Войти
Впечатление художника о ограниченном множестве (вверху) и неограниченном множестве (внизу). Набор внизу всегда продолжается вправо. В математическом анализе и связанных областях математика, множество называется ограниченным, если оно в определенном смысле имеет конечный размер. И наоборот, неограниченное множество называется неограниченным . Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики.
Вещественное множество с верхними границами и его супремумом.Множество S из вещественные числа называются ограниченными сверху, если существует некоторое действительное число k (не обязательно в S) такое, что k ≥ s для всех s в S. Число k называется верхней границей of S. Термины, ограниченные снизу, и нижняя граница определяются аналогично.
Множество S является ограниченным, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, набор действительных чисел ограничен, если он содержится в конечном интервале.
A подмножестве S метрического пространства (M, d) ограничено, если существует r>0 такое, что для всех s и t в S имеем d (s, t) < r. (M, d) is a bounded metric space (or d is a bounded metric) if M is bounded as a subset of itself.
In топологических векторных пространств существует другое определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью фон Неймана. Если топология топологического векторного пространства индуцирована метрикой , которая является однородной, как в случае метрики, индуцированной нормой из нормированные векторные пространства, то два определения совпадают.
Набор действительных чисел ограничен тогда и только тогда, когда он имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества. Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размер».
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным сверху, если существует элемент k в P такой, что k ≥ s для всех s в S. Элемент k называется верхняя граница из S. Понятия, ограниченные ниже, и нижняя граница определяются аналогично. (См. Также верхняя и нижняя границы.)
Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным, если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границу, или эквивалентно, если он содержится в интервале. Обратите внимание, что это не только свойство множества S, но также одно из множества S как подмножество P.
A ограниченное множество P (то есть само по себе, а не как подмножество) - это то, которое имеет наименьшее элемент и наибольший элемент. Заметим, что это понятие ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером, и что подмножество S ограниченного ч.у.набора P с порядком ограничением порядка на P не обязательно является ограниченным чумом.
Подмножество S из R ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество R с помощью заказ товара. Однако S может быть ограничено как подмножество R с лексикографическим порядком , но не относительно евклидова расстояния.
Класс порядковых номеров называется неограниченным, или cofinal, когда задан любой порядковый номер, всегда есть какой-то элемент класса, превышающий его. Таким образом, в этом случае «неограниченный» не означает неограниченный сам по себе, но неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.
