Общая топология

редактировать

Синусоидальная кривая тополога, полезный пример в топологии с набором точек. Он связан, но не связан по пути.

В математике, общая топология - это ветвь топологии, которая имеет дело с базовым множеством- теоретические определения и конструкции, используемые в топологии. Это основа большинства других ветвей топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии - топология множества точек .

Основными понятиями топологии множества точек являются непрерывность, компактность и связность:

Непрерывные функции интуитивно переводят соседние точки в соседние точки.
Компактные наборы - это наборы, которые могут быть покрыты конечным числом наборов произвольно малого размера.
Связанные наборы - это наборы, которые нельзя разделить на две части, которые находятся далеко друг от друга.

Слова «рядом», «произвольно малые» и «далеко друг от друга» можно уточнить с помощью концепции открытых множеств. Если мы изменим определение «открытого множества», мы изменим, что такое непрерывные функции, компактные множества и связные множества. Каждый выбор определения «открытого множества» называется топологией. Набор с топологией называется топологическим пространством.

Метрические пространства - важный класс топологических пространств, где может быть определено реальное неотрицательное расстояние, также называемое метрикой. определены на парах точек в наборе. Наличие метрики упрощает многие доказательства, и многие из наиболее распространенных топологических пространств являются метрическими пространствами.

Содержание

1 История
2 Топология на множестве
- 2.1 Основа топологии
- 2.2 Подпространство и фактор
- 2.3 Примеры топологических пространств
  - 2.3.1 Дискретный и тривиальный топологии
  - 2.3.2 Конечная и соединяемая топологии
  - 2.3.3 Топологии на вещественных и комплексных числах
  - 2.3.4 Метрическая топология
  - 2.3.5 Дополнительные примеры
3 Непрерывные функции
- 3.1 Альтернативные определения
  - 3.1.1 Определение окружения
  - 3.1.2 Последовательности и сети
  - 3.1.3 Определение оператора замыкания
- 3.2 Свойства
- 3.3 Гомеоморфизмы
- 3.4 Определение топологий с помощью непрерывных функций
4 Компактные множества
5 Связанные множества
- 5.1 Связанные компоненты
- 5.2 Разъединенные пространства
- 5.3 Связанные по путям множества
6 Произведения пространств
7 Аксиомы разделения
8 Аксиомы счетности
9 Метрические пространства
10 Теорема Бэра о категориях
11 Основные направления исследований
- 11.1 Теория континуума
- 11.2 Динамические системы
- 11.3 Бессмысленная топология
- 11.4 Теория размерностей
- 11.5 Топологические алгебры
- 11.6 Теория метризуемости
- 11.7 Теоретико-множественная топология
12 См. Также
13 Ссылки
14 Дополнительная литература
15 Внешние ссылки

История

Общие топология выросла из ряда областей, наиболее важными из которых являются следующие:

подробное изучение подмножеств вещественной линии (когда-то известной как топология наборов точек; это использование сейчас устарело)
введение многообразия концепция
изучение метрических пространств, особенно линейных нормированных пространств, на заре функционального анализа.

Общая топология приняла свою нынешнюю форму примерно в 1940 году. Она улавливает, можно сказать, почти все в интуиции непрерывности в технически адекватном форма, которая может быть применена в любой области математики.

Топология на множестве

Пусть X будет множеством и пусть τ будет семейством из подмножеств X. Тогда τ называется топология на X, если:

И пустой набор, и X являются элементами τ
Любое объединение элементов τ является элементом τ
Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ

Если τ - топология на X, то пара (X, τ) называется топологическим пространством. Обозначение X τ может использоваться для обозначения набора X, наделенного конкретной топологией τ.

Элементы τ называются открытыми множествами в X. Подмножество X называется закрытым, если его дополнение находится в τ (т.е. его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, закрытым, обоими (clopen set ) или ни одним из них. Пустое множество и сам X всегда закрыты и открыты.

Основа для топологии

A base (или base ) B для топологического пространства X с топологией T является набор открытых множеств в T, так что каждое открытое множество в T может быть записано как объединение элементов B. Мы говорим, что база порождает топологию T. Базы полезны, потому что многие свойства топологий могут быть сводится к утверждениям о базе, которая генерирует эту топологию, и потому, что многие топологии легче всего определить в терминах базы, которая их генерирует.

