Окрестности (математика)

редактировать

Набор V {\ displaystyle V}V в плоскости является окрестностью точки p {\ displaystyle p}p , если маленький диск вокруг p {\ displaystyle p}p содержится в V { \ displaystyle V}V .

В топологии и связанных областях математики соседство (или соседство ) является одним из основных концепции в топологическом пространстве . Это тесно связано с концепциями открытого набора и интерьера. Интуитивно говоря, окрестность точки - это набор точек, содержащий эту точку, где можно переместиться на некоторое количество в любом направлении от этой точки, не выходя из набора.

Содержание

  • 1 Определения
    • 1.1 Окрестности точки
    • 1.2 Окрестности множества
  • 2 В метрическом пространстве
  • 3 Примеры
  • 4 Топология из окрестностей
  • 5 Равномерная окрестности
  • 6 Удаленное окружение
  • 7 См. также
  • 8 Ссылки

Определения

Окрестности точки

Если X {\ displaystyle X}X - это топологическое пространство, а p {\ displaystyle p}p - точка в X {\ displaystyle X}X , окрестность из p {\ displaystyle p}p является подмножеством V {\ displaystyle V}V of X {\ displaystyle X}X , который включает открытый набор U {\ displaystyle U}U , содержащий p {\ displaystyle p}p ,

p ∈ U ⊆ V. {\ displaystyle p \ in U \ substeq V.}p \ in U \ substeq V.

Это также эквивалентно тому, что p ∈ X {\ displaystyle p \ in X}p \ в X находится во внутренней части of V {\ displaystyle V}V .

Окрестность V {\ displaystyle V}V не обязательно должна быть открытым множеством. Если V {\ displaystyle V}V открыто, оно называется открытой окрестностью . Некоторые математики требуют, чтобы окрестности были открытыми, поэтому важно соблюдать соглашения.

Замкнутый прямоугольник не является окрестностью ни одного из его углов (или точек на границе).

Множество, которое является окрестностью каждой из его точек, открыто, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств содержащий каждую из его точек. Прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех своих точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в одном открытом наборе, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в точке.

Окрестность набора

Если S является подмножеством топологического пространства X, тогда окрестность S - это множество V, которое включает в себя открытый множество U, содержащее S. Отсюда следует, что множество V является окрестностью S тогда и только тогда, когда оно является окрестностью всех точек в S. Кроме того, V является окрестностью S тогда и только тогда, когда S является подмножеством внутренней точки V. Окрестность S, которая также является открытым множеством, называется открытой окрестностью точки S. Окрестность точки - это просто частный случай это определение.

В метрическом пространстве

Набор S {\ displaystyle S}S на плоскости и однородной окрестности V {\ displaystyle V}V из S {\ displaystyle S}S . Эпсилон-окрестность числа a на действительной числовой строке.

В метрическом пространстве M = (X, d) {\ displaystyle M = (X, d)}M = (X, d) , набор V {\ displaystyle V}V является окрестностью точки p {\ displaystyle p}p , если существует открытый шар с центром p {\ displaystyle p}p и радиусом r>0 {\ displaystyle r>0}r>0 , так что

B r (p) = B (p; r) = {x ∈ X ∣ d (x, p) < r } {\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)B_ {r} (p) = B (p; r) = \ {x \ in X \ mid d (x, p) <r \}

содержится в V {\ displaystyle V}V .

V {\ displaystyle V}V называется однородной окрестностью набора S {\ displaystyle S}S , если существует положительное число r {\ отображает tyle r}r так, чтобы для всех элементов p {\ displaystyle p}p из S {\ displaystyle S}S ,

B r (p) = {x ∈ X ∣ d (x, p) < r } {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)B_ {r } (p) = \ {x \ in X \ mid d (x, p) <r \}

содержится в V {\ displaystyle V}V .

для r>0 {\ displaystyle r>0}r>0 r {\ displaystyle r}r - окрестностиS r {\ displaystyle S_ {r}}S_r из набора S {\ displaystyle S}S - это набор всех точек в X {\ displaystyle X}X , которые находятся на расстоянии меньше r {\ displaystyle r}r от S {\ displaystyle S}S (или, что эквивалентно, S {\ displaystyle S}S r {\ displaystyle r}r - объединение всех открытых шаров радиуса r {\ displaystyle r}r с центром в точке в S {\ displaystyle S}S ): S r = ⋃ p ∈ SB r (p). {\ displaystyle S_ {r} = \ bigcup \ limits _ {p \ in {} S} B_ {r} (p).}{\ displaystyle S_ {r} = \ bigcup \ limits _ {p \ in {} S} B_ {r} (p).}

Отсюда непосредственно следует, что r {\ displaystyle r}r -окрестность является однородной окрестностью, и что набор является однородной окрестностью тогда и только тогда, когда он содержит r {\ displaystyle r}r -окрестность для некоторого значения r {\ displaystyle r}r .

Примеры

Множество M является окрестностью числа a, потому что существует ε-окрестность числа a, которое является подмножеством M.

Учитывая набор вещественных числа R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} с обычной евклидовой метрикой и подмножеством V {\ displaystyle V}V определяется как

V: = ⋃ n ∈ NB (n; 1 / n), {\ displaystyle V: = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} B \ left (n \,; \, 1 / n \ right),}V: = \ bigcup _ {{n \ in {\ mathbb {N}}}} B \ left (n \,; \, 1 / n \ справа),

, тогда V {\ displaystyle V}V является окрестностью для набора N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb {N} из натуральных чисел, но не является равномерной окрестностью этого набора.

Топология из окрестностей

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого набора уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии, сначала определяя систему окрестностей, а затем открывая множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.

Система соседства на X {\ displaystyle X}X - это назначение filter N (x) {\ displaystyle N (x)}N (x) подмножеств X {\ displaystyle X}X для каждого x {\ displaystyle x}x в X {\ displaystyle X}X , так что

  1. точка x {\ displaystyle x}x является элементом каждого U {\ displaystyle U}U в N (x) {\ displaystyle N (x)}N (x)
  2. каждый U {\ displaystyle U}U в N (x) {\ displaystyle N ( x)}N (x) содержит некоторые V {\ displaystyle V}V в N (x) {\ displaystyle N (x)}N (x) такие, что для каждого y {\ displaystyle y}y в V {\ displaystyle V}V , U {\ displaystyle U}U находится в N (y) {\ displaystyle N (y)}N (y) .

Можно показать, что оба определения совместимы, то есть топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Однородные окрестности

В однородном пространстве S = (X, Φ) {\ displaystyle S = (X, \ Phi)}{\ displaystyle S = (X, \ Phi)} , V {\ displaystyle V}V называется однородной окрестностью из P {\ displaystyle P}P , если существует окружение U ∈ Φ {\ displaystyle U \ in \ Phi}{\ displaystyle U \ in \ Phi} такой, что V {\ displaystyle V}V содержит все точки X {\ displaystyle X}X , которые U {\ displaystyle U}U - близки к некоторой точке P {\ displaystyle P}P ; то есть U [x] ⊆ V {\ displaystyle U [x] \ substeq V}{\ displaystyle U [x] \ substeq V} для всех x ∈ P {\ displaystyle x \ in P}x \ in P .

удаленное окружение

A удаленная окрестность точки p {\ displaystyle p}p (иногда называемая проколотой окрестностью ) является окрестностью p {\ displaystyle p}p , без {p} {\ displaystyle \ {p \}}\ {p \} . Например, интервал (- 1, 1) = {y: - 1 < y < 1 } {\displaystyle (-1,1)=\{y:-1(-1,1) = \ {y : -1 <y <1 \} является окрестностью p = 0 {\ displaystyle p = 0}p = 0 в вещественной строке , поэтому набор (- 1, 0) ∪ (0, 1) = (- 1, 1) ∖ {0} {\ displaystyle (- 1,0) \ cup (0,1) = (- 1,1) \ setminus \ {0 \}}(-1,0) \ cup (0,1) = (- 1,1) \ setminus \ {0 \ } - удаленная окрестность 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} . Удаленная окрестность данной точки на самом деле не является окрестностью точки. Концепция удаленной окрестности встречается в определении предела функции.

См. Также

Ссылки

  • Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
  • Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
  • Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.
Последняя правка сделана 2021-05-31 13:54:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте