Фаза (волны)

редактировать
График одного цикла синусоидальной функции. Фаза для каждого значения аргумента относительно начала цикла отображается внизу в градусах от 0 ° до 360 ° и в радианах от 0 до 2π.

В физике и математика, фаза периодической функции F {\ displaystyle F}F некоторой реальной переменной t {\ displaystyle t}t (например, время) - это угол, представляющий количество периодов, охватываемых этой переменной. Он обозначается ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) и выражается в такой шкале , что изменяется на один полный оборот поскольку переменная t {\ displaystyle t}t проходит каждый период (а F (t) {\ displaystyle F (t)}F(t)проходит каждый полный цикл). Оно может быть измерено в любой угловой единице, например, градусах или радианах, таким образом увеличиваясь на 360 ° или 2 π { \ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi , поскольку переменная t {\ displaystyle t}t завершает полный период.

Это соглашение особенно подходит для синусоидальная функция, поскольку ее значение при любом аргументе t {\ displaystyle t}t может быть выражено как синус фазы ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) , умноженное на некоторый коэффициент (амплитуда синусоиды). (косинус может использоваться вместо синуса, в зависимости от того, где каждый период считается началом.)

Обычно при выражении фазы игнорируются целые витки; так что ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) также является периодической функцией с тем же периодом, что и F {\ displaystyle F}F , который многократно сканирует один и тот же диапазон углов, пока t {\ displaystyle t}t проходит через каждый период. Тогда F {\ displaystyle F}F считается «на одной фазе» при двух значениях аргументов t 1 {\ displaystyle t_ {1}}t_ {1} и t 2 {\ displaystyle t_ {2}}t_ {2} (то есть ϕ (t 1) = ϕ (t 2) {\ displaystyle \ phi (t_ {1}) = \ phi (t_ {2})}{\ displaystyle \ phi (t_ {1}) = \ phi (t_ {2}) } ), если разница между ними составляет целое количество периодов.

Числовое значение фазы ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, которым должен быть сопоставлен каждый период.

Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции F {\ displaystyle F}F со сдвинутой версией G {\ displaystyle G}G из этого. Если сдвиг в t {\ displaystyle t}t выражается как часть периода, а затем масштабируется до угла φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi охватывая весь оборот, получается сдвиг фазы, сдвиг фазы или сдвиг фазы из G {\ displaystyle G}G относительно F {\ displaystyle F}F . Если F {\ displaystyle F}F является «канонической» функцией для класса сигналов, например sin ⁡ (t) {\ displaystyle \ sin (t)}\ sin (t) для всех синусоидальных сигналов, тогда φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi называется начальной фазой для G {\ displaystyle G}G .

Contents

  • 1 Математическое определение
    • 1.1 Последствия
  • 2 Сложение и сравнение фаз
  • 3 Фазовый сдвиг
    • 3.1 Общее определение
    • 3.2 Для синусоид
    • 3.3 Для смещенных сигналов
    • 3.4 Для синусоид с той же частотой
    • 3.5 Сравнение фаз
  • 4 Формула для фазы колебания или периодического сигнала
  • 5 См. также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Математическое определение

Пусть F {\ displaystyle F}F будет периодическим сигналом (то есть функцией одной действительной переменной), а T {\ displaystyle T}T будет его период (то есть наименьшее положительное действительное число такое, что F (t + T) = F (t) {\ displaystyle F (t + T) = F (t)}{\ displaystyle F (t + T) = F (t)} для всех t {\ displ aystyle t}t ). Тогда фаза для F {\ displaystyle F}F atлюбого аргумента t {\ displaystyle t}t равна

ϕ (t) = 2 π [[t - t 0 T]] {\ displaystyle \ phi (t) = 2 \ pi \ left [\! \! \ left [{\ frac {t-t_ {0}} {T}} \ right] \ ! \! \ right]}{\ displaystyle \ phi (t) = 2 \ pi \ left [\! \ ! \ left [{\ frac {t-t_ {0}} {T}} \ right] \! \! \ right]}

Здесь [[⋅]] {\ displaystyle [\! [\, \ cdot \,] \!] \! \,}{\ displaystyle [\! [\, \ Cdot \,] \!] \! \,} обозначает дробное часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть [[x]] = x - ⌊ x ⌋ {\ displaystyle [\! [x] \!] = x- \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \! \,}{\ displaystyle [\! [x] \!] = x- \ left \ lfloor x \ right \ rfloor \! \,} ; и t 0 {\ displaystyle t_ {0}}t_ { 0} - произвольное "исходное" значение аргумента, которое считается началом цикла.