Подпространство и фактор

Каждому подмножеству топологического пространства может быть задана топология подпространства, в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножество. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология произведения, которая генерируется из прообразов открытых наборов факторов под проекцией сопоставления. Например, в конечных продуктах основу топологии продукта составляют все продукты открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, составляли все пространство.

A фактор-пространство определяется следующим образом: если X - топологическое пространство, а Y - множество, и если f: X → Y - сюръективная функция, то Фактор-топология на Y - это совокупность подмножеств Y, которые имеют открытые прообразы при f. Другими словами, фактор-топология - это тончайшая топология на Y, для которой f непрерывна. Типичный пример фактор-топологии - это когда отношение эквивалентности определено на топологическом пространстве X. Тогда отображение f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности.

Примеры топологических пространств

У данного набора может быть много разных топологий. Если набору задается другая топология, он рассматривается как другое топологическое пространство.

Дискретные и тривиальные топологии

Любому набору может быть дана дискретная топология, в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или цепями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге являются постоянными. Кроме того, любому набору может быть задана тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), в которой только пустое множество и все пространство открыты. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, где предельные точки уникальны.

Конечная и сосчетная топологии

Любому множеству может быть дана конечная топология, в которой открытые множества являются пустым множеством и множествами, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T1 на любом бесконечном множестве.

Любому набору может быть присвоена сопоставляемая топология, в которой набор определяется как открытый, если он либо пуст, либо его дополнение счетно. Когда набор неисчислим, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.

Топологии действительных и комплексных чисел

Есть много способов определить топологию на R, наборе действительных чисел. Стандартная топология на R генерируется с помощью открытых интервалов. Набор всех открытых интервалов образует базу или основу для топологии, что означает, что каждый открытый набор является объединением некоторого набора наборов из базы. В частности, это означает, что набор является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки набора. В более общем смысле, евклидовым пространствам Rможет быть задана топология. В обычной топологии на R базовыми открытыми множествами являются открытые шары. Аналогично, C, набор комплексных чисел и C имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.

Реальная линия также может иметь топологию нижнего предела. Здесь основные открытые множества - это полуоткрытые интервалы [a, b). Эта топология на R строго более тонкая, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.

Метрическая топология

Каждому метрическому пространству может быть задана метрическая топология, в которой основные открытые множества представляют собой открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства. На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Дополнительные примеры

Существует множество топологий на любом заданном конечном множестве. Такие пространства называются конечными топологическими пространствами. Конечные пространства иногда используются, чтобы предоставить примеры или контрпримеры к гипотезам о топологических пространствах в целом.
Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследует естественную топологию от R.
. Топология Зарисского определена алгебраически на спектре кольца или алгебраическое многообразие. На R или C замкнутые множества топологии Зарисского являются наборами решений систем полиномиальных уравнений.
A линейных граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами.
Множество наборов линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.
Любое локальное поле имеет родную для это, и это может быть расширено до векторных пространств над этим полем.
Пространство Серпинского - простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.
Если Γ является порядковым номером, то множество Γ = [0, Γ) может быть снабжено с топологией порядка , порожденной интервалами (a, b), [0, b) и (a, Γ), где a и b - элементы Γ.

Непрерывные функции

Непрерывность выражается в терминах окрестностей : f непрерывна в некоторой точке x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V точки f (x) существует окрестность U точки x такая, что f (U) ⊆ V. Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «маленьким» V становится, всегда существует U, содержащее x, которое отображается внутри V и чей образ под f содержит f (x). Это эквивалентно условию, что прообразы открытых (замкнутых) множеств в Y открыты (замкнуты) в X. В метрических пространствах это определение эквивалентно ε – δ-определению, который часто используется в анализе.

Экстремальный пример: если множеству X задана дискретная топология, все функции

f: X → T {\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow T}

f \ двоеточие X \ rightarrow T

к любому топологическому пространству T непрерывны. С другой стороны, если X снабжен недискретной топологией и набор пространств T не меньше T0, то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, диапазон значений которой не дискретен, непрерывна.

Альтернативные определения

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры, поэтому существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Определение окружения

Определения, основанные на прообразах, часто трудно использовать напрямую. Следующий критерий выражает непрерывность в терминах окрестностей : f непрерывна в некоторой точке x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой окрестности V точки f (x) существует окрестность U точки x такая, что f ( U) ⊆ V. Интуитивно непрерывность означает, что независимо от того, насколько «маленьким» V становится, всегда существует U, содержащее x, которое отображается внутри V.

