Пробел

редактировать

В теории вероятностей, пробел (также называемый пространство описания образца или пространство возможностей ) эксперимента или случайного испытания - это набор из всех возможных результаты или результаты этого эксперимента. Пространство выборки обычно обозначается с помощью нотации набора, а возможные упорядоченные результаты перечислены как элементы в наборе. Обычно пространство образцов обозначается метками S, Ω или U (для «универсальный набор »). Элементами пробного пространства могут быть числа, слова, буквы или символы. Они также могут быть конечными, счетно бесконечными или несчетно бесконечными.

Например, если эксперимент подбрасывает монету, выборочное пространство обычно представляет собой набор {голова, хвост}, обычно обозначаемый как {H, T}. Для подбрасывания двух монет соответствующее пространство выборки будет {(голова, голова), (голова, хвост), (хвост, голова), (хвост, хвост)}, обычно пишется {HH, HT, TH, TT}. Если пространство выборки неупорядочено, оно становится {{голова, голова}, {голова, хвост}, {хвост, хвост}}.

Для подбрасывания одиночной шестигранной матрицы типичное пространство для выборки составляет {1, 2, 3, 4, 5, 6} (в котором интересующий результат представляет собой количество пипсов вверх).

Подмножество области выборки - это событие, обозначенное E. Что касается эксперимента по подбрасыванию монеты, возможные события включают E = {H} и E = {T}.

Четко определенное пространство выборки является одним из трех основных элементов вероятностной модели (вероятностное пространство ); два других - это четко определенный набор возможных событий (сигма-алгебра ) и вероятность, присвоенная каждому событию (мера вероятности функция).

Еще один способ выглядеть как образец пространства - визуально. Пространство выборки обычно представлено прямоугольником, а результаты пространства выборки обозначаются точками внутри прямоугольника. События представлены овалами, а точки, заключенные в овал, составляют событие.

Содержание

1 Условия выборочного пространства
2 Множественные выборочные пространства
3 Равно вероятные исходы
- 3.1 Простая случайная выборка
4 Бесконечно большие пространства выборок
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Условия выборки

Набор $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ с результатами $s 1, s 2,…, sn {\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}}$ (то есть $Ω = {s 1, s 2,…, sn} {\ displaystyle \ Omega = \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n} \}}$ ) должны соответствовать некоторым условиям, чтобы быть пробным пространством:

Результаты должны быть взаимоисключающими, т. Е. Если $sj {\ displaystyle s_ {j}}$ $s_ {j}$ , то другие $si {\ displaystyle s_ {i}}$ $s_{i}$ не будут иметь места, $∀ i, j = 1, 2,…, ni ≠ j {\ displaystyle \ forall i, j = 1,2, \ ldots, n \ quad i \ neq j}$ ${\ displaystyle \ для всех i, j = 1,2, \ ldots, n \ quad i \ neq j}$ .
Результаты должны быть в совокупности исчерпывающими, т. е. в каждом эксперименте (или случайном испытании) всегда будет иметь место некоторый результат $si ∈ Ω {\ displaystyle s_ {i} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle s_ {i} \ в \ Omega}$ для $i ∈ {1, 2, …, N} {\ displaystyle i \ in \ {1,2, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2, \ ldots, n \}}$ .
Пространство выборки ( $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ ) должно иметь правильная гранулярность в зависимости от того, что нас интересует. Мы должны удалить нерелевантную информацию из выборки. Другими словами, мы должны выбрать правильную абстракцию (забыть некоторую не относящуюся к делу информацию).

Например, в испытании подбрасывания монеты мы могли бы иметь в качестве образца пространства $Ω 1 = {H, T} {\ displaystyle \ Omega _ {1} = \ {H, T \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} = \ {H, T \}}$ , где $H {\ displaystyle H}$ $H$ обозначает головы, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ для хвостов. Другое возможное пространство выборки может быть $Ω 2 = {H R, H NR, T R, T NR} {\ displaystyle \ Omega _ {2} = \ {H \ R, H \ NR, T \ R, T \ NR \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {2} = \ {H \ R, H \ NR, T \ R, T \ NR \}}$ . Здесь $R {\ displaystyle R}$ $R$ обозначает дожди, а $N R {\ displaystyle NR}$ $NR$ не дождь. Очевидно, что $Ω 1 {\ displaystyle \ Omega _ {1}}$ $\ Omega _ {1}$ - лучший выбор, чем $Ω 2 {\ displaystyle \ Omega _ {2}}$ $\ Omega _ {2}$ как нас не волнует, как погода влияет на подбрасывание монеты.

Несколько пространств для выборок

Для многих экспериментов может быть доступно более одного правдоподобного пространства для образцов, в зависимости от того, какой результат интересен экспериментатору. Например, при вытягивании карты из стандартной колоды, состоящей из пятидесяти двух игральных карт, одной возможностью для пробного пространства могут быть различные ранги (от туза до короля), а другой - масти . (трефы, бубны, червы или пики). Однако более полное описание результатов может указывать как номинал, так и масть, а образец пространства, описывающий каждую отдельную карту, может быть построен как декартово произведение двух указанных выше пространств образцов (это пространство будет содержат пятьдесят два равновероятных исхода). Возможны и другие пробелы, такие как {правая сторона вверх, вверх стороной вниз}, если некоторые карты были перевернуты при тасовании.

Равно вероятные исходы

Подбрасывание монеты приводит к выборке, состоящей из двух почти равновероятных исходов.

Вверх или вниз? Если повернуть медную гвоздь, то получится пространство выборки, состоящее из двух исходов, которые не равновероятны.

Некоторые методы обработки вероятности предполагают, что различные исходы эксперимента всегда определены так, чтобы быть равновероятными. Для любого пространства выборки с N равновероятными исходами каждому исходу присваивается вероятность 1 / N. Однако есть эксперименты, которые нелегко описать с помощью выборки равновероятных исходов - например, если бы кто-то бросил кнопку для большого пальца много раз и увидел, приземлился ли он острием вверх или вниз, нет никакой симметрии, позволяющей предположить, что два исхода должны быть одинаково вероятными.

Хотя большинство случайных явлений не имеют одинаково вероятных исходов, может быть полезно определить пространство выборки таким образом, чтобы результаты были по крайней мере приблизительно одинаково вероятно, поскольку это условие значительно упрощает вычисление вероятностей для событий в пространстве выборки. Если каждый отдельный результат происходит с одинаковой вероятностью, то вероятность любого события становится просто:

P (событие) = количество результатов в событии количество результатов в пространстве выборки {\ displaystyle P (событие) = {\ frac { \ text {количество исходов в событии}} {\ text {количество исходов в пространстве выборки}}}}

P (событие) = {\ frac {{\ text {количество результатов в событии}}} {{\ text {количество результатов в пространстве выборки}}}}

Например, если две кости бросаются для генерации двух равномерно распределенных целых чисел, D 1 и D 2, каждая в диапазоне [1... 6], 36 упорядоченных пар (D 1, D 2) составляют пространство отсчетов одинаково вероятные события. В этом случае применима приведенная выше формула, так что вероятность определенной суммы, скажем, D 1 + D 2 = 5, легко показать как 4/36, поскольку 4 из 36 результатов дают 5 в сумме. С другой стороны, пространство выборки из 11 возможных сумм, {2,..., 12} не являются одинаково вероятными исходами, поэтому формула даст неверный результат (1/11).

Другой пример - четыре ручки в сумке. Одна ручка красная, одна зеленая, одна синяя и одна фиолетовая. У каждой ручки одинаковый шанс вынуть из сумки. Пространство выборки S = {красный, зеленый, синий, фиолетовый} состоит из равновероятных событий. Здесь P (красный) = P (синий) = P (зеленый) = P (фиолетовый) = 1/4.

Простая случайная выборка

В статистике, выводы о характеристиках популяции делаются путем изучения выборки особей этой популяции. Чтобы получить выборку, которая представляет несмещенную оценку истинных характеристик совокупности, статистики часто стремятся изучить простую случайную выборку, то есть выборку, в которой каждый человек в популяции с одинаковой вероятностью будет включен. Результатом этого является то, что каждая возможная комбинация лиц, которые могут быть выбраны для выборки, имеет равные шансы быть выбранной выборкой (то есть пространство простых случайных выборок заданного размера из заданной совокупности состоит из равновероятные исходы).

Бесконечно большие выборочные пространства

При элементарном подходе к вероятности любое подмножество выборочного пространства обычно называется событием. Однако это создает проблемы, когда пространство выборки является непрерывным, поэтому необходимо более точное определение события. В соответствии с этим определением только измеримые подмножества пространства выборок, составляющие σ-алгебру над самим пространством выборок, считаются событиями.

Пример бесконечно большого пространства для образца - это измерение срока службы лампочки. Соответствующее пространство выборки будет [0, бесконечность).

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

СМИ, связанные с Образцом пространства на Wikimedia Commons