Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и ее производных

В математике, обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE ) - это дифференциальное уравнение, содержащее одну или несколько функций от одной независимой переменной и производные этих функций. Термин обыкновенный используется в отличие от термина уравнение в частных производных, которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Содержание

• 1 Дифференциальные уравнения
• 2 Предпосылки
• 3 Определения
  • 3.1 Общее определение
  • 3.2 Система ОДУ
  • 3.3 Решения
• 4 Теории
  • 4.1 Сингулярные решения
  • 4.2 Приведение к квадратурам
  • 4.3 Фуксова теория
  • 4.4 Теория Ли
  • 4.5 Теория Штурма – Лиувилля
• 5 Существование и единственность решений
  • 5.1 Локальная теорема существования и единственности упрощенная
  • 5.2 Глобальная единственность и максимальная область решения
• 6 Снижение порядка
  • 6.1 Сведение к система первого порядка
• 7 Сводка точных решений
• 8 Метод предположений
• 9 Программное обеспечение для решения ODE
• 10 См. также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
• 13 Библиография
• 14 Внешние ссылки

Дифференциальные уравнения

A линейное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое определяется линейным полиномом в неизвестная функция и ее производные, то есть уравнение вида

$a\; 0\; (x)\; y\; +\; a\; 1\; (x)\; y\; \prime \; +\; a\; 2\; (x)\; y\; ″\; +\; \cdots \; +\; an\; (\; Икс)\; Y\; (N)\; +\; б\; (Икс)\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x)\; Y\; +\; a\_\; \{1\}\; (x)\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{2\}\; (x)\; y\text{'}\; \text{'}+\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{(n)\}\; +\; b\; (x)\; =\; 0,\}$

где $a\; 0\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x)\}$,..., $an\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\}$и $b\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\}$- произвольные дифференцируемые функции, которые не обязательно должны быть линейными, и $y\; \prime ,\dots ,\; y\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; y\; ^\; \{(n)\}\; \}$- последовательные производные неизвестной функции y от переменной x.

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют важную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, которые встречаются в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются с помощью нелинейных уравнений, они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями для более простого решения. Несколько нелинейных ОДУ, которые могут быть решены явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., Например, уравнение Риккати ).

Некоторые ОДУ могут быть решены явно в терминах известных функций и интегралов. Когда это невозможно, может оказаться полезным уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут обеспечить приближение решения.

Предпосылки

Траектория снаряда , выпущенного из пушки, следует кривой, определяемой обычным дифференциальным уравнением, которое выводится из Второй закон Ньютона.

Обычные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики и социальных и естественных наук. Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связаны посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, описывающим динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производные смещения по времени) или градиенты величин, как они входят в дифференциальные уравнения.

Конкретные математические области включают геометрию и аналитическую механику. Научные области включают большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологии (погодное моделирование), химии (скорости реакции), биология (инфекционные заболевания, генетическая изменчивость), экология и моделирование популяций (конкуренция между популяциями), экономика (динамика запасов, процентные ставки и изменения рыночной равновесной цены).

Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, в том числе Ньютон, Лейбниц, семья Бернулли, Риккати, Клеро, Даламбер и Эйлер.

Простым примером является второй закон Ньютона - взаимосвязь между смещением x и время t объекта под действием силы F задаются дифференциальным уравнением

$md\; 2\; x\; (t)\; dt\; 2\; =\; F\; (x\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; ^\; \{2\}\; x\; (t)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; F\; (x\; (t))\; \backslash ,\}$

который ограничивает движение частицы постоянной массы m. В общем, F является функцией положения x (t) частицы в момент времени t. Неизвестная функция x (t) появляется по обе стороны дифференциального уравнения и указывается в обозначении F (x (t)).