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, делая полный оборот каждые T {\ displaystyle T}T секунд и указывает прямо вверх в момент времени t 0 {\ displaystyle t_ {0}}t_ { 0} . Фаза ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) тогда представляет собой угол от положения 12:00 до текущего положения руки в момент времени t {\ displaystyle t}t , измеряется по часовой стрелке.

Концепция фазы наиболее полезна, когда начало координат t 0 {\ displaystyle t_ {0}}t_ { 0} выбирается на основе особенности F {\ displaystyle F}F . Например, для синусоиды удобный выбор - любой t {\ displaystyle t}t , где значение функции изменяется от нуля до положительного.

Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi . Чтобы получить фазу как угол между - π {\ displaystyle - \ pi}- \ pi и + π {\ displaystyle + \ pi}{\ displaystyle + \ pi} , вместо этого используется

ϕ (T) знак равно 2 π ([[T - T 0 T + 1 2]] - 1 2) {\ displaystyle \ phi (t) = 2 \ pi \ left (\ left [\! \! \ Left [{\ frac {t-t_ {0}} {T}} + {\ frac {1} {2}} \ right] \! \! \ right] - {\ frac {1} {2}} \ right)}{\ displaystyle \ phi ( t) = 2 \ p i \ left (\ left [\! \! \ left [{\ frac {t-t_ {0}} {T}} + {\ frac {1} {2}} \ right] \! \! \ right]) - {\ frac {1} {2}} \ right)}

Фаза, выраженная в градусах (от 0 ° до 360 ° или от -180 ° до + 180 °), определяется таким же образом, за исключением «360 °» вместо «2π».

Последствия

При любом из приведенных выше определений фаза ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}\ phi (t) периодического сигнала является периодической тоже с тем же периодом T {\ displaystyle T}T :

ϕ (t + T) = ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t + T) = \ phi (t) \ quad \ quad { }}{\ displaystyle \ фи (t + T) = \ фи (t) \ quad \ quad {}} для всех t {\ displaystyle t}t .

Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть

ϕ (t 0 + k T) = 0 {\ displaystyle \ phi (t_ {0} + kT) = 0 \ quad \ quad {}}{\ displaystyle \ phi (t_ {0} + kT) = 0 \ quad \ quad {}} для любого целого числа k {\ displaystyle k}k .

Кроме того, для любого заданного выбора источника t 0 {\ displaystyle t_ {0}}t_ { 0} значение сигнала F {\ displaystyle F }F для любого аргумента t {\ displaystyle t}t зависит только от его фазы в t {\ displaystyle t}t . А именно, можно написать F (t) = f (ϕ (t)) {\ displaystyle F (t) = f (\ phi (t))}{\ displaystyle F (t) знак равно е (\ phi (t))} , где f { \ displaystyle f}f - функция угла, определенная только для одного полного поворота, которая описывает изменение F {\ displaystyle F}F как t {\ displaystyle t}t колеблется за один период.

Фактически, каждый периодический сигнал F {\ displaystyle F}F с определенной формой сигнала может быть выражен как

F (t) = A вес (ϕ (t)) {\ displaystyle F (t) = A \, w (\ phi (t))}{\ displaystyle F (t) = A \, w (\ phi (t))}

где w {\ displaystyle w}w - «канонический "функция фазового угла от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы волны; и A {\ displaystyle A}A - коэффициент масштабирования для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что время начала t 0 {\ displaystyle t_ {0}}t_ { 0} , выбранное для вычисления фазы F {\ displaystyle F}F , соответствует аргумент 0 из w {\ displaystyle w}w .)

Добавление и сравнение фаз

Поскольку фазы - это углы, любые полные витки обычно следует игнорировать, когда выполнение над ними арифметических операций. То есть сумму и разность двух фаз (в градусах) следует вычислять по формулам

360 [[α + β 360]] {\ displaystyle 360 ​​\, \ left [\! \! \ Left [{\ гидроразрыв {\ alpha + \ beta} {360}} \ right] \! \! \ right] \ quad \ quad}{\ displaystyle 360 ​​\, \ left [ \! \! \ left [{\ frac {\ alpha + \ beta} {360}} \ right] \! \! \ right] \ quad \ quad} и 360 [[α - β 360]] {\ displaystyle \ quad \ quad 360 \, \ left [\! \! \ left [{\ frac {\ alpha - \ beta} {360}} \ right] \! \! \ right]}{\ displaystyle \ quad \ quad 360 \, \ left [\! \! \ left [{\ frac {\ альфа - \ бета} {360}} \ right] \! \! \ right]}

соответственно. Так, например, сумма фазовых углов 190 ° + 200 ° составляет 30 ° (190 + 200 = 390, минус один полный оборот), а вычитание 50 ° из 30 ° дает фазу 340 ° (30-50 = - 20 плюс один полный оборот).

Аналогичные формулы верны для радиан с 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi вместо 360.

Фазовый сдвиг

Иллюстрация фазового сдвига. По горизонтальной оси отложен угол (фаза), который увеличивается со временем. Фазовращатель с использованием модулятора IQ

Общее определение

Разница φ (t) = ϕ G ( t) - ϕ F (t) {\ displaystyle \ varphi (t) = \ phi _ {G} (t) - \ phi _ {F} (t)}{\ displaystyle \ varphi (t) = \ phi _ {G} (t) - \ phi _ {F} (t)} между фазами двух периодических сигналов F {\ displaystyle F}F и G {\ displaystyle G}G называется разностью фаз из G {\ displaystyle G}G относительно F {\ displaystyle F}F . При значениях t {\ displaystyle t}t , когда разница равна нулю, два сигнала считаются в фазе, в противном случае они не в фазе друг с другом.

В аналогии с часами каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) одних и тех же часов, оба вращаются с постоянной, но, возможно, разной скоростью. Разность фаз - это угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.

Разность фаз особенно важна, когда два сигнала складываются вместе с помощью физического процесса, такого как две периодические звуковые волны, излучаемые двумя источниками и записываемые вместе микрофоном. Обычно это имеет место в линейных системах, когда выполняется принцип суперпозиции.

Для аргументов t {\ displaystyle t}t , когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Один говорит о конструктивном вмешательстве. В аргументах t {\ displaystyle t}t , когда фазы разные, значение суммы зависит от формы сигнала.

Для синусоид

Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз φ (t) {\ displaystyle \ varphi (t)}\ varphi (t) составляет 180 ° (π {\ displaystyle \ pi}\ pi радиан), говорят, что фазы противоположны, и что сигналы в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки, и возникает деструктивная помеха.

Когда разность фаз φ (t) {\ displaystyle \ varphi (t)}\ varphi (t) составляет четверть оборота (прямой угол, + 90 ° = π / 2 или −90 ° = 270 ° = −π / 2 = 3π / 2), синусоидальные сигналы иногда называют в квадратуре .

Если частоты разные, разность фаз φ (t) {\ displaystyle \ varphi (t)}\ varphi (t) увеличивается линейно с аргументом t {\ displaystyle t}t . Периодические изменения от усиления и противодействия вызывают явление, называемое биением.

Для смещенных сигналов

Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала F {\ displaystyle F}F со смещенной и, возможно, масштабированной версией G {\ displaystyle G}G . То есть предположим, что G (t) = α F (t + τ) {\ displaystyle G (t) = \ alpha \, F (t + \ tau)}{\ displaystyle G (t) = \ alpha \, F (t + \ tau)} для некоторых констант α, τ {\ displaystyle \ alpha, \ tau}{\ displaystyle \ alpha, \ tau} и все t {\ displaystyle t}t . Предположим также, что начало координат для вычисления фазы G {\ displaystyle G}G также было смещено. В этом случае разность фаз φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi является постоянной (не зависящей от t {\ displaystyle t}t ), называемой фазовый сдвиг или фазовый сдвиг из G {\ displaystyle G}G относительно F {\ displaystyle F}F . В аналогии с часами эта ситуация соответствует тому, что две стрелки вращаются с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянный.

В данном случае фазовый сдвиг - это просто сдвиг аргумента τ {\ displaystyle \ tau}\ tau , выраженный как часть общего периода T {\ displaystyle T}T (в терминах операции по модулю ) двух сигналов, а затем масштабируется до полного поворота:

φ = 2 π [[τ T]] {\ displaystyle \ varphi = 2 \ pi \ left [\! \! \ left [{\ frac {\ tau} {T}} \ right] \! \! \ right]}{\ displaystyle \ varphi = 2 \ pi \ left [\! \! \ Left [{\ frac {\ tau} {T}} \ right] \! \! \ Right]} .

Если F {\ displaystyle F }F - это «канонический» представитель класса сигналов, например sin ⁡ (t) {\ displaystyle \ sin (t)}\ sin (t) для всех синусоидальных сигналов, тогда фазовый сдвиг φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi называется просто начальной фазой из G {\ displaystyle G}G .

Следовательно, когда два периодических сигнала имеют одинаковой частоты, они всегда совпадают по фазе или всегда не совпадают по фазе. Физически такая ситуация возникает обычно по многим причинам. Например, два сигнала могут быть периодической звуковой волной, записанной двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, это могут быть периодические звуковые волны, создаваемые двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записанные одним микрофоном. Это может быть радио сигнал, который достигает приемной антенны по прямой линии, и его копия, отраженная от большого здания поблизости.

Хорошо известным примером разности фаз является длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если F (t) {\ displaystyle F (t)}F(t)- это длина, наблюдаемая в момент времени t {\ displaystyle t}t за один пятно, а G {\ displaystyle G}G - длина, наблюдаемая в то же время на долготе 30 ° к западу от этой точки, тогда разность фаз между двумя сигналами будет 30 ° (при условии, что в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая).

Для синусоид с одинаковой частотой

Для синусоидальных сигналов (и некоторых других сигналов, таких как квадрат или симметричный треугольник) сдвиг фазы на 180 ° эквивалентен сдвигу фазы на 0 ° с отрицание амплитуды. Когда два сигнала с этими формами, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются вместе, сумма F + G {\ displaystyle F + G}F+Gлибо идентично нулю, либо является синусоидальным сигналом с одинаковый период и фаза, амплитуда которых равна разнице исходных амплитуд.

Сдвиг фазы косинусоидальной функции относительно синусоидальной функции составляет + 90 °. Отсюда следует, что для двух синусоидальных сигналов F {\ displaystyle F}F и G {\ displaystyle G}G с одинаковой частотой и амплитудами A {\ displaystyle A}A и B {\ displaystyle B}B , а G {\ displaystyle G}G имеет фазовый сдвиг + 90 ° относительно F {\ displaystyle F}F , сумма F + G {\ displaystyle F + G}F+Gпредставляет собой синусоидальный сигнал с той же частотой и амплитудой <79.>C {\ displaystyle C}C и фазовый сдвиг - 90 ∘ < φ < + 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}{\ displaystyle -90 ^ { \ circ} <\ varphi <+90 ^ {\ circ}} от F {\ displaystyle F}F , так что

C = A 2 + B 2 {\ displaystyle C = {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} \ quad \ quad {}}{\ displaystyle C = {\ sqrt {A ^ {2 } + B ^ {2}}} \ quad \ quad {}} и грех ⁡ (φ) = B / C {\ displaystyle {} \ quad \ quad \ sin (\ varphi) = B / C}{\ displaystyle { } \ quad \ quad \ sin (\ varphi) = B / C} .
Синфазные сигналы Противофазные сигналы Представление сравнения фаз. Слева: действительная часть плоской волны , движущаяся сверху вниз. Справа: та же волна после центральной секции претерпела фазовый сдвиг, например, проходя через стекло другой толщины, чем другие части. АЭ вне фазы

Реальный пример звуковой разности фаз встречается в трели индейской флейты. Амплитуда различных гармонических составляющих одной и той же длительной ноты на флейте становится доминирующей в разных точках фазового цикла. Разность фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трели флейты.

Сравнение фаз

Сравнение фаз - это сравнение фазы две формы сигнала, обычно одной номинальной частоты. По времени и частоте, целью сравнения фазы, как правило, для определения сдвига частоты (разница между циклами сигнала) относительно эталона.

Сравнение фаз может быть сделано путем соединения двух сигналов на двухканальный осциллограф. Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. В соседнем изображении, сигнал верхнего синуса является Тест частоты, а нижний сигнал синусоидальной представляет собой сигнал из ссылки.

Если бы две частоты были точно такими же, их фазовое соотношение не изменилось бы, и на экране осциллографа обе частоты казались бы неподвижными. Поскольку две частоты не совсем одинаковые, эталонный сигнал кажется неподвижным, а тестовый сигнал движется. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.

Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. Внизу рисунка показаны полосы, ширина которых представляет разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, указывая на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный.

Формула для фазы колебаний или периодического сигнала

Фаза колебание или относится к синусоидальной функции, такой как следующая:

x (t) = A ⋅ cos ⁡ (2 π ft + φ) y (t) = A ⋅ sin ⁡ (2 π ft + φ) Знак равно A ⋅ соз ⁡ (2 π ft + φ - π 2) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} x (t) = A \ cdot \ cos (2 \ pi ft + \ varphi) \\ y (t) = A \ cdot \ sin (2 \ pi ft + \ varphi) = A \ cdot \ cos \ left (2 \ pi ft + \ varphi - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) \ end {выровнено} }}{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} x (t) = A \ cdot \ cos (2 \ pi ft + \ varphi) \\ y (t) = A \ cdot \ sin (2 \ pi ft + \ varphi) = A \ cdot \ cos \ left (2 \ pi ft + \ varphi - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) \ end {align}}}

где A {\ displaystyle \ textstyle A}\ textstyle A , f {\ displaystyle \ textstyle f}\ textstyle f и φ {\ displaystyle \ textstyle \ varphi}{\ displaystyle \ textstyle \ varphi} - постоянные параметры, называемые амплитудой, частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы являются периодическими с периодом T = 1 f {\ displaystyle \ textstyle T = {\ frac {1} {f}}}{\ displaystyle \ textstyle T = {\ frac {1} {f}}} , и они идентичны, за исключением смещения T 4 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {T} {4}}}{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {T} {4}}} вдоль оси t {\ displaystyle \ textstyle t}\ textstyle t . Термин фаза может относиться к нескольким различным вещам. :

  • Он может относиться к определенной ссылке, например, cos ⁡ (2 π ft) {\ displaystyle \ textstyle \ cos (2 \ pi ft)}{\ displaystyle \ textstyle \ cos (2 \ pi ft)} , и в этом случае мы бы сказали, что фаза для x (t) {\ displaystyle \ textstyle x (t)}{\ displaystyle \ textstyle x (t)} равна φ {\ displaystyle \ textstyle \ varphi}{\ displaystyle \ textstyle \ varphi} и фаза из y (t) {\ displaystyle \ textstyle y (t)}\ textstyle y (t) равно φ - π 2 {\ displaystyle \ textstyle \ varphi - {\ frac {\ pi} {2}}}{\ displaystyle \ textstyle \ varphi - {\ frac {\ pi} {2}}} .
  • Он может относиться к φ {\ displaystyle \ textstyle \ varphi}{\ displaystyle \ textstyle \ varphi} , и в этом случае мы должны сказать x (t) {\ displaystyle \ textstyle x (t)}{\ displaystyle \ textstyle x (t)} и y (t) {\ displaystyle \ textstyle y (t) }\ textstyle y (t) имеют одинаковую фазу, но относятся к их собственным конкретным ссылкам.
  • В контексте сигналов связи изменяющийся во времени угол 2 π ft + φ {\ displaystyle \ textstyle 2 \ pi ft + \ varphi}{\ displaystyle \ textstyle 2 \ pi ft + \ varphi} , или его главное значение, обозначается как ins тантанная фаза, часто просто фаза .

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Фазой (волны).
Последняя правка сделана 2021-06-01 11:55:21
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте