Полностью ограниченное пространство

редактировать

В топологии и связанных разделы математики, тотальная ограниченность - это обобщение компактности для обстоятельств, в которых множество не обязательно закрыто. Полностью ограниченное множество может быть покрыто конечным множеством подмножеств каждого фиксированного «размера» (где значение «размера» зависит от структуры окружающее пространство.)

Термин прекомпакт (или прекомпакт ) иногда используется в том же значении, но прекомпакт также используется для означает относительно компактный. Эти определения совпадают для подмножеств полного метрического пространства, но не в целом.

Содержание

1 В метрических пространствах
- 1.1 Равномерные (топологические) пространства
2 Примеры и элементарные свойства
- 2.1 Сравнение с компактами
3 В топологических группах
- 3.1 Топологические векторные пространства
  - 3.1.1 Взаимодействие с выпуклостью
4 См. Также
5 Ссылки
6 Библиография

В метрических пространствах

A метрических пространствах $(M, d) {\ displaystyle (M, d)}$ $(M, d)$ является полностью ограниченным тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , существует конечная коллекция из открытые шары в M радиуса $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , объединение которых содержит M. Эквивалентно, метрическое пространство M полностью ограничено тогда и только тогда, когда для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует конечное покрытие такое, что радиус каждого элемента покрытия не превышает $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Это эквивалентно существованию конечной ε-сети. Метрическое пространство называется предкомпактом Коши, если каждая последовательность допускает подпоследовательность Коши; в метрических пространствах множество является предкомпактным по Коши тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Каждое вполне ограниченное пространство ограничено (поскольку объединение конечного числа ограниченных множеств ограничено). Обратное верно для подмножеств евклидова пространства (с топологией подпространства ), но не в целом. Например, бесконечное множество, снабженное дискретной метрикой, ограничено, но не ограничено полностью.

Равномерные (топологические) пространства

Метрика появляется в определении тотальной ограниченности только для гарантии того, что каждый элемент конечного покрытия имеет сопоставимый размер и может быть ослаблен до элемента однородной конструкции. Подмножество S равномерного пространства X полностью ограничено тогда и только тогда, когда для любого окружения E существует конечное покрытие S подмножествами X, каждое из которых Декартовы квадраты являются подмножеством E. (Другими словами, E заменяет «размер» ε, а подмножество имеет размер E, если его декартов квадрат является подмножеством E.)

Определение может быть расширен еще дальше, на любую категорию пространств с понятием компактности и пополнения Коши : пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда его (Коши) пополнение компактно.

Примеры и элементарные свойства

Каждый компактный набор полностью ограничен, если понятие определено.
Любое полностью ограниченное множество ограничено.
Подмножество вещественной линии или, в более общем смысле (конечномерного) евклидова пространства, полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено.
единичный шар в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, в банаховом пространстве, полностью ограничен (в топологии нормы) тогда и только тогда, когда пространство имеет конечное размерность.
равностепенно непрерывные ограниченные функции на компакте предкомпактны в равномерной топологии ; это теорема Арзела – Асколи..
A метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно полностью ограниченному метрическому пространству.
Замыкание вполне ограниченного подмножества снова полностью ограничено.

Сравнение с компактами

(в метрических пространствах) множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; без аксиомы выбора сохраняется только прямое направление. Предкомпактные наборы имеют ряд общих свойств с компактными наборами.

Подобно компактам, конечное объединение вполне ограниченных множеств полностью ограничено.
В отличие от компактов, каждое подмножество вполне ограниченного множества снова полностью ограничено.
Непрерывный образ компактный набор компактный. равномерно непрерывный образ предкомпактного множества является предкомпактным.

В топологических группах

Хотя понятие тотальной ограниченности тесно связано с метрическими пространствами, большая алгебраическая структура топологических групп позволяет один обменять некоторые свойства разделения. Например, в метрических пространствах множество компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. В соответствии с приведенным ниже определением то же самое верно для любого топологического векторного пространства (не обязательно Хаусдорфова или полного!).

Общая логическая форма определения : a подмножество S пространства X полностью ограничено тогда и только тогда, когда для любого размера E, существует конечное покрытие S такое, что каждый элемент S имеет размер не больше E. Тогда X вполне ограничено тогда и только тогда, когда оно полностью ограничено, если рассматривать его как подмножество самого себя.

Мы принимаем соглашение, согласно которому для любой окрестности U⊆X идентичности подмножество S ⊆ X называется (слева) U-small тогда и только тогда, когда SS ⊆ U. Подмножество S из топологическая группа X является (слева) полностью ограниченной, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

Для любой окрестности U единицы:
1. там x 1,..., x n ∈ X такой, что $S ⊆ ⋃ jxj U {\ textstyle S \ substeq \ bigcup _ {j} {x_ {j} U}}$ ${\ textstyle S \ substeq \ bigcup _ {j} {x_ {j} U}}$ or
2. существует конечное подмножество F ⊆ X такое, что S ⊆ F · U or
3. существует конечное число подмножеств B 1,..., B n X такой, что S ⊆ B 1 ∪ ⋅⋅⋅ ∪ B n и каждый B j является U-small.
Для любой подбазы фильтра ℬ для фильтра 𝒩 всех окрестностей 0 в X для любого B ∈ ℬ существует покрытие S конечным числом B-малых подмножеств X.
S Ограничение Коши : для любой окрестности U единицы и любого счетно бесконечного подмножества I в S существуют различные x, y ∈ I такие, что xy ∈ U. (Если S конечно тогда это условие удовлетворяется в вакууме ).
Любой из следующих наборов (слева) полностью ограничен:
1. замыкание S или
2. изображение S под каноническое частное X → X / {e} или
3. S {e},
, где e - тождество.

Обычно используемый термин pre-compact появляется в контекст хаусдорфовых топологических векторных пространств. В этом случае следующие условия также эквивалентны:

В завершении X, S является компактным.
Каждый ультрафильтр на S является Коши.

Определение полностью ограничен справа аналогичен: просто поменяйте местами порядок продуктов.

Обратите внимание, что условие 4 подразумевает, что любое подмножество {e} полностью ограничено (фактически, компактно; см. § Сравнение с компактными множествами выше). Если X не хаусдорфово, то (например) {e} - это незамкнутый компактный полный набор.

Топологические векторные пространства

Любое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой при сложении., поэтому применяются вышеуказанные условия (хотя обратите внимание, что вышеупомянутое записано мультипликативно ). Исторически определение 1 (b) было первой переформулировкой полной ограниченности для топологических векторных пространств ; оно восходит к статье Джона фон Неймана 1935 года.

Это определение обладает привлекательным свойством, заключающимся в том, что в локально выпуклом пространстве, наделенном слабой топологией, предкомпактный множества - это в точности ограниченные множества.

Для сепарабельных банаховых пространств существует хорошая характеризация предкомпактных множеств (в топологии нормы) в терминах слабо сходящихся последовательностей функционалов: если X - сепарабельное банахово пространство, то S⊆X является предкомпактным тогда и только тогда, когда каждая слабо сходящаяся последовательность функционалов сходится равномерно на S.

Взаимодействие с выпуклостью

сбалансированная оболочка вполне ограниченного подмножества топологического векторного пространства снова вполне ограничено.
Сумма Минковского двух компактных (вполне ограниченных) множеств компактна (соответственно вполне ограничена).
В локально выпуклом (хаусдорфовом) пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества K вполне ограничены тогда и только тогда, когда K полон.

См. Также

Ссылки

Библиография