Если X и Y - метрические пространства, это эквивалентно рассмотрению система окрестностей из открытых шаров с центрами в x и f (x) вместо всех окрестностей. Это возвращает приведенное выше определение непрерывности δ-ε в контексте метрических пространств. Однако в общих топологических пространствах нет понятия близости или расстояния.

Обратите внимание, однако, что если целевым пространством является Хаусдорф, все еще верно, что f является непрерывным в a тогда и только тогда, когда предел f при приближении x к a равен f (a). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Последовательности и сети

В некоторых контекстах топология пространства удобно задавать в терминах предельных точек. Во многих случаях это достигается путем указания, когда точка является пределом последовательности, но для некоторых пространств, которые в некотором смысле слишком велики, также указывается, когда точка является пределом более общих множеств точек, проиндексированных направленным набором, известным как сети. Функция является непрерывной, только если она принимает пределы последовательностей до пределов последовательностей. В первом случае также достаточно сохранения лимитов; в последнем случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но при этом не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

Подробно, функция f: X → Y является последовательно непрерывной, если всякий раз, когда последовательность (x n) в X сходится к пределу x, последовательность ( f (x n)) сходится к f (x). Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция последовательно непрерывна. Если X является первым счетным пространством и имеет счетный выбор, то верно и обратное: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, является непрерывной. В частности, если X - метрическое пространство, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не подсчитываемых первым, последовательная непрерывность может быть строго слабее, чем непрерывность. (Пространства, для которых два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами.) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и фактически это свойство характеризует непрерывные функции.

Определение оператора замыкания

Вместо указания открытых подмножеств топологического пространства топология также может быть определена с помощью оператора замыкания (обозначается cl), который присваивает любое подмножество A ⊆ X его замыкание или внутренний оператор (обозначенный int), который присваивает любому подмножеству A X его внутреннее. В этих терминах функция

f: (X, cl) → (X ′, cl ′) {\ displaystyle f \ двоеточие (X, \ mathrm {cl}) \ to (X ', \ mathrm {cl} ') \,}

f\colon (X,\mathrm {cl})\to (X',\mathrm {cl} ')\,

между топологическими пространствами непрерывно в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда для всех подмножеств A из X

f (cl (A)) ⊆ cl ′ (f (A)). {\ displaystyle f (\ mathrm {cl} (A)) \ substeq \ mathrm {cl} '(f (A)).}

f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).

То есть, если любой элемент x из X, который находится в замыкании любое подмножество A, f (x) принадлежит замыканию f (A). Это эквивалентно требованию, чтобы для всех подмножеств A 'из X'

f - 1 (c l ′ (A ′)) ⊇ c l (f - 1 (A ′)). {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ mathrm {cl} '(A')) \ supseteq \ mathrm {cl} (f ^ {- 1} (A ')).}

f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).

Кроме того,

е: (X, int) → (X ', int') {\ displaystyle f \ двоеточие (X, \ mathrm {int}) \ to (X ', \ mathrm {int}') \,}

f\colon (X,\mathrm {int})\to (X',\mathrm {int} ')\,

непрерывно тогда и только тогда, когда

f - 1 (int ′ (A)) ⊆ int (f - 1 (A)) {\ displaystyle f ^ {- 1} (\ mathrm {int} '(A)) \ substeq \ mathrm {int} (f ^ {- 1} (A))}

f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))

для любого подмножества A из X.

Свойства

Если f: X → Y и g: Y → Z непрерывны, то непрерывна и композиция g ∘ f: X → Z. Если f: X → Y непрерывна и

X компактно, то f (X) компактно.
X соединен, тогда соединен f (X).
X связан по пути, тогда f (X) соединен по пути.
X равно Линделёф, тогда f (X) есть Линделёф.
X отделимо, тогда f (X) отделимо.

Возможные топологии на фиксированном множестве X являются частично упорядоченными : топология τ 1 называется более грубой, чем другая топология τ 2 <275.>(нет tation: τ 1 ⊆ τ 2), если каждое открытое подмножество относительно τ 1 также открыто относительно τ 2. Тогда тождественное отображение

idX: (X, τ 2) → (X, τ 1)

непрерывно тогда и только тогда, когда τ 1 ⊆ τ 2 (см. Также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

(X, τ X) → (Y, τ Y) {\ displaystyle (X, \ tau _ {X}) \ rightarrow (Y, \ tau _ {Y})}

(X, \ tau _ {X}) \ rightarrow (Y, \ tau _ {Y})

остается непрерывным, если топология τ Y заменена на более грубую топологию и / или τ X заменяется более тонкой топологией.

Гомеоморфизмы

Симметричной концепции непрерывной карты является открытая карта, для которой изображения открытых множеств открыты. Фактически, если открытое отображение f имеет обратную функцию, эта обратная функция является непрерывной, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, эта обратная функция открыта. Для биективной функция f между двумя топологическими пространствами, обратная функция f не обязательно должна быть непрерывной. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом.

Если непрерывная биекция имеет в качестве область определения компактное пространство и его codomain - это Hausdorff, то это гомеоморфизм.

Определение топологий с помощью непрерывных функций

Дана функция

f: X → S, {\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow S, \,}

f \ двоеточие X \ rightarrow S, \,

где X - топологическое пространство и S - это множество (без указанной топологии), конечная топология на S определяется, если открытыми множествами S будут те подмножества A из S, для которых f (A) открыто в X.Если S имеет существующую топологию, f непрерывна по отношению к этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология грубее, чем окончательная топология на S. Таким образом, окончательная топология может быть охарактеризована как лучшая топология на S, что делает f непрерывным. Если f является сюръективным, эта топология канонически отождествляется с фактор-топологией в соответствии с отношением эквивалентности, определяемым f.

Соответственно, для функции f из множества S в топологическое пространство исходная топология на S имеет в качестве открытых подмножеств A из S те подмножества, для которых f (A) открыта в X. Если S имеет существующую топологию, f непрерывна по отношению к этой топологии тогда и только тогда, когда существующая топология более тонкая, чем исходная топология на S. Таким образом, начальная топология может быть охарактеризована как грубейшая топология на S, которая делает f непрерывным. Если f инъективен, эта топология канонически отождествляется с топологией подпространства S, рассматриваемой как подмножество X.

Топология на множестве S однозначно определяется классом всех непрерывные функции $S → X {\ displaystyle S \ rightarrow X}$ $S \ rightarrow X$ во все топологические пространства X. Вдвойне аналогичная идея может быть применена к картам $X → S. {\ displaystyle X \ rightarrow S.}$ $X \ rightarrow S.$

Компактные множества

Формально топологическое пространство X называется компактным, если каждая из его открытых крышек имеет конечное дополнительное покрытие. В противном случае он называется некомпактным. Явно это означает, что для любого произвольного набора

{U α} α ∈ A {\ displaystyle \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in A}}

\ { U_ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in A}

открытых подмножеств X таких, что

Икс = ⋃ α ∈ AU α, {\ displaystyle X = \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha},}

X = \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha},

существует конечное подмножество J в A такое, что

X = ⋃ i ∈ JU i. {\ displaystyle X = \ bigcup _ {i \ in J} U_ {i}.}

X = \ bigcup _ {i \ in J} U_ {i}.

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия, обычно находящиеся под влиянием французской школы Бурбаки, используйте термин квазикомпактный для общего понятия и оставьте термин компактный для топологических пространств, которые одновременно хаусдорфовы и квазикомпактны. Компактное множество иногда называют компактом множественного числа.

Каждый закрытый интервал в R конечной длины является компактным. Верно и другое: в R набор является компактным тогда и только тогда, когда является закрытым и ограниченным. (См. теорему Гейне – Бореля ).

Всякий непрерывный образ компактного пространства компактен.

Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Всякая непрерывная биекция из компакта в хаусдорфово пространство обязательно является гомеоморфизмом.

Каждая последовательность точек в компактном метрическом пространстве имеет сходящаяся подпоследовательность.

Каждое компактное конечномерное многообразие может быть вложено в некоторое евклидово пространство R.

Связанные множества

A топологическое пространство X называется несвязным если это объединение двух непустых непустых открытых множеств. Иначе говорят, что X связан . Подмножество топологического пространства называется связным, если оно подключено в рамках своей топологии подпространства. Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но в данной статье эта практика не соблюдается.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

X связно.
X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества.
Единственные подмножества X, которые одновременно открыты и закрыты (clopen sets ), - это X и пустой набор.
Единственные подмножества X с пустой границей - это X и пустой набор.
X не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств.
Единственными непрерывными функциями от X до {0,1}, двухточечного пространства с дискретной топологией являются

Каждый интервал в R связан.

Непрерывное изображение связанного пространства связано.

