Теорема Арзела – Асколи

редактировать

Вкл., Когда семейство вещественных непрерывных функций имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность

Арзела –Теорема Асколи является фундаментальным результатом математического анализа, дающего необходимые и достаточные условия, чтобы решить, будет ли каждая последовательность данного семейства вещественных -значных непрерывные функции, определенные в закрытом и ограниченном интервале, имеют равномерно сходящуюся подпоследовательность. Главное условие - равностепенная непрерывность семейства функций. Эта теорема является основой многих математических доказательств, в том числе теоремы существования Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теоремы Монтеля в комплексный анализ, и теорема Питера – Вейля в гармоническом анализе и различные результаты, касающиеся компактности интегральных операторов.

Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками Чезаре Арзела и Джулио Асколи. Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884), который установил достаточное условие компактности, и Арзела (1895), который установил необходимое условие и дал первое четкое представление результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) на множества вещественнозначных непрерывных функций с областью определения компактного метрического пространства (Dunford Schwartz 1958, стр. 382). Современные формулировки теоремы допускают, чтобы область была компактной Хаусдорф, а диапазон значений - произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного хаусдорфового пространства в равномерное пространство было компактным в компактном - открытая топология ; см. Келли (1991, стр. 234).

Содержание

1 Утверждение и первые следствия
- 1.1 Примеры
  - 1.1.1 Дифференцируемые функции
  - 1.1.2 Непрерывные функции Липшица и Гёльдера
  - 1.1.3 Евклидовы пространства
2 Обобщения
- 2.1 Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства
3 Необходимость
4 Примеры
5 См. Также
6 Ссылки

Утверждение и первые следствия

По определению, последовательность { f n}n∈Nиз непрерывных функций на интервале I = [a, b] равномерно ограничено, если существует число M такое, что

| f n (x) | ≤ M {\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) \ right | \ leq M}

\ left | f_ {n} (x) \ right | \ leq M

для каждой функции f n, принадлежащей последовательности, и каждого x ∈ [a, b]. (Здесь M должно быть независимым от n и x.)

Последовательность называется равномерно равностепенной, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что

| f n (x) - f n (y) | < ε {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }

\ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | <\ varepsilon

всякий раз, когда | x - y | < δ for all functions fn в последовательности. (Здесь δ может зависеть от ε, но не от x, y или n.)

Одна версия теоремы может быть сформулирована следующим образом:

Рассмотрим последовательность вещественных значные непрерывные функции {f n}n ∈ N, определенные на замкнутом и ограниченном интервале [a, b] вещественной прямой. Если эта последовательность равномерно ограничена и равномерно равностепенно непрерывна, то существует подпоследовательность {f nk}k ∈ N, которая сходится равномерно.

Обратное также верно в том смысле, что если каждая подпоследовательность {f n } сама имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, то {f n } равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.

Доказательство -

Доказательство по существу основано на аргументе диагонализации . Простейший случай - это вещественные функции на замкнутом и ограниченном интервале:

Пусть I = [a, b] ⊂ R - замкнутый и ограниченный интервал. Если F представляет собой бесконечный набор функций f: I → R, который равномерно ограничен и равностепенно непрерывен, то существует последовательность f n элементов F такое, что f n сходится равномерно на I.

Зафиксируем перечисление {x i}i ∈ Nрациональных чисел в I. Поскольку F равномерно ограничено, множество точек {f (x 1)}f∈Fограничено, и, следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса существует последовательность {f n1} различные функции в F такие, что {f n1(x1)} сходится. Повторяя тот же аргумент для последовательности точек {f n1(x2)}, существует подпоследовательность {f n2} из {f n1} такая, что {f n2(x2)} сходится.

По индукции этот процесс может продолжаться бесконечно, и поэтому существует цепочка подпоследовательностей

{fn 1} ⊇ {fn 2} ⊇ ⋯ {\ displaystyle \ left \ {f_ {n_ {1} } \ right \} \ supseteq \ left \ {f_ {n_ {2}} \ right \} \ supseteq \ cdots}

\ left \ {f_ {n_ {1}} \ right \} \ supseteq \ left \ { f_ {n_ {2}} \ right \} \ supseteq \ cdots

такой, что для каждого k = 1, 2, 3,... подпоследовательность { f nk} сходится в x 1,..., x k. Теперь сформируйте диагональную подпоследовательность {f }, у которой m-й член f m является m-м членом в m-й подпоследовательности {f nm}. По построению f m сходится в каждой рациональной точке из I.

Следовательно, при любом ε>0 и рациональном x k в I, существует целое число N = N (ε, x k) такое, что

| f n (x k) - f m (x k) | < ε 3, n, m ≥ N. {\displaystyle |f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.}

| f_ {n} (x_ {k}) - f_ {m} (x_ {k}) | <{\ tfrac {\ varepsilon} {3}}, \ qquad n, m \ geq N.

Поскольку семейство F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и для каждого x в I существует открытый интервал U x, содержащий x такой, что

| f (s) - f (t) | < ε 3 {\displaystyle |f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}

| f (s) -f (t) | <{\ tfrac {\ varepsilon} {3}}

для всех f ∈ F и всех s, t в I таких, что s, t ∈ U x.

Набор интервалов U x, x ∈ I, образует открытое покрытие I. Поскольку I компактно, по теореме Гейне-Бореля это покрытие допускает конечное подпокрытие U 1,..., U J. Существует целое число K такое, что каждый открытый интервал U j, 1 ≤ j ≤ J, содержит рациональное число x k с 1 ≤ k ≤ K. Наконец, для любого t ∈ I, существуют j и k, так что t и x k принадлежат одному и тому же интервалу U j. Для этого выбора k

| f n (t) - f m (t) | ≤ | f n (t) - f n (x k) | + | f n (x k) - f m (x k) | + | f m (x k) - f m (t) | < ε 3 + ε 3 + ε 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}}

{\ begin {align} \ left | f_ {n} (t) -f_ {m} (t) \ right | \ leq \ left | f_ {n} (t) -f_ {n} (x_ {k}) \ right | + | f_ {n} (x_ {k}) - f_ {m} (x_ {k}) | + | f_ {m} (x_ {k}) - f_ {m} (t) | \\ <{\ tfrac {\ varepsilon} {3}} + {\ tfrac {\ varepsilon} { 3}} + {\ tfrac {\ varepsilon} {3}} \ end {align}}

для всех n, m>N = max {N (ε, x 1),..., N (ε, x K)}. Следовательно, последовательность {f n } является равномерно Коши и, следовательно, сходится к непрерывной функции, как заявлено. Это завершает доказательство.

Примеры

Дифференцируемые функции

Гипотезам теоремы удовлетворяет равномерно ограниченная последовательность {f n } дифференцируемых функций с равномерно ограниченные производные. В самом деле, равномерная ограниченность производных означает, согласно теореме о среднем значении, что для всех x и y

| f n (x) - f n (y) | ≤ K | х - у |, {\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |,}

\ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |,

где K - верхняя грань производных функций в последовательности и не зависит от n. Итак, при ε>0 положим δ = ε / 2K, чтобы проверить определение равностепенной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие:

Пусть {f n } - равномерно ограниченная последовательность действительных дифференцируемых функций на [a, b] такая, что производные {f n ′} Равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность {f nk}, которая сходится равномерно на [a, b].

Если вдобавок последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то производные также сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности), и так далее. Другое обобщение имеет место для непрерывно дифференцируемых функций. Предположим, что функции f n непрерывно дифференцируемы с производными f ′ n. Предположим, что f n ′ равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, а последовательность {f n } поточечно ограничена (или просто ограничена в одной точке). Тогда существует подпоследовательность {f n }, равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.

Аргумент диагонализации также может использоваться, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также сходятся равномерно. Это особенно важно в теории распределений.

Непрерывные функции Липшица и Гёльдера

Аргумент, приведенный выше, доказывает немного больше, а именно

Если {f n } является равномерно ограниченной последовательностью вещественнозначных функций на [a, b] такая, что каждая f непрерывна по Липшицу с той же постоянной Липшица K:

| f n (x) - f n (y) | ≤ K | х - у | {\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |}

\ left | f_ {n} (x) - f_ {n} (y) \ right | \ leq K | xy |

для всех x, y ∈ [a, b] и всех f n, то существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на [a, b].

Предельная функция также липшицева с тем же значением K для константы Липшица. Небольшое уточнение:

Набор F функций f на [a, b], который равномерно ограничен и удовлетворяет условию Гельдера порядка α, 0 < α ≤ 1, with a fixed constant M,

| f (x) - f (y) | ≤ M | х - у | α, x, y ∈ [a, b] {\ displaystyle \ left | f (x) -f (y) \ right | \ leq M \, | xy | ^ {\ alpha}, \ qquad x, y \ in [a, b]}

\ left | f (x) -f (y) \ right | \ leq M \, | xy | ^ {\ alpha}, \ qquad x, y \ in [a, b]

относительно компактно в C ([a, b]). В частности, единичный шар пространства Гёльдера C ([a, b]) компактен в C ([a, b]).

В более общем случае это верно для скалярных функций на компактной метрике пространство X, удовлетворяющее условию Гёльдера относительно метрики на X.

Евклидовы пространства

Теорема Арцела – Асколи верна, в более общем смысле, если функции f n принимают значений в d-мерном евклидовом пространстве R, и доказательство очень простое: просто примените R -значную версию теоремы Арцела – Асколи d раз, чтобы извлечь подпоследовательность, которая равномерно сходится в первая координата, затем подпоследовательность, которая равномерно сходится в первых двух координатах, и так далее. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.

Обобщения

Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства

Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольных компактных метрических пространств и, в более общем смысле, компактные пространства Хаусдорфа. Пусть X - компактное хаусдорфово пространство, и пусть C (X) - пространство вещественнозначных непрерывных функций на X. Подмножество F ⊂ C (X) называется равностепенно непрерывно, если для любого x ∈ X и любого ε>0 x имеет окрестность U x такую, что

∀ y ∈ U x, ∀ f ∈ F: | f (y) - f (x) | < ε. {\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon.}

\ forall y \ in U_ {x}, \ forall f \ в \ mathbf {F}: \ qquad | f (y) -f (x) | <\ varepsilon.

Множество F ⊂ C (X, R ) называется поточечно ограниченным, если для любого x ∈ X

sup {| f (x) | : f ∈ F} < ∞. {\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty.}

\ sup \ {| f (x) |: f \ in \ mathbf {F} \} <\ infty.

Версия теоремы верна также в пространстве C (X) вещественнозначных непрерывных функций на компакте хаусдорфовом пространстве X (Dunford Schwartz 1958, §IV.6.7):

Пусть X - компактное хаусдорфово пространство. Тогда подмножество F C (X) является относительно компактным в топологии, индуцированной равномерной нормой тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничены.

Теорема Арцела – Асколи, таким образом, является фундаментальным результатом при изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве.

Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Hausdorff) топологическом векторном пространстве с минимальными изменениями в утверждении (см., Например, Kelley Namioka (1982, §8), Kelley (1991, глава 7)):

Пусть X - компактное хаусдорфово пространство, а Y - метрическое пространство. Тогда F ⊂ C (X, Y) компактно в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно, поточечно относительно компактно и замкнуто.

Здесь поточечная относительная компактность означает, что для каждого x ∈ X множество Fx= {f (x): f ∈ F } относительно компактно в Y.

Данное доказательство можно обобщить таким образом, чтобы не полагаться на отделимость области. На компактном хаусдорфовом пространстве X, например, равностепенная непрерывность используется для выделения для каждого ε = 1 / n конечного открытого покрытия X такого, что колебание любой функции в семействе меньше ε на каждом открытом множестве в крышке. Тогда роль рациональных чисел может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного множества покрытий, полученных таким образом, и основная часть доказательства проходит точно так же, как указано выше.

Необходимость

В то время как большинство формулировок теоремы Арцела – Асколи утверждают достаточные условия для (относительно) компактности семейства функций в некоторой топологии, эти условия обычно также необходимы. Например, если множество F компактно в C (X), банаховом пространстве вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C (X) и, в частности, поточечно ограничена. Пусть N (ε, U) - множество всех функций из F, колебание которых над открытым подмножеством U ⊂ X меньше ε:

N (ε, U) = {f | osc U ⁡ f < ε }. {\displaystyle N(\varepsilon,U)=\{f|\operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}

N (\ varepsilon, U) = \ {f | \ operatorname {osc} _ {U} f <\ varepsilon \}.

Для фиксированных x∈X и ε множества N (ε, U) образуют открытое покрытие F, поскольку U изменяется во всех открытых окрестностях x. Выбор конечного подпокрытия обеспечивает равностепенную непрерывность.

Примеры

Для каждой функции g, которая p-интегрируема на [0, 1], с 1 < p ≤ ∞, associate the function G defined on [0, 1] by

G (x) = ∫ 0 x g (t) d t. {\ displaystyle G (x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, \ mathrm {d} t.}

G ( x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, \ mathrm {d} t.

Пусть F - набор функций G, соответствующих функциям g в единичном шаре пространства L ([0, 1]). Если q является сопряженным по Гельдеру функции p, определяемым соотношением 1 / p + 1 / q = 1, то неравенство Гельдера означает, что все функции в F удовлетворяют условию Гельдера с α = 1 / q и константа M = 1.

Отсюда следует, что F компактно в C ([0, 1]). Это означает, что соответствие g → G определяет компактный линейный оператор T между банаховыми пространствами L ([0, 1]) и C ([0, 1]). Комбинируя с инъекцией C ([0, 1]) в L ([0, 1]), мы видим, что T действует компактно из L ([0, 1]) в себя. Случай p = 2 можно рассматривать как простой пример того факта, что инъекция из пространства Соболева

H 0 1 (Ω) {\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

H_ {0} ^ {1} (\ Omega)

в L (Ω), для Ω ограниченное открытое множество в R компактно.

Когда T - компактный линейный оператор из банахова пространства X в Банахово пространство Y, его транспонированное T компактно из (непрерывного) двойственного Y к X. Это можно проверить с помощью теоремы Арцела – Асколи.

В самом деле, образ T (B) замкнутого единичного шара B множества X содержится в компактном подмножестве K множества Y. Единичный шар B множества Y определяет, ограничивая Y до K, множество F (линейных) непрерывных функции на K, ограниченные и равностепенно непрерывные. По Арзела – Асколи, для каждой последовательности {y. n} в B существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на K, и это означает, что изображение

T ∗ (ynk ∗) {\ displaystyle T ^ {* } (y_ {n_ {k}} ^ {*})}

T ^ {*} (y_ {n_ {k}} ^ {*})

этой подпоследовательности является Коши в X.

Когда f голоморфно в открытом диске D 1 = B (z 0, r) с модулем, ограниченным M, тогда (например, по формуле Коши ) его производная f 'имеет модуль, ограниченный 2M / r в меньшем диске D 2 = B (z 0, r / 2). Если семейство голоморфных функций на D 1 ограничено M на D 1, отсюда следует, что семейство F ограничений на D 2 равностепенно непрерывно на D 2. Следовательно, последовательность, сходящаяся равномерно на D 2, может быть извлечена. Это первый шаг в направлении теоремы Монтеля.

См. Также

Ссылки

Арзела, Чезаре (1895), " Sulle funzioni di linee ", Mem. Accad. Sci. Ist. Болонья Cl. Sci. Fis. Mat., 5 (5): 55–74.
Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno all serie di funzioni", Rend. Dell 'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159.
Ascoli, G. (1883–1884), «Le curve limit di una varietà data di curve», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Мат. Nat., 18 (3): 521–586.
Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10, Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа, Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1, Wiley-Interscience.
Фреше, Морис (1906), "Sur quelques points du Calcul fonctionnel" (PDF), Rend. Circ. Мат. Палермо, 22 : 1–74, doi : 10.1007 / BF03018603, hdl : 10338.dmlcz / 100655.
Kelley, JL (1991), General topology, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
Kelley, JL; Намиока, И. (1982), Линейные топологические пространства, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8

Эта статья включает материал из теоремы Асколи – Арцела по PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.