Определения

Далее пусть y будет зависимая переменная и x независимая переменная, а y = f (x) - неизвестная функция от x. Обозначения для различения различаются в зависимости от автора и от того, какие обозначения наиболее полезны для решения поставленной задачи. В этом контексте нотация Лейбница (dy / dx, dy / dx,..., dy / dx) более полезна для дифференциации и интегрирования, тогда как нотация Лагранжа (y ′, y ′ ′,..., y) более полезно для компактного представления производных любого порядка, а ньютоновская нотация $(y\; \dot{},\; y\; ¨,\; y..)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; dot\; \{y\}\},\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\},\; \{\backslash \; overset\; \{...\}\; \{y\}\})\}$часто используется в физике для представления производных низкого порядка по времени.

Общее определение

Дано F, функция от x, y и производные от y. Тогда уравнение вида

$F\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\dots ,\; y\; (n\; -\; 1))\; =\; y\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; left\; (x,\; y,\; y\text{'},\; \backslash \; ldots,\; y\; ^\; \{(n-1)\}\; \backslash \; right)\; =\; y\; ^\; \{(n)\}\}$

называется явным обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n.

В более общем смысле, неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

$F\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; left\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\; y\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; \backslash \; ldots,\; \backslash \; y\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

Существуют другие классификации:

Автономный

Дифференциальное уравнение, не зависящее от x, является называется автономным.

Линейным

Дифференциальное уравнение называется линейным, если F может быть записано как линейная комбинация производных y:

$y\; (n)\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; ai\; (x)\; y\; (i)\; +\; r\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{i\}\; (x)\; y\; ^\; \{(i)\}\; +\; r\; (x)\}$

где a i (x) и r (x) являются непрерывными функциями от x. Функция r (x) называется исходным членом, что приводит к еще двум важным классификациям:

Однородный

Если r (x) = 0, и, следовательно, одно «автоматическое» решение является тривиальным решением, y = 0. Решением линейного однородного уравнения является дополнительная функция, обозначаемая здесь y c.

Неоднородная (или неоднородная)

Если r (x) ≠ 0. Дополнительное решение к дополнительной функции является частный интеграл, обозначенный здесь y p.

Общее решение линейного уравнения может быть записано как y = y c + y p.

Non- linear

Дифференциальное уравнение, которое не может быть записано в форме линейной комбинации.

Система ОДУ

Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y - вектор, элементы которого являются функциями; y (x) = [y 1 (x), y 2 (x),..., y m (x)], и F является векторнозначной функцией от y и его производных, тогда

$y\; (n)\; =\; F\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n\; -\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\; \}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n-1)\}\; \backslash \; right)\}$

- явная система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n и размерности m. В формате вектора-столбца :

$(y\; 1\; (n)\; y\; 2\; (n)\; ⋮\; ym\; (n))\; =\; (f\; 1\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (\; n\; -\; 1))\; f\; 2\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n\; -\; 1))\; ⋮\; fm\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n\; -\; 1)))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \backslash \; y\_\; \{2\}\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; y\_\; \{m\}\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; f\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{\; (n-1)\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; f\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n-1)\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; f\_\; \{m\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n-1)\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Они не обязательно линейны. Неявный аналог:

$F\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\}$

где 0 = (0, 0,..., 0) - нулевой вектор . В матричной форме

$(f\; 1\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n))\; f\; 2\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n))\; ⋮\; fm\; (\; x,\; y,\; y\; \prime ,\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n)))\; =\; (0\; 0\; ⋮\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; f\_\; \{1\}\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n)\})\; \backslash \backslash \; f\_\; \{2\}\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}\text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n)\})\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; f\_\; \{m\}\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}\text{'},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; ^\; \{(n)\})\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\}$

Для системы вида $F\; (x,\; y,\; y\; \prime )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; left\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\}\}$, некоторые источники также требуют, чтобы матрица Якоби $\partial \; F\; (x,\; u,\; v)\; \partial \; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{u\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\}$быть не- единственное число, чтобы называть это неявным ODE [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию неособенности Якоби, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с сингулярным якобианом называются дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; DAE имеют принципиально разные характеристики и, как правило, более сложные для решения, чем (неособые) системы ODE. Предположительно для дополнительных производных матрица Гессе и т. Д. Также считаются невырожденными в соответствии с этой схемой, хотя обратите внимание, что любое ОДУ порядка выше единицы может быть [и обычно] переписано как система ОДУ первого порядка, что делает критерий якобианской сингулярности достаточным для того, чтобы эта таксономия была всеобъемлющей на всех порядках.

Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета.

Решения

Заданное дифференциальное уравнение

$F\; (x,\; y,\; y\; \prime ,\dots ,\; Y\; (n))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; left\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\; \backslash \; ldots,\; y\; ^\; \{(n)\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

функция u: I ⊂ R→ R, где I - интервал, называется решением или интегральной кривой для F, если u n-кратно дифференцируемо на I, и

$F\; (x,\; u,\; u\; \prime ,\dots ,\; u\; (n))\; =\; 0\; x\; \in \; I.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x,\; u,\; u\; \text{'},\; \backslash \; \backslash \; ldots,\; \backslash \; u\; ^\; \{(n)\})\; =\; 0\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; in\; I.\}$

Даны два решения u: J ⊂ R→ Rи v : I ⊂ R→ R, u называется расширением v, если I ⊂ J и

$u\; (x)\; =\; v\; (x)\; x\; \in \; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\; =\; v\; (x)\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; in\; I.\; \backslash ,\}$

Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением. Решение, определенное на всем R, называется глобальным решением.

Общее решение уравнения n-го порядка - это решение, содержащее n произвольных независимых постоянных интегрирования. Конкретное решение выводится из общего решения путем установки констант на конкретные значения, часто выбираемые для выполнения набора «начальных условий или граничных условий ». сингулярное решение - это решение, которое не может быть получено путем присвоения определенных значений произвольным константам в общем решении.

Теории

Особые решения

Теория сингулярных решений обыкновенных и дифференциальных уравнений с частными производными была предметом исследований со времен Лейбница, но только с середины XIX века ей стало уделяться особое внимание. Ценная, но малоизвестная работа по этому поводу - это работа Хаутена (1854 г.). Дарбу (с 1873 г.) был лидером в теории, и в геометрической интерпретации этих решений он открыл область, в которой работали различные писатели, в частности Казорати и Кэли. Последним обязана (1872 г.) теория сингулярных решений дифференциальных уравнений первого порядка, принятая примерно в 1900 г.

Сведение к квадратурам

Первобытная попытка работы с дифференциальными уравнениями имела место в просмотреть сокращение до квадратур. Как алгебраисты восемнадцатого века надеялись найти метод решения общего уравнения n-й степени, так и аналитики надеялись найти общий метод интегрирования любого дифференциального уравнения. Гаусс (1799) показал, однако, что сложные дифференциальные уравнения требуют комплексных чисел. Таким образом, аналитики начали заменять изучение функций, открывая тем самым новое плодородное поле. Коши был первым, кто оценил важность этой точки зрения. После этого реальный вопрос был уже не в том, возможно ли решение с помощью известных функций или их интегралов, а в том, достаточно ли данного дифференциального уравнения для определения функции независимой переменной или переменных, и, если да, то каковы характерные свойства.

Теория Фукса

Два мемуара Фукса вдохновили на новый подход, который впоследствии был разработан Томе и Фробениусом. Колле внес значительный вклад, начиная с 1869 года. Его метод интеграции нелинейной системы был передан Бертрану в 1868 году. Клебш (1873) атаковал теорию по направлениям, параллельным тем, что в его теории Абелевы интегралы. Поскольку последние могут быть классифицированы в соответствии со свойствами фундаментальной кривой, которая остается неизменной при рациональном преобразовании, Клебш предложил классифицировать трансцендентные функции, определяемые дифференциальными уравнениями, в соответствии с инвариантными свойствами соответствующих поверхностей f = 0 как рациональные. -один трансформации.

