартизировано.

d ( x, y) ≥ 0 ( положительность)
d ( x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y ( положительная определенность)
~~д ( х, у) = д ( у, х)~~( симметрия, отброшена)
d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z) ( неравенство треугольника)

Квазиметрика - обычное дело в реальной жизни. Например, учитывая набор X горных деревень, типичное время ходьбы между элементами X формирует квазиметрическое значение, потому что путешествие вверх по холму занимает больше времени, чем путешествие вниз по склону. Другой примером является таксомотор геометрии топологии, имеющая одну стороны улицы, где путь от точки А до точки Б содержит различный набор улиц, чем путь от B к A.

Квазиметрику вещественных чисел можно определить, задав

d ( x, y) = x - y, если x ≥ y, и

d ( x, y) = 1 в противном случае. 1 можно заменить на бесконечность или на.

{\ displaystyle 1 + 10 ^ {(yx)}}

{\ displaystyle 1 + 10 ^ {(yx)}}

Топологическое пространство, лежащее в основе этого квазиметрического пространства, - это линия Зоргенфрея. Это место описывает процесс опиливания металлической палочки: ее легко уменьшить, но сложно или невозможно вырастить.

Если d - квазиметрика на X, метрика d ' на X может быть образована, взяв

d ' ( х, у) = 1/2( д ( х, у) + д ( у, х)).

Метаметрики

В метаметрике выполняются все аксиомы метрики, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики:

д ( х, у) ≥ 0
d ( x, y) = 0 означает x = y (но не наоборот).
д ( х, у) = д ( у, х)
d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

Метаметрики возникают при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальное metametric на такое пространстве удовлетворяет условию d ( х, х) = 0 для точек х на границе, но в противном случае d ( х, х) составляет приблизительно расстояние от й до границы. Метаметрики впервые были определены Юсси Вяйсяля.

Полиметрика

Полуметрика на X функция, которая удовлетворяет первые три аксиомы, но не обязательно неравенство треугольника: ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$

д ( х, у) ≥ 0
d ( x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y
д ( х, у) = д ( у, х)

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

d ( x, z) ≤ ρ ( d ( x, y) + d ( y, z)) (ρ-релаксирующее неравенство треугольника)

d ( x, z) ≤ ρ max ( d ( x, y), d ( y, z)) (ρ-инфраметрическое неравенство).

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-релаксированное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-релаксированного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полиметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называются «квазиметриками», «околометриками» или инфраметриками.

Ρ-Инфраметрические неравенства были введены для моделирования времени задержки приема-передачи в Интернете. Неравенство треугольника влечет 2-инфраметрическое неравенство, а ультраметрическое неравенство - это в точности 1-инфраметрическое неравенство.

Преметрики

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:

д ( х, у) ≥ 0
d ( х, х) = 0

Это нестандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений показателей, таких как псевдосемиметрика или псевдометрика; в переводах русских книг иногда встречается как «праметрический». Преметрика, удовлетворяющая симметрии, то есть псевдосемиметрика, также называется расстоянием.

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для положительного реального г, то г -шар с центром в точке р определяется как

B r ( p) = { x | d ( x, p) lt;r}.

Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r- шар с центром в p, который содержится в множестве. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически секвенциальным пространством. Вообще говоря, сами r- шары не обязательно должны быть открытыми множествами по отношению к этой топологии. Что касается показателей, расстояние между двумя наборами A и B определяется как

д (, B) = инф х ε, у ε В д ( х, у).

Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополеметрического) пространства, мы получим псевдосемиметрику, то есть симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к следующему оператору предварительного закрытия cl:

cl ( A) = { x | d ( x, A) = 0}.

Псевдоквазиметрия

Префиксы псевдо-, квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрический (иногда называемый гемиметрическим) ослабляет аксиому неразличимости и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r- шары составляют основу открытых множеств. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства - это множество {0,1} с преметрикой, заданной формулами d (0,1) = 1 и d (1,0) = 0. Соответствующее топологическое пространство - это пространство Серпинского.

Множества, снабженные расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщенные метрические пространства». С категориальной точки зрения, расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства, вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями, являются лучшими из категорий метрических пространств. Можно брать произвольные продукты и сопродукты и формировать частные объекты в рамках данной категории. Если отказаться от «расширенного», можно будет брать только конечные продукты и сопродукции. Если отбросить «псевдо», нельзя брать частные. Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, которое поддерживает эти хорошие категориальные свойства.

Расстояние Лукашика-Кармовского

Расстояние Лукашика-Кармовского - это функция, определяющая расстояние между двумя случайными величинами или двумя случайными векторами. Аксиомы этой функции:

д ( х, у)gt; 0
д ( х, у) = д ( у, х)
d ( x, z) ≤ d ( x, y) + d ( y, z).

Эта функция расстояния удовлетворяет тождественному условию неразличимости тогда и только тогда, когда оба аргумента описываются идеализированными функциями распределения вероятностей дельта- плотности Дирака.

Важные случаи обобщенных показателей

В дифференциальной геометрии рассматривается метрический тензор, который можно рассматривать как «бесконечно малую» квадратичную метрическую функцию. Это определяется как невырожденная симметрической билинейной форма на касательном пространстве в виде коллектора с соответствующей дифференцируемостью требованием. Хотя это не метрические функции, как определено в этой статье, они индуцируют то, что называется псевдополиметрической функцией, путем интегрирования ее квадратного корня по пути через многообразие. Если на метрический тензор накладывается требование положительной определенности скалярного произведения, это ограничивается случаем риманова многообразия, и интегрирование по путям дает метрику.

В общей теории относительности соответствующее понятие - это метрический тензор (общая теория относительности), который выражает структуру псевдориманова многообразия. Хотя используется термин «метрика», основная идея отличается, потому что в касательном пространстве этих многообразий есть ненулевые нулевые векторы, и векторы могут иметь отрицательные квадраты нормы. Этот обобщенный взгляд на «метрики», в котором нулевое расстояние не означает идентичности, проник и в некоторые математические сочинения:

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Альдрованди, Рубен; Перейра, Хосе Джеральдо (2017), Введение в геометрическую физику (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, Руководство по ремонту 3561561
Архангельский, А В ; Понтрягин, LS (1990), Общая топология I: основные концепции и конструкции Теория размерностей, Энциклопедия математических наук, Springer, ISBN 3-540-18178-4
Булдыгин, В.В.; Козаченко, Ю. V. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов, Переводы математических монографий, 188, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 129, DOI : 10,1090 / mmono / 188, ISBN 0-8218-0533-9, Руководство по ремонту 1743716
Чех, Эдуард (1969), Point Sets, Нью-Йорк: Academic Press, стр. 42
Сесил, Томас Э. (2008), Геометрия сферы Ли: с приложениями к подмногообразиям, Universitext (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, с. 9, ISBN 978-0-387-74655-5, Руководство по ремонту 2361414
Коэн, Эндрю Р.; Витани, Пол МБ (2012), «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602–1614, arXiv : 1212.5711, doi : 10.1109 / TPAMI.2014.2375175, PMC 4566858, PMID 26352998
Деза, Мишель Мари ; Лоран, Моник (1997), Геометрия разрезов и метрики, алгоритмы и комбинаторика, 15, Springer-Verlag, Берлин, стр. 27, DOI : 10.1007 / 978-3-642-04295-9, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488
Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), "О inframetric модель для Интернета", 2008 IEEE ИНФОКОМ - 27 -я конференция по компьютерной связи, С. 1085-1093,. CiteSeerX 10.1.1.113.6748, DOI : 10.1109 / INFOCOM.2008.163, ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968
Хелемский, А.Я. (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу, Переводы математических монографий, 233, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 14, DOI : 10,1090 / mmono / 233, ISBN 978-0-8218-4098-6, Руководство по ремонту 2248303
Ловер, Ф. Уильям (2002), «Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории» (PDF), Отпечатки в теории и приложениях категорий (1): 1–37, MR 1925933 ; переиздана с добавлением комментария от Ловера, Ф. Уильям (1973), "метрических пространств, обобщенной логики и замкнутых категориях", Rendiconti дель Семинарио Matematico е Fisico ди Милано, 43: 135-166 (1974), DOI : 10.1007 / BF02924844, Руководство по ремонту 0352214
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011), Топологические векторные пространства, Чистая и прикладная математика (второе издание), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1584888666, OCLC 144216834
Паррот, Стивен (1987), Релятивистская электродинамика и дифференциальная геометрия, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 4, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4684-8, ISBN 0-387-96435-5, Руководство по ремонту 0867408
Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы, Springer, ISBN 90-277-2186-6
Смит, М. (1987), "Квазиравномерности: согласование областей с метрическими пространствами", в Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Шмидт Д. (ред.), 3-я конференция по математическим основам семантики языков программирования, конспект лекций по информатике, 298, Springer-Verlag, стр. 236–253, DOI : 10.1007 / 3-540-19020-1_12
Стин, Линн Артур; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии, Дувр, ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
Витани, Пол МБ (2011), «Информационное расстояние в кратных величинах », IEEE Transactions on Information Theory, 57 (4): 2451–2456, arXiv : 0905.3347, doi : 10.1109 / TIT.2011.2110130, S2CID 6302496
Вайсалы, Юсси (2005), "Громова гиперболических пространств" (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187-231, DOI : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010, МР 2164775
Викерс, Стивен (2005), "Локальное пополнение обобщенных метрических пространств, I", Теория и приложения категорий, 14 (15): 328–356, MR 2182680
Ся, Цинлан (2008), "Геодезическая проблема в околометрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377
Ся, К. (2009), "Геодезическая проблема в квазиметрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377, doi : 10.1007 / s12220-008-9065-4, S2CID 17475581