Пространство параметров

Пространство параметров - это пространство возможных значений параметров, которые определяют конкретную математическую модель, часто подмножество конечномерного евклидова пространства. Часто параметры являются входными данными функции, и в этом случае технический термин для пространства параметров - это область определения функции. Диапазоны значений параметров могут формировать оси графика, и конкретные результаты модели могут быть нанесены на график относительно этих осей, чтобы проиллюстрировать, как разные области пространства параметров создают разные типы поведения в модели.

В статистике, параметры пространство, особенно полезно для описания параметрических семейств из вероятностных распределений. Они также составляют основу для оценки параметров. В случае оценок экстремума для параметрических моделей определенная целевая функция максимизируется или минимизируется по пространству параметров. Теоремы существования и согласованности таких оценок требуют некоторых предположений о топологии пространства параметров. Например, компактности пространства параметров вместе с непрерывностью целевой функции достаточно для существования экстремальной оценки.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 История
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Примеры

• Простая модель ухудшения здоровья после развития рака легких может включать два параметра: пол и курильщик / некурящий, и в этом случае пространство параметров представляет собой следующий набор из четырех возможных вариантов: {(Мужчина, Курильщик), (Мужчина, Некурящий), (Женщина, курильщик), (женщина, некурящий)}.

• Логистическое отображение имеет один параметр, г, который может принимать любое положительное значение. Таким образом, пространство параметров представляет собой положительные действительные числа. ${\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}$

Для некоторых значений r эта функция заканчивается циклическим обходом нескольких значений или фиксируется на одном значении. Эти долгосрочные значения могут быть нанесены в зависимости от r на бифуркационной диаграмме, чтобы показать различное поведение функции для разных значений r.

• В модели синусоидальной волны параметрами являются амплитуда A gt; 0, угловая частота ωgt; 0 и фаза φ ∈ S ¹. Таким образом, пространство параметров${\ Displaystyle у (т) = А \ CDOT \ грех (\ омега т + \ фи),}$ ${\ displaystyle R ^ {+} \ times R ^ {+} \ times S ^ {1}.}$

• В сложной динамике пространство параметров - это комплексная плоскость C = { z = x + y i: x, y ∈ R }, где i ² = −1.

Знаменитый набор Мандельброта - это подмножество этого пространства параметров, состоящее из точек на комплексной плоскости, которые дают ограниченный набор чисел, когда конкретная итерационная функция многократно применяется из этой начальной точки. Остальные точки, которых нет в наборе, дают неограниченный набор чисел (они стремятся к бесконечности), когда эта функция многократно применяется с этой начальной точки.

• В машинном обучении, искусственная нейронная сеть является модель, которая состоит из ориентированного графа с весами (вещественные числами) на ребрах графа. Пространство параметров известно как пространство весов, и «обучение» состоит из обновления параметров, чаще всего с помощью градиентного спуска или какого-либо варианта.

История

Пространство параметров способствовало освобождению геометрии от ограничений трехмерного пространства. Например, пространство параметров сфер в трех измерениях имеет четыре измерения - три для центра сферы и еще одно для радиуса. По словам Дирка Струика, это была книга Neue Geometrie де Raumes (1849) по Плюккеру, который показал

... геометрия не обязательно должна основываться исключительно на точках как базовых элементах. Линии, плоскости, круги, сферы могут использоваться как элементы ( Raumelemente), на которых может быть основана геометрия. Эта плодотворная концепция пролила новый свет на синтетическую и алгебраическую геометрию и создала новые формы двойственности. Количество измерений конкретной формы геометрии теперь может быть любым положительным числом, в зависимости от количества параметров, необходимых для определения «элемента».

Требование больших размеров иллюстрируется линейной геометрией Плюккера. Струик пишет

[Плюккерская] геометрия линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал Кляйн, как геометрия четырехмерной квадрики в пятимерном пространстве.

Таким образом, квадрика Клейна описывает параметры линий в пространстве.

Смотрите также

• Образец пространства
• Пространство конфигурации
• Анализ данных
• Снижение размерности
• Гиперпараметр (машинное обучение)
• Выбор модели
• Параметрическое уравнение
• Параметрическая поверхность
• Фазовое пространство

Ссылки