Теория Ли

Начиная с 1870 года, работы Софуса Ли положили теорию дифференциальных уравнений на лучшее основание. Он показал, что теории интегрирования старых математиков могут быть отнесены к общему источнику с помощью групп Ли и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интеграции. Он также подчеркнул, что предмет преобразований контакта.

Теория групп Ли дифференциальных уравнений была сертифицирована, а именно: (1) она объединяет многие специальные методы, известные для решения дифференциальных уравнений, и (2) что она предоставляет новые мощные способы поиска решений. Теория имеет приложения как к обыкновенным, так и к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Общий подход к решению использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений к решениям (теория Ли ). Непрерывная теория групп, алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных (частных) дифференциальных уравнений для генерации интегрируемых уравнений, чтобы найти его пары Лакса, операторы рекурсии, преобразование Бэклунда и, наконец, поиск точных аналитических решений для DE.

Методы симметрии применялись к дифференциальным уравнениям, возникающим в математике, физике, технике и других дисциплинах.

Теория Штурма – Лиувилля

Теория Штурма – Лиувилля - это теория особого типа линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Их решения основаны на собственных значениях и соответствующих собственных функциях линейных операторов, определенных через однородные линейные уравнения второго порядка . Проблемы обозначены как проблемы Штурма-Лиувилля (SLP) и названы в честь J.C.F. Штурм и Дж. Лиувилля, изучавший их в середине 1800-х гг. SLP имеют бесконечное количество собственных значений, а соответствующие собственные функции образуют полный ортогональный набор, что делает возможным ортогональное расширение. Это ключевая идея прикладной математики, физики и инженерии. SLP также полезны при анализе некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Существование и уникальность решений

Существует несколько теорем, которые устанавливают существование и уникальность решений проблем с начальным значением, включающих ОДУ как локально, так и глобально. Две основные теоремы:

Теорема	Предположение	Заключение
Теорема существования Пеано	F непрерывное	только локальное существование
Теорема Пикара – Линделёфа	F Липшицева непрерывное	локальное существование и единственность

В своей основной форме обе эти теоремы гарантируют только локальные результаты, хотя последняя может быть расширена, чтобы дать глобальный результат, например, если условия неравенства Гренвалла выполнены.

Кроме того, теоремы единственности, подобные приведенной выше липшицевой теореме, не применяются к системам DAE, которые могут иметь несколько решений, вытекающих из одной только их (нелинейной) алгебраической части.

Локальная теорема существования и единственности упрощена

Теорема может быть сформулирована просто следующим образом. Для уравнения и задачи начального значения:

$y\; \prime \; =\; F\; (x,\; y),\; y\; 0\; =\; y\; (x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; F\; (x,\; y)\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; y\_\; \{0\}\; =\; y\; (x\_\; \{0\})\}$

, если F и ∂F / ∂y непрерывны в замкнутом прямоугольнике

$R\; =\; [x\; 0\; -\; a,\; x\; 0\; +\; a]\; \times \; [y\; 0\; -\; b,\; y\; 0\; +\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; [x\_\; \{0\}\; -a,\; x\_\; \{0\}\; +\; a]\; \backslash \; times\; [y\_\; \{0\}\; -b,\; y\_\; \{0\}\; +\; b]\}$

в плоскости xy, где a и b являются вещественными (символически: a, b ∈ ℝ), а × обозначает декартово произведение, квадратные скобки обозначают отрезки, тогда существует интервал

$I\; =\; [x\; 0\; -\; h,\; x\; 0\; +\; h]\; \subset \; [x\; 0\; -\; a,\; x\; 0\; +\; a]\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; [x\_\; \{0\}\; -h,\; x\_\; \{0\}\; +\; h]\; \backslash \; подмножество\; [x\_\; \{0\}\; -a,\; x\_\; \{0\}\; +\; a]\}$

для некоторого h ∈ ℝ, где может быть найдено решение вышеуказанного уравнения и задачи начального значения. То есть решение есть, и оно уникальное. Поскольку нет ограничений на линейность F, это применимо к нелинейным уравнениям, которые принимают форму F (x, y), а также могут применяться к системам уравнений.

Глобальная уникальность и максимальная область решения

Когда выполняются гипотезы теоремы Пикара – Линделёфа, тогда локальное существование и уникальность может быть расширено до глобального результата. Точнее:

Для каждого начального условия (x 0, y 0) существует уникальный максимальный (возможно бесконечный) открытый интервал

$I\; max\; =\; (\; x\; -,\; x\; +),\; x\; \pm \; \in \; R\; \in \; \{\pm \; \infty \},\; x\; 0\; \in \; I\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; max\}\; =\; (x\; \_\; \{-\},\; x\; \_\; \{+\}),\; x\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{\backslash \; pm\; \backslash \; infty\; \backslash \},\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; I\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$

такое, что любое решение, удовлетворяющее этому начальному условию, является ограничением решение, которое удовлетворяет этому начальному условию с областью $I\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$.

В случае, если $x\; \pm \; \ne \; \pm \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; pm\; \backslash \; infty\}$, есть ровно две возможности

• взрыва за конечное время: $lim\; sup\; x\; \to \; x\; \pm \; \Vert \; y\; (x)\; \Vert \; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}\; \backslash \; |\; y\; (x)\; \backslash \; |\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$
• выходит из области определения: $lim\; x\; \to \; x\; \pm \; y\; (x)\; \in \; \partial \; \Omega \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\; x\; \backslash \; to\; x\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}\; y\; (x)\; \backslash \; \backslash \; in\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Omega\}\}\}$

где Ω - открытое множество, в котором определено F, и $\partial \; \Omega \; ¯\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Omega\; \}\}\}$- его граница.

Обратите внимание, что максимальная область решения

• всегда представляет собой интервал (чтобы иметь уникальность)
• может быть меньше, чем $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$
• может зависеть от конкретного выбора (x 0, y 0).

Пример.

$y\; \prime \; =\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; y\; ^\; \{2\}\}$

Это означает что F (x, y) = y, который является C и, следовательно, локально липшицевым, удовлетворяет теореме Пикара – Линделёфа.

Даже в такой простой ситуации максимальная область решения не может быть полностью $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, поскольку решение равно

$y\; (x)\; =\; y\; 0\; (x\; 0\; -\; x)\; y\; 0\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{y\_\; \{0\}\}\; \{(x\_\; \{0\}\; -x)\; y\_\; \{0\}\; +1\}\}\}$

с максимальным доменом:

Это ясно показывает, что максимальный интервал может зависеть от начальных условий. Область y может быть принято как $R\; \setminus \; (x\; 0\; +\; 1\; /\; y\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; setminus\; (x\_\; \{0\}\; +\; 1\; /\; y\_\; \{0\}),\}$но это привело бы к области, которая не является интервалом, так что сторона, противоположная начальному условию, будет отключена от начального условия и, следовательно, не будет однозначно определена им.

Максимальный домен не $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, потому что

$lim\; x\; \to \; x\; \pm \; \Vert \; y\; (x)\; \Vert \; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; x\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}\; \backslash \; |\; y\; (x)\; \backslash \; |\; \backslash \; to\; \backslash \; infty,\}$

, который является одним из двух возможных случаев согласно приведенной выше теореме.

Понижение порядка

Дифференциальные уравнения обычно решаются легче, если порядок уравнения может быть понижен.

Редукция к системе первого порядка

Любое явное дифференциальное уравнение порядка n,

$F\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\; y\; ″,\dots ,\; y\; (n\; -\; 1))\; =\; Y\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \backslash \; left\; (x,\; y,\; y\; \text{'},\; y\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; \backslash \; ldots,\; \backslash \; y\; ^\; \{(n-1)\}\; \backslash \; right)\; =\; y\; ^\; \{(n)\}\}$

можно записать в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка путем определения нового семейства неизвестных функций

$yi\; =\; y\; (i\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{i\}\; =\; y\; ^\; \{(i-1)\}.\; \backslash !\}$

для i = 1, 2,..., n. Тогда n-мерная система связанных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

$y\; 1\; \prime \; =\; y\; 2\; y\; 2\; \prime \; =\; y\; 3\; ⋮\; y\; n\; -\; 1\; \prime \; =\; y\; n\; y\; n\; \prime \; =\; F\; (x,\; y\; 1,\dots ,\; y\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcl\}\; y\_\; \{1\}\; \text{'}=\; y\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; y\_\; \{2\}\text{'}\; =\; y\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; y\_\; \{n-1\}\; \text{'}=\; y\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; y\_\; \{n\}\text{'}\; =\; F\; (x,\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\}).\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

более компактно в векторной записи:

$y\; \prime \; =\; F\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (x,\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\}$

где

$y\; =\; (y\; 1,\; \dots ,\; Yn),\; F\; (x,\; y\; 1,\dots ,\; yn)\; =\; (y\; 2,\dots ,\; yn,\; F\; (x,\; y\; 1,\dots ,\; yn)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; =\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\}),\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (x,\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\})\; =\; (y\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\},\; F\; (x,\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\})).\}$

Сводка точных решений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения которые можно записать в точной и закрытой форме. Здесь приведены несколько важных классов.

В таблице ниже P (x), Q (x), P (y), Q (y) и M (x, y), N (x, y) - любые интегрируемые функции от x, y, а также b и c являются действительными заданными константами, а C 1, C 2,... являются произвольными константами (complex в целом). Дифференциальные уравнения представлены в их эквивалентной и альтернативной формах, которые приводят к решению путем интегрирования.

В интегральных решениях λ и ε - фиктивные переменные интегрирования (континуальные аналоги индексов в суммировании ), а обозначение ∫F (λ) dλ просто означает интегрирование F ( λ) по λ, то после интегрирования подставляем λ = x без добавления констант (явно указанных).

Тип	Дифференциальное уравнение	Метод решения	Общее решение
Разделимое	Первого порядка, разделимое по x и y (общий случай, специальные случаи см. ниже) $P\; 1\; (x)\; Q\; 1\; (y)\; +\; P\; 2\; (x)\; Q\; 2\; (y)\; dydx\; =\; 0\; P\; 1\; (x)\; Q\; 1\; (y)\; dx\; +\; P\; 2\; (Икс)\; Q\; 2\; (Y)\; dy\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\_\; \{1\}\; (x)\; Q\_\; \{1\}\; (y)\; +\; P\_\; \{2\}\; (x)\; Q\_\; \{2\}\; (y)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; P\_\; \{1\}\; (x)\; Q\_\; \{1\}\; (y)\; \backslash ,\; dx\; +\; P\_\; \{2\}\; (x)\; Q\_\; \{2\}\; (y)\; \backslash ,\; dy\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Разделение переменных (разделить на P 2Q1).	$\int \; Икс\; п\; 1\; (\lambda )\; п\; 2\; (\lambda )\; d\; \lambda \; +\; \int \; Y\; Q\; 2\; (\lambda )\; Q\; 1\; (\lambda )\; d\; \lambda \; знак\; равно\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{P\_\; \{1\; \}\; (\backslash \; lambda)\}\; \{P\_\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{Q\_\; \{2\}\; (\backslash \; lambda)\}\; \{Q\_\; \{1\}\; (\backslash \; lambda)\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; =\; C\; \backslash ,\; \backslash !\}$
	Первый порядок, разделимый по x $dydx\; =\; F\; (x)\; dy\; =\; F\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; F\; (x)\; \backslash \backslash \; dy\; =\; F\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Прямое интегрирование.	$Y\; =\; \int \; Икс\; F\; (\lambda )\; d\; \lambda \; +\; C\; \{\backslash \; Displaystyle\; y\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; F\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; C\; \backslash ,\; \backslash !\}$
	Первого порядка, автономный, разделяемый по y $dydx\; =\; F\; (y)\; dy\; =\; F\; (y)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; F\; (y)\; \backslash \; \backslash \; dy\; =\; F\; (y)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Разделение переменных (разделить на F).	$Икс\; знак\; равно\; \int \; ярд\; \lambda \; F\; (\lambda )\; +\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; lambda\}\; \{F\; (\backslash \; lambda)\}\}\; +\; C\; \backslash ,\; \backslash !\}$
	Первый порядок, разделяемый по x и y $P\; (y)\; dydx\; +\; Q\; (x)\; =\; 0\; P\; (y)\; dy\; +\; Q\; (x)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\; (y)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; Q\; (x)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; P\; (y)\; \backslash ,\; dy\; +\; Q\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Интегрируйте во всем.	$\int \; Y\; П\; (\lambda )\; d\; \lambda \; +\; \int \; Икс\; Q\; (\lambda )\; d\; \lambda \; знак\; равно\; С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; P\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; Q\; (\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; =\; C\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Общие первого порядка	Однородные первого порядка $dydx\; =\; F\; (yx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; F\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Установите y = ux, затем решите, разделив переменные в u и x.	$пер\; \; (С\; Икс)\; знак\; равно\; \int \; Y\; /\; xd\; \lambda \; F\; (\lambda )\; -\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (Cx)\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{y\; /\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; lambda\}\; \{F\; (\backslash \; lambda)\; -\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
	Разделимость первого порядка $y\; M\; (xy)\; +\; x\; N\; (xy)\; dydx\; =\; 0\; y\; M\; (xy)\; dx\; +\; x\; N\; (\; ху)\; dy\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; yM\; (xy)\; +\; xN\; (xy)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; yM\; (xy)\; \backslash ,\; dx\; +\; xN\; (\; xy)\; \backslash ,\; dy\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	Разделение переменных (разделить на xy).	$пер\; \; (С\; Икс)\; знак\; равно\; \int \; ху\; N\; (\lambda )\; d\; \lambda \; \lambda \; [N\; (\lambda )\; -\; M\; (\lambda )]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; (Cx)\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{xy\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{N\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; lambda\; [N\; (\backslash \; lambda)\; -M\; (\backslash \; lambda)]\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Если N = M, решением будет xy = C.
	Точный дифференциал, первого порядка $M\; (x,\; y)\; dydx\; +\; N\; (x,\; y)\; =\; 0\; M\; (x,\; y)\; dy\; +\; N\; (x,\; y)\; dx\; =\; 0\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; M\; (x,\; y)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; N\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; M\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dy\; +\; N\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ где $\partial \; M\; \partial \; x\; =\; \partial \; N\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; M\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; N\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Интегрировать всюду.	$F\; (x,\; y)\; знак\; равно\; \int \; Y\; M\; (x,\; \lambda )\; d\; \lambda \; +\; \int \; x\; N\; (\lambda ,\; y)\; d\; \lambda \; +\; Y\; (y)\; +\; X\; (x)\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; F\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; M\; (x,\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; N\; (\backslash \; lambda,\; y)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \; +\; Y\; (y)\; +\; X\; (x)\; =\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ где Y (y) и X (x) - это функции от интегралов, а не постоянные значения, которые устанавливаются, чтобы сделать конечную функцию F (x, y) удовлетворяют исходному уравнению.
	Неточный дифференциал, первый порядок $M\; (x,\; y)\; dydx\; +\; N\; (x,\; y)\; =\; 0\; M\; (x,\; y)\; dy\; +\; N\; (x,\; y)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; M\; (x,\; y)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; N\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash \backslash \; M\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dy\; +\; N\; (\; x,\; y)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ где $\partial \; M\; \partial \; x\; \ne \; \partial \; N\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; M\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; N\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Коэффициент интегрирования μ (x, y), удовлетворяющий $\partial \; (\mu \; M)\; \partial \; x\; =\; \partial \; