Закрытый набор

Подмножество топологического пространства, которое содержит все точки, которые «близки» к нему

В геометрии, топология и родственные разделы математики, замкнутый набор - это набор, дополнение - это открытый набор. В топологическом пространстве замкнутый набор может быть определен как набор, содержащий все его предельные точки. В полном метрическом пространстве закрытый набор - это набор, который закрыт при операции limit.

• 1 Эквивалентные определения замкнутого множества
• 2 Свойства замкнутых множеств
• 3 Примеры замкнутых множеств
• 4 Подробнее о замкнутых множествах
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

В топологическом пространстве набор является замкнутым тогда и только тогда, когда он совпадает со своим закрытием. Эквивалентно, набор закрывается тогда и только тогда, когда он содержит все свои предельные точки. Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки.

Это не следует путать с замкнутым многообразием.

Замкнутый набор содержит свою собственную границу. Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и по-прежнему оставаться вне набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница - пустой набор, например. в метрическом пространстве рациональных чисел, для множества чисел которых квадрат меньше 2.

• Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств)
• объединение из конечного множества замкнутых множеств замкнуто.
• пустое множество замкнуто.
• весь набор замкнут.

Фактически, для данного множества X и набора F подмножеств X, обладающих этими свойствами, тогда F будет набором замкнутых множеств для уникальная топология на X. Свойство пересечения также позволяет определить замыкание множества A в пространстве X, которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество X, которое является надмножеством A. В частности, замыкание A может быть построено как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.

Наборы, которые могут быть построены как объединение счетного множества замкнутых наборов, обозначаются Fσ наборами. Эти наборы не нужно закрывать.

• Замкнутый интервал [a, b] вещественных чисел. (См. Интервал (математика) для объяснения обозначения скобок и скобок.)
• Единичный интервал [0,1] замкнут в метрическом пространстве. действительных чисел, а набор [0,1] ∩ Q рациональных чисел между 0 и 1 (включительно) замкнут в пространстве рациональных чисел, но [0,1 ] ∩ Q не является замкнутым в действительных числах.
• Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например, полуоткрытый интервал [0,1) в действительные числа.
• Некоторые множества одновременно открыты и закрыты и называются закрытыми множествами.
• луч [1, + ∞) замкнут.
• Канторовское множество является необычным замкнутым множеством в том смысле, что оно полностью состоит из граничных точек и нигде не является плотным.
• Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в Пространства Хаусдорфа.
• Набор целых чисел Zявляется бесконечным и неограниченным замкнутым множеством действительных чисел.
• Если X и Y являются топологическими пространствами, функция f из X в Y непрерывна если и только если прообразы замкнутых множеств в Y замкнуты в X.

В точечной топологии множеств множество A является замкнутым, если оно содержит всю свою границу баллов.

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств, концепции, которая имеет смысл для топологических пространств, а также для других пространств, содержащих топологические структуры, такие как метрические пространства, дифференцируемые многообразия, равномерные пространства и калибровочные пространства.

. Альтернативная характеризация замкнутых множеств доступна через последовательности и сети. Подмножество A топологического пространства X замкнуто в X тогда и только тогда, когда каждый предел каждой сети элементов A также принадлежит A. В пространстве с первым счетом (например, как метрическое пространство), вместо всех сетей достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать как определение в контексте, который является более общим, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства X, потому что сходится ли последовательность или сеть в X, зависит от того, какие точки присутствуют в X.

Замкнутый набор зависит от пространства, в котором он встроен. Однако компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми » в том смысле, что если вы вложите компактное хаусдорфово пространство K в произвольное хаусдорфово пространство X, тогда K всегда будет замкнутым подмножеством X; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна-Чеха, процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описан как примыкание к пространству пределов некоторых несходящихся сетей.

Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств X с пустым пересечением допускает конечное подмножество с пустым пересечением.

Топологическое пространство X разъединено, если существуют непересекающиеся, непустые, открытые подмножества A и B в X, объединение которых равно X. Кроме того, X полностью разъединен, если он имеет открытый базис, состоящий из замкнутых множеств.

• Открытый набор
• Набор Clopen
• Окрестности
• Регион (математика)

.