Теорема Больцано – Вейерштрасса

редактировать

Ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность

В математике, особенно в реальном анализе, теорема Больцано – Вейерштрасса, названная в честь Бернарда Больцано и Карла Вейерштрасса, является фундаментальным результатом о сходимости в конечномерном евклидовом пространстве R. Теорема утверждает, что каждая ограниченная последовательность в R имеет сходящуюся подпоследовательность. Эквивалентная формулировка состоит в том, что подмножество из R является последовательно компактным тогда и только тогда, когда оно закрыто и ограничено. Эту теорему иногда называют теоремой о последовательной компактности .

Содержание

1 История и значение
2 Доказательство
3 Альтернативное доказательство
4 Последовательная компактность в евклидовых пространствах
5 Применение в экономике
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История и значение

Теорема Больцано – Вейерштрасса названа в честь математиков Бернарда Больцано и Карл Вейерштрасс. Фактически это было впервые доказано Больцано в 1817 году как лемма в доказательстве теоремы о промежуточном значении. Примерно пятьдесят лет спустя результат был признан значительным сам по себе и снова доказан Вейерштрассом. С тех пор она стала важной теоремой анализа.

Доказательство

Сначала мы докажем теорему, когда $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , в котором Если порядок на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ может быть использован с пользой. Действительно, мы имеем следующий результат.

Лемма : Каждая бесконечная последовательность $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ имеет монотонную подпоследовательность.

Доказательство : давайте назовем положительное целое число $n {\ displaystyle n}$ $n$ a "пик последовательности "если $n < m {\displaystyle n$ $n<m$ подразумевает $xn>xm {\ displaystyle x_ {n}>x_ {m}}$ $x_{n}>x_ {m}$ то есть, если $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ больше, чем каждый последующий член $xm {\ displaystyle x_ {m}}$ $x_{m}$ в последовательности. Предположим сначала, что последовательность имеет бесконечно много пиков, $n 1 < n 2 < n 3 < ⋯ < n j < … {\displaystyle n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} <\ dots <n_ {j} <\ dots}$ . Тогда подпоследовательность $(xnj) {\ displaystyle (x_ {n_ {j}})}$ ${\ displaystyle (x_ {n_ {j}})}$ , соответствующая этим пикам, монотонно убывает. Итак, предположим теперь, что существует только конечное число пиков, пусть $N {\ displaystyle N}$ $N$ будет последним пиком, а $n 1 = N + 1 {\ disp Laystyle n_ {1} = N + 1}$ ${\ displaystyle n_ {1} = N + 1}$ . Тогда $n 1 {\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ не является пиком, поскольку $N < n 1 {\displaystyle N$ ${\ displaystyle N <n_ {1}}$ , что подразумевает наличие $n 2 {\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ с $n 1 < n 2 {\displaystyle n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1} <n_ {2}}$ и $xn 1 ≤ xn 2 {\ displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}}}$ ${\ displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}}}$ . Опять же, $n 2>N {\ displaystyle n_ {2}>N}$ $n_{2}>N$ не является пиком, поэтому существует $n 3 {\ displaystyle n_ {3}}$ $n_ {3}$ где $n 2 < n 3 {\displaystyle n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2} <n_ {3}}$ с $xn 2 ≤ xn 3 {\ displaystyle x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}}}$ ${\ displaystyle x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}}}$ . Повторение этого процесса приводит к бесконечная неубывающая подпоследовательность $xn 1 ≤ xn 2 ≤ xn 3 ≤… {\ displaystyle x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}} \ leq \ ldots }$ $x_ {n_ {1}} \ leq x_ {n_ {2}} \ leq x_ {n_ {3}} \ leq \ ldots$ , по желанию.

Теперь предположим, что у вас есть ограниченная последовательность в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ; по лемме существует монотонная подпоследовательность, обязательно ограниченная. Из теоремы о монотонной сходимости следует, что эта подпоследовательность должна сходиться.

Наконец, общий случай может сводится к случаю $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ следующим образом: с учетом ограниченной последовательности в $R n {\ dis playstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , последовательность первых координат является ограниченной действительной последовательностью, следовательно, имеет сходящуюся подпоследовательность. Затем можно выделить подпоследовательность, в которой сходятся вторые координаты, и так далее, пока в конце мы не перейдем от исходной последовательности к подпоследовательности $n {\ displaystyle n}$ $n$ раз, то есть по-прежнему является подпоследовательностью исходной последовательности, на которой сходится каждая координатная последовательность, следовательно, сама подпоследовательность сходится.

Альтернативное доказательство

Существует также альтернативное доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса с использованием вложенных интервалов. Начнем с ограниченной последовательности $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ :

Потому что $(xn) n ∈ N {\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${ \ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ограничен, эта последовательность имеет нижнюю границу $s {\ displaystyle s}$ $s$ и верхнюю границу $S {\ displaystyle S}$ $S$ .
Возьмем $I 1 = [s, S] {\ displaystyle I_ {1} = [s, S]}$ ${\ displaystyle I_ {1} = [s, S]}$ в качестве первого интервала для последовательности вложенных интервалов.
Затем мы разбиваем $I 1 {\ displaystyle I_ {1}}$ $I_ {1}$ посередине на два подинтервала одинакового размера.
Мы берем этот подинтервал как второй интервал $I 2 {\ displaystyle I_ {2}}$ $I_{2}$ последовательности вложенных интервалов, которая содержит бесконечно много членов $(xn) n ∈ N {\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${ \ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ . Поскольку каждая последовательность имеет бесконечно много элементов, должен быть хотя бы один подинтервал, содержащий бесконечно много элементов.
Затем мы снова разбиваем $I 2 {\ displaystyle I_ {2}}$ $I_{2}$ посередине на два подинтервала одинакового размера.
Снова мы берем этот подинтервал как третий подынтервал $I 3 {\ displaystyle I_ {3}}$ $I_ {3}$ последовательности вложенных интервалов, которая содержит бесконечно много элементов $(xn) n ∈ N {\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${ \ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ .
Мы продолжаем этот процесс бесконечно много раз. Таким образом, мы получаем последовательность вложенных интервалов.

Поскольку мы уменьшаем длину интервала вдвое на каждом шаге, предел длины интервала равен нулю. Таким образом, существует число $x {\ displaystyle x}$ $x$ , которое находится в каждом интервале $I n {\ displaystyle I_ {n}}$ $I_{n}$ . Теперь покажем, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ является точкой накопления $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ .

Возьмите окрестность $U {\ displaystyle U}$ $U$ из $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Поскольку длина интервалов сходится к нулю, существует интервал $IN {\ displaystyle I_ {N}}$ $I_ {N}$ , который является подмножеством $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Поскольку $IN {\ displaystyle I_ {N}}$ $I_ {N}$ по своей конструкции содержит бесконечно много членов $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ и $IN ⊆ U {\ displaystyle I_ {N} \ substeq U}$ ${\ displaystyle I_ {N} \ substeq U}$ , также $U {\ displaystyle U}$ $U$ содержит бесконечно много членов $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ . Это доказывает, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ является точкой накопления $(x n) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ . Таким образом, существует подпоследовательность $(xn) {\ displaystyle (x_ {n})}$ $(x_{n})$ , которая сходится к $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Последовательная компактность в евклидовых пространствах

Предположим, что A - это подмножество R со свойством, что каждая последовательность в A имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу A. Тогда A должен быть ограничен, поскольку в противном случае существует последовательность x m в A с || x m || ≥ m для всех m, и тогда каждая подпоследовательность неограничена и, следовательно, не сходится. Более того, A должна быть замкнута, поскольку из не внутренней точки x в дополнении к A можно построить A-значную последовательность, сходящуюся к x. Таким образом, подмножества A из R, для которых каждая последовательность в A имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу A, то есть подмножества, которые последовательно компактны в топологии подпространства - в точности замкнутые и ограниченные подмножества.

Эта форма теоремы особенно проясняет аналогию с теоремой Гейне – Бореля, которая утверждает, что подмножество R компактно тогда и только тогда, когда он замкнут и ограничен. Фактически, общая топология говорит нам, что метризуемое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно, так что теоремы Больцано – Вейерштрасса и Гейне – Бореля по существу одинаковы.

Применение в экономике

В экономике существуют различные важные концепции равновесия, для доказательства существования которых часто требуются вариации теоремы Больцано – Вейерштрасса. Одним из примеров является наличие распределения, эффективного по Парето. Распределение - это матрица пакетов потребления для агентов в экономике, и распределение является эффективным по Парето, если в него нельзя внести никаких изменений, которые не ухудшают положение ни одного агента и хотя бы одного агента лучше (здесь строки матрицы распределения должны быть ранжированы с помощью отношения предпочтения ). Теорема Больцано – Вейерштрасса позволяет доказать, что если множество распределений компактно и непусто, то система имеет распределение, эффективное по Парето.

См. Также

Примечания

Ссылки

Бартл, Роберт G.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Дж. Вили.
Фитцпатрик, Патрик М. (2006). Advanced Calculus (2-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-37603-7.

Внешние ссылки