Полнота действительных чисел

Интуитивно полнота подразумевает, что в теге <отсутствуют какие-либо «пробелы» (по терминологии Дедекинда) или «пропущенные точки» 125>строка действительного числа. Это контрастирует с рациональными числами, чья соответствующая числовая строка имеет «пробел» при каждом иррациональном значении. В десятичной системе счисления полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр фактически является десятичным представлением некоторого действительного числа.

В зависимости от конструкции используемых действительных чисел полнота может принимать форму аксиомы (аксиома полноты ) или может быть теоремой. доказано на основании конструкции. Существует множество эквивалентных форм полноты, наиболее заметными из которых являются полнота Дедекинда и полнота Коши (полнота как метрическое пространство ).

• 1 Формы полноты
  • 1.1 Свойство наименьшей верхней границы
  • 1.2 Дедекиндова полнота
  • 1.3 Полнота Коши
  • 1.4 Теорема о вложенных интервалах
  • 1.5 Теорема о монотонной сходимости
  • 1.6 Больцано –Теорема Вейерштрасса
  • 1.7 Теорема о промежуточном значении
• 2 См. Также
• 3 Ссылки

вещественные числа могут быть определены синтетически как упорядоченное поле, удовлетворяющее некоторой версии аксиомы полноты . Различные версии этой аксиомы эквивалентны в том смысле, что любое упорядоченное поле, удовлетворяющее одной форме полноты, удовлетворяет всем им, за исключением теоремы о полноте Коши и вложенных интервалов, которые строго слабее в том смысле, что существует не Архимедовы поля, упорядоченные и завершенные по Коши. Когда вместо этого действительные числа построены с использованием модели, полнота становится теоремой или набором теорем.

Свойство наименьшей верхней границы

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что каждое непустое подмножество действительных чисел, имеющих верхнюю границу должен иметь наименьшую верхнюю границу (или верхнюю грань) в наборе действительных чисел.

Строка рационального числа Qне имеет свойства наименьшей верхней границы. Примером может служить подмножество рациональных чисел

У этого набора есть верхняя граница. Однако этот набор не имеет наименьшей верхней границы в Q : наименьшая верхняя граница как подмножество действительных чисел будет √2, но ее не существует в Q . Для любой верхней границы x ∈ Q существует другая верхняя граница y ∈ Q с y < x.

. Например, возьмем x = 1,5, тогда x, безусловно, будет верхним оценка S, так как x положительно и x = 2.25 ≥ 2; то есть ни один элемент S не превышает x. Однако мы можем выбрать меньшую верхнюю границу, например y = 1,45; это также верхняя граница S по тем же причинам, но она меньше, чем x, поэтому x не является наименьшей верхней границей S. Мы можем действовать аналогично, чтобы найти верхнюю границу S, которая меньше y, скажем, z = 1,42 и т. д., так что мы никогда не находим наименьшую верхнюю границу S в Q.

Свойство наименьшей верхней границы может быть обобщено для настройки частично упорядоченных множеств. См. полнота (теория порядка).

Дедекиндова полнота

См. Дедекиндская полнота для более общих концепций, носящих это имя.

Дедекиндовая полнота - это свойство, которое каждый дедекиндовский разрез действительных чисел генерируется действительным числом. В синтетическом подходе к действительным числам это вариант полноты, который чаще всего включается в качестве аксиомы.

Строка рациональных чисел Qне является полной по Дедекинду. Примером может служить разрез Дедекинда

$R\; =\; \{x\; \in \; Q\; |\; x\; 2\; \ge \; 2\; x>0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; |\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 2\; \backslash \; wedge\; x>0\; \backslash \}.\}$

L не имеет максимума, а R не имеет минимума, поэтому это сокращение не генерируется рациональным числом.

Существует конструкция действительных чисел, основанная на идее использования дедекиндовских сокращений рациональных чисел для именования действительных чисел; например, cut (L, R), описанный выше, будет называться $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$. Если бы можно было повторить построение действительных чисел с сокращениями Дедекинда (т. е. "закрыть «набор действительных чисел путем добавления всех возможных сокращений Дедекинда), можно не получить никаких дополнительных чисел, потому что действительные числа уже являются полными по Дедекинду.

Полнота Коши

Полнота Коши - это утверждение, что каждое Последовательность Коши действительных чисел сходится.

Строка рациональных чисел Qне является Коши завершен. Примером может служить следующая последовательность рациональных чисел:

$3,\; 3.1,\; 3.14,\; 3.142,\; 3.1416,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 3,\; \backslash \; quad\; 3.1,\; \backslash \; quad\; 3.14,\; \backslash \; quad\; 3.142,\; \backslash \; quad\; 3.1416,\; \backslash \; quad\; \backslash \; ldots\}$

Здесь n-й член в последовательности является n-м десятичным приближением для pi. Хотя это последовательность рациональных чисел Коши, она не сходится ни к какому рациональному числу. (В этой действительной числовой строке эта последовательность сходится к пи.)

Полнота по Коши связана с построением действительных чисел с использованием последовательностей Коши. По сути, этот метод определяет действительное число как предел последовательности рациональных чисел Коши.

В математическом анализе полнота Коши может быть обобщена до понятия полноты для любого метрического пространства. См. полное метрическое пространство.

Для упорядоченного поля полнота Коши слабее, чем другие формы полноты на этой странице. Но полнота Коши и свойство Архимеда, взятые вместе, эквивалентны остальным.

Теорема о вложенных интервалах

Теорема о вложенных интервалах - еще одна форма полноты. Пусть I n = [a n, b n ] будет последовательностью замкнутых интервалов, и предположим, что эти интервалы вложены в в том смысле, что

$I\; 1\; \supset \; I\; 2\; \supset \; I\; 3\; \supset \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; I\_\; \{2\}\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; I\_\; \{3\}\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; \backslash \; cdots\}$

Кроме того, предположим, что b n-an→ 0 при n → + ∞. Теорема о вложенных интервалах утверждает, что пересечение всех интервалов I n содержит ровно одну точку.

Строка с рациональными числами не удовлетворяет теореме о вложенных интервалах. Например, последовательность (члены которой образованы из цифр пи предлагаемым способом)

$[3,\; 4]\; \supset \; [3.1,\; 3.2]\; \supset \; [3.14,\; 3.15]\; \supset \; [3.141,\; 3.142]\; \supset \; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; [3,4]\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; [3.1,3.2]\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; [3.14,3.15]\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash ;\; [3.141,3.142]\; \backslash ;\; \backslash \; supset\; \backslash \; ;\; \backslash \; cdots\}$

- это вложенная последовательность отрезков в рациональных числах, пересечение которых пусто. (В действительных числах пересечение этих интервалов содержит число pi.)

Теорема о вложенных интервалах имеет тот же логический статус, что и полнота Коши в этом спектре выражений полноты. Другими словами, теорема о вложенных интервалах сама по себе слабее, чем другие формы полноты, хотя вместе с свойством Архимеда она эквивалентна другим.

Теорема о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости (описанная как фундаментальная аксиома анализа Кёрнером (2004)) утверждает, что любая неубывающая ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Это можно рассматривать как частный случай свойства наименьшей верхней границы, но его также можно довольно непосредственно использовать для доказательства полноты Коши действительных чисел.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что каждая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность. Опять же, эта теорема эквивалентна другим формам полноты, приведенным выше.

Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция, которая достигает как отрицательных, так и положительных значений, имеет корень. Это следствие свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать для доказательства свойства наименьшей верхней границы, если рассматривать его как аксиому. (Определение непрерывности не зависит от какой-либо формы полноты, поэтому оно не является циклическим.)

• Список реальных тем анализа

• Алипрантис, Хараламбос D ; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (Третье изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Bartle, Robert G.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-32148-6.
• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Кёрнер, Томас Уильям (2004), Сопровождение анализа: второй первый и первый второй курсы анализа, AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-3447-3
• Рудин, Вальтер. Принципы математического анализа. Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Данджелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ. Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу. MAA. ISBN 0-88385-747-2.