Теорема существования Пеано

редактировать

Теорема о существовании решение дифференциального уравнения.

В математике, особенно при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений, теорема существования Пеано, Теорема Пеано или теорема Коши – Пеано, названная в честь Джузеппе Пеано и Огюстена-Луи Коши, является фундаментальной теоремой который гарантирует существование решений некоторых задач с начальным значением.

Содержание

1 История
2 Теорема
3 Связанные теоремы
4 Примечания
5 Ссылка nces

История

Пеано впервые опубликовал теорему в 1886 году с неверным доказательством. В 1890 г. он опубликовал новое правильное доказательство, использующее последовательные приближения.

Теорема

Пусть D будет открытым подмножеством R× Rс

f: D → R {\ displaystyle f \ двоеточие D \ to \ mathbb {R}}

f \ двоеточие D \ to {\ mathbb {R}}

непрерывная функция и

y ′ (x) = f (x, y (x)) {\ displaystyle y '(x) = f \ left (x, y (x) \ right)}

y'(x)=f\left(x,y(x)\right)

a непрерывное, явное дифференциальное уравнение первого порядка, определенное на D, то каждая задача с начальным значением

y (x 0) знак равно y 0 {\ displaystyle y \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0}}

y\left(x_{0}\right)=y_{0}

для f с $(x 0, y 0) ∈ D {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in D}$ $(x_ {0}, y_ {0}) \ in D$ имеет локальное решение

z: I → R {\ displaystyle z \ двоеточие I \ to \ mathbb {R}}

z \ двоеточие I \ to {\ mathbb {R}}

где $I {\ displaystyle I}$ $I$ - окрестность из $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , такое, что $z ′ (x) = f (x, z (x)) {\ displaystyle z '(x) = f \ left ( x, z (x) \ right)}$ $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ для всех $x ∈ I {\ displaystyle x \ in I}$ $x \ in I$ .

Решение не обязательно должно быть уникальным: один и одно и то же начальное значение (x 0,y0) может привести к множеству различных решений z.

Связанные теоремы

Теорему Пеано можно сравнить с другим результатом существования в том же контексте, теоремой Пикара – Линделёфа. Теорема Пикара – Линделёфа предполагает большее и большее количество выводов. Это требует липшицевой непрерывности, тогда как теорема Пеано требует только непрерывности; но он доказывает как существование, так и единственность там, где теорема Пеано доказывает только существование решений. В качестве иллюстрации рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

y ′ = | y | 1 2 {\ displaystyle y '= \ left \ vert y \ right \ vert ^ {\ frac {1} {2}}}

y'=\left\vert y\right\vert ^{{{\frac {1}{2}}}}

в домене

[0, 1]. {\ displaystyle \ left [0,1 \ right].}

\ left [0,1 \ right].

Согласно теореме Пеано, это уравнение имеет решения, но теорема Пикара – Линделёфа неприменима, поскольку правая часть не является липшицевой ни в какой окрестности, содержащей 0. Таким образом, мы можем сделать вывод о существовании, но не об уникальности. Оказывается, что это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет два вида решений, начиная с $y (0) = 0 {\ displaystyle y (0) = 0}$ $y (0) = 0$ , либо $y (x) Знак равно 0 {\ displaystyle y (x) = 0}$ $y (x) = 0$ или $y (x) = x 2/4 {\ displaystyle y (x) = x ^ {2} / 4}$ $y (x) = x ^ {2} / 4$ . Переход между $y = 0 {\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ и $y = (x - C) 2/4 {\ displaystyle y = (xC) ^ {2} / 4 }$ $y = (xC) ^ {2} / 4$ может произойти в любом C.

Теорема существования Каратеодори является обобщением теоремы существования Пеано с более слабыми условиями, чем непрерывность.

Примечания

Ссылки

Осгуд, У. Ф. (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik. 9 : 331–345.
Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
Мюррей, Фрэнсис Дж.; Миллер, Кеннет С. (1976) [1954]. Теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений (Переиздание). Нью-Йорк: Кригер.
Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.