Связанные компоненты

максимальные связанные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства, называются связными компонентами из космоса. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X: они непересекающиеся, непустые, и их объединение составляет все пространство. Каждый компонент является закрытым подмножеством исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности набора рациональных чисел являются одноточечными наборами, которые не являются открытыми.

Пусть $Γ x {\ displaystyle \ Gamma _ {x}}$ $\ Gamma _ {x}$ будет компонентом связности x в топологическом пространстве X, а $Γ x ′ {\ displaystyle \ Gamma _ {x} '}$ $\Gamma _{x}'$ - пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содержащих x (называемых квазикомпонентой x.) Тогда $Γ x ⊂ Γ x ′ {\ displaystyle \ Gamma _ {x} \ subset \ Gamma '_ {x}}$ $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ где равенство выполняется, если X компактно по Хаусдорфу или локально связно.

Отключенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными наборами, называется полностью отключенным. В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным, если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые окрестности U точек x и V точки y, такие как что X есть объединение U и V. Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и определите их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф, и условие полного разделения строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Связанные по путям наборы

Это подпространство R ² связано с путями, потому что путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

A путь от точки x до точки y в топологическом пространстве X - это непрерывная функция f от единичного интервала [0,1] до X с f (0) = x и f (1) = y. компонент пути X является классом эквивалентности X в соответствии с отношением эквивалентности, что делает x эквивалентным y, если существует путь от x к y.. Пространство X называется линейно связанным (или линейно связанным или 0-связанным ), если существует не более одного компонента пути, т.е. - это путь, соединяющий любые две точки в X. И снова многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое пространство с линейной связью связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны по пути, включают расширенную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога.

. Однако подмножества вещественной линии Rсоединены тогда и только тогда, когда соединены по путям; эти подмножества представляют собой интервалы из R . Кроме того, открытые подмножества из R или C соединяются тогда и только тогда, когда они соединены по путям. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств.

Произведения пространств

Для данного X такого, что

X: = ∏ i ∈ IX i, {\ displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i},}

X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i},

- декартово произведение топологических пространств X i, , индексированных по $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ и канонические проекции pi: X → X i, топология продукта на X определяется как самая грубая топология (то есть топология с наименьшим количеством открытых наборов), для которой все проекции p i являются непрерывными. Топологию продукта иногда называют топологией Тихонова .

Открытые множества в топологии продукта представляют собой объединения (конечные или бесконечные) множеств вида $∏ i ∈ IU i {\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i}}$ $\ prod _ {i \ in I} U_ {i}$ , где каждый U i открыт в X i и U i ≠ X i только конечное число раз. В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) произведение базовых элементов X i дает основу для произведения $∏ i ∈ IX i { \ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$ $\ prod _ {i \ in I } X_ {i}$ .

Топология продукта на X - это топология, генерируемая наборами формы p i (U), где i находится в I и U - открытое подмножество X i. Другими словами, наборы {p i (U)} образуют суббазу для топологии на X. Подмножество X открыто тогда и только тогда, когда это (возможно, бесконечное) объединение пересечений конечного числа множеств вида p i (U). P i (U) иногда называют открытыми цилиндрами, а их пересечения являются наборами цилиндров.

В общем, продукт топологий каждого X i формирует основу для того, что называется топологией блока на X. В целом, топология блока тоньше, чем топология продукта, но для конечных продуктов они совпадают.

С компактностью связана теорема Тихонова : (произвольное) произведение компактных пространств компактно.

Аксиомы разделения

Многие из этих имен имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как описано в История аксиом разделения ; например, значения «нормальный» и «T 4 » иногда меняются местами, аналогично «обычный» и «T 3 » и т. д. Многие из понятий также имеют несколько названий ; однако тот, который указан первым, всегда наименее вероятно будет двусмысленным.

У большинства этих аксиом есть альтернативные определения с тем же значением; приведенные здесь определения образуют единый образец, который связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством.

X равно T0, или Колмогоровым, если любые две различные точки в X топологически различимы. (Это общая тема среди аксиом разделения - иметь одну версию аксиомы, которая требует T 0, и одну версию, которая этого не делает.)
X is T1, или доступный или Фреше, если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X является T 1 тогда и только тогда, когда он одновременно является T 0 и R 0. (Хотя вы можете говорить такие вещи, как пространство T 1, топология Фреше и Предположим, что топологическое пространство X - это пространство Фреше, не говорите в этом контексте пространство Фреше, поскольку существует другое совершенно иное понятие Пространство Фреше в функциональном анализе.)
X равно Хаусдорфу или T 2 или разделено, если любые две различные точки в X разделены окрестностями. Таким образом, X является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно равно T 0 и R 1. Хаусдорфово пространство также должно быть T 1.
X is T2½ или Urysohn, если любые два различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. AT 2½ пространство также должно быть хаусдорфовым.
X является правильным, или T 3, если это T 0 и если дана любая точка x и замкнутое множество F в X, такое что x не принадлежит F, они разделены окрестностями (на самом деле, в регулярном пространстве любой такой x и F также разделен замкнутыми окрестностями.)
X равно Тихонов, или T 3½, полностью T 3, или полностью регулярный, если это T 0 и если f, для любой точки x и замкнутого множества F в X, такого что x не принадлежит F, они разделены непрерывной
X является нормальным, или T 4, если оно хаусдорфово и если любые два непересекающихся замкнутых подмножества X разделены окрестностями. (Фактически, пространство является нормальным, если и только если любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией; это лемма Урысона.)
X is полностью нормальный, или T 5 или полностью T 4, если это T 1 и если любые два разделенных набора разделены окрестностями. Полностью нормальное пространство также должно быть нормальным.
X является совершенно нормальным, или T 6, или совершенно T 4, если это T 1 и если любые два не пересекаются замкнутые множества точно разделяются непрерывной функцией. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным Хаусдорфом.

Теорема о расширении Титце : В нормальном пространстве каждая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на замкнутое подпространство может быть расширено до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

Аксиомы счетности

аксиома счетности - это свойство определенного математические объекты (обычно в категории ), требующие s наличие счетного набора с определенными свойствами, в то время как без него такие наборы могут не существовать.

Important countability axioms for topological spaces :

sequential space : a set is open if every sequence convergent to a point in the set is eventually in the set
first-countable space : every point has a countable neighbourhood basis (local base)
second-countable space : the topology has a countable base
separable space : there exists a countable dense subspace
Lindelöf space : every open cover has a countable subcover
σ-compact space : there exists a countable cover by compact spaces

Relations:

Every first countable space is sequential.
Every second-countable space is first-countabl е, сепарабельность и Линделёфа.
Каждое σ-компактное пространство линделёфское.
A метрическое пространство является счетным первым.
Для метрических пространств второсчетное пространство, отделимость и все свойство Линделёфа эквивалентно.

Метрические пространства

A метрическое пространство - это упорядоченная пара $(M, d) {\ displaystyle (M, d)}$ $(M, d)$ где $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это набор, а $d {\ displaystyle d}$ $d$ - метрика на $M {\ displaystyle M}$ $M$ , т.е. функция

d: M × M → R {\ displaystyle d \ двоеточие M \ times M \ rightarrow \ mathbb {R}}

d \ двоеточие M \ times M \ rightarrow \ mathbb {R}

такой, что для любых $x, y, z ∈ M {\ displaystyle x, y, z \ in M}$ $x, y, z \ in M $ выполняется следующее:

$d (x, y) ≥ 0 {\ displaystyle d (x, y) \ geq 0}$ $d (x, y) \ geq 0$ (неотрицательный),
$d (x, y) = 0 {\ displaystyle d (x, y) = 0 \,}$ $d (x, y) = 0 \,$ iff $x = y {\ displaystyle x = y \,}$ $x = y \,$ (идентичность неразличимых ),
$d (x, y) = d (y, x) {\ displaystyle d (x, y) = d (y, x) \,}$ $d (x, y) = d (y, x) \,$ (симметрия) и
$d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) {\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ $d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)$ (неравенство треугольника ).

Функция $d {\ displaystyle d}$ $d$ также называется функцией расстояния или просто расстоянием. Часто $d {\ displaystyle d}$ $d$ опускается и пишется просто $M {\ displaystyle M}$ $M$ для метрического пространства, если из контекста ясно, что используется метрика.

Каждое метрическое пространство - это паракомпакт и Хаусдорфа, и, следовательно, нормальный.

Теоремы метризации обеспечивают необходимые и достаточные условия для того, чтобы топология возникла из метрики.

Теорема о категориях Бэра

Теорема о категориях Бэра гласит: если X - полное метрическое пространство или локально компактное Хаусдорфово пространство, то внутренность каждого объединения счетного числа нигде не плотных множеств пуста.

Любое открытое подпространство бэровского пространства является само пространство Бэра.

Основные области исследований

Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является кривая, заполняющая пространство. Кривая Пеано изучается в теории континуума, ветви общей топологии .

теории континуума

A континуум (pl континуум) - это непустой компакт связано метрическое пространство, или, реже, компактное связано пространство Хаусдорфа. Теория континуума - раздел топологии, посвященный изучению континуумов. Эти объекты часто возникают почти во всех областях топологии и анализа, и их свойства достаточно сильны, чтобы дать множество «геометрических» свойств.

Динамические системы

Топологическая динамика касается поведения пространства и его подпространств во времени, когда оно подвергается непрерывному изменению. Многие примеры приложений к физике и другим областям математики включают гидродинамику, бильярд и потоки на коллекторах. Топологические характеристики фракталов во фрактальной геометрии, множеств Жюлиа и множества Мандельброта, возникающих в сложной динамике, и аттракторы в дифференциальных уравнениях часто имеют решающее значение для понимания этих систем.

Бессмысленная топология

Бессмысленная топология (также называется бесточечной или бесточечной топологией ) - это подход к топологии, который избегает упоминания точек. Название «бессмысленная топология» принадлежит Джону фон Нейману. Идеи бессмысленной топологии системы с мереотопологиями, в которых (наборы) как основополагающие без явной ссылки на базовые наборы точек.

Теория размеров

Теория размеров - это ветвь общей топологии, имеющая дело с топологическими пространствами.

Топологическими алгебрами

A топологической алгеброй A над топологической полем Kпредставляет собой топологическое векторное пространство вместе с непрерывным умножением

⋅: A × A ⟶ A {\ displaystyle \ cdot: A \ times A \ longrightarrow A}

\ cdot: A \ times A \ longrightarrow A

(a, б) ⟼ a ⋅ b {\ displaystyle (a, b) \ longmapsto a \ cdot b}

(a, b) \ longmapsto a \ cdot b

, что делает его алгеброй над K . Унитальная ассоциативная топологическая алгебра - это топологическое кольцо.

. Термин был введен Дэвидом ван Данцигом ; он фигурирует в названии его докторской диссертации (1931).

Теория метризуемости

В топологии и связанных областях математики метризуемое пространство является топологическим пространством ., который гомеоморфен метрическому пространству. То есть топологическое пространство $(X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ называется метризуемым, если существует метрика

d: X × X → [0, ∞) {\ displaystyle d \ двоеточие X \ times X \ to [0, \ infty)}

d \ двоеточие X \ times X \ to [0, \ infty)

таким образом, чтобы топология, индуцированная d, была $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ . Теоремы метризации - это теоремы, которые дают достаточные условия для метризуемости топологического пространства.

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология - предмет, сочетающий теорию множеств и общую топологию. Он фокусируется на топологических вопросов, которые не зависят от теории множеств Цермело - Френкеля (ZFC). Известной проблемой является вопрос о нормальном исследовании Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конце концов, было доказано, что ответ на обычный вопрос о проведении Мура не зависит от ZFC.

См. Также

Список примеров общей топологии
Глоссарий общей топологии для подробных определений
Список тем общей топологии для связанных статей
Категория топологии пробелы

Ссылки

Дополнительная литература

Некоторые стандартные книги по общей топологии включают:

Бурбаки, Topologie Générale (General Topology), ISBN 0-387-19374-X.
Джон Л. Келли (1955) Общая топология, ссылка с Интернет-архив, используется опубликовано Дэвид Ван Ностранд Компания.
Стивен Уиллард, Общая топология, ISBN 0-486-43479-6.
Джеймс Манкрес, Топология, ISBN 0-13-181629-2.
Джордж Ф. Симмонс, Введение в топологию и современный анализ, ISBN 1-575-24238-9.
, Топология: точки и геометрия, ISBN 0 -470-09605-5.
Рышард Энгелкинг, Общая топология, ISBN 3-88538-006-4.
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Dover перепечатка 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
О.Я. Виро, О.А. Иванов, В. Харламов, Н.Ю. Нецветаев, Элементарная топология: Учебник по проблемам, ISBN 978-0-8218-4506-6.
Топологические формы и их значение К.А.Русана arvXiv id- 1905.13481

Код темы arXiv : math.GN.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с общей топологией на Wikimedia Commons