Войти
A скаляр - это элемент поля , который используется для определения векторного пространства. Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая направление и величину, называется вектором.
В линейной алгебре действительные числа или другие элементы поля называются скалярами. и связаны с векторами в векторном пространстве с помощью операции скалярного умножения, в которой вектор можно умножить на число, чтобы получить другой вектор. В более общем плане векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, например комплексных чисел. Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.
A операция скалярного произведения - не путать со скалярным умножением - может быть определена в векторном пространстве, что позволяет умножить два вектора для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения.
Реальный компонент кватерниона также называется его скалярной частью .
Этот термин также иногда используется неформально означать вектор, матрицу, тензор или другое обычно «составное» значение, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы размера n × 1, которое формально является матрицей 1 × 1, часто называют скалярным .
Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы формы kI, где k - скаляр, а I - единичная матрица.
Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris, прилагательной формы слова scala (латинское слово «лестница»), от которого английский словесная шкала тоже идет. Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в Франсуа Виэте в «Аналитическом искусстве» (In artem analyticem isagoge) (1591):
Согласно цитате в Оксфорде Словарь английского языка первое зарегистрированное использование термина «скаляр» в английском языке произошло с W. Р. Гамильтон в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:
Скаляры - это действительные числа, используемые в линейной алгебре, в отличие от векторов. На этом изображении показан евклидов вектор. Его координаты x и y являются скалярами, как и его длина, но v не является скаляром. Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая переводит скаляр k и вектор v в другой вектор k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение 
Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные, алгебраические, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.
Согласно основной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис. Отсюда следует, что каждое векторное пространство над скалярным полем K изоморфно координатному векторному пространству, где координаты являются элементами K. Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n-мерному реальному пространству R.
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащено функцией norm, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина v, эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством).
Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V, что ограничивает последнее поле, поддерживающее понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или больше, K должно быть замкнуто под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но допускается поле surd. По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.
Когда требование, чтобы набор скаляров формировал поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать кольцо (так, чтобы, например, деление скаляров не нужно определять или скаляры не обязательно должны быть коммутативными ), результирующая более общая алгебраическая структура называется модулем.
. В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R - кольцо, векторы пространства произведения R могут быть преобразованы в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий, где пространство секций касательного расслоения образует модуль над алгеброй вещественных функций на коллектор.
Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования, разновидностью линейного преобразования.
Операции, которые применяются к одному значению за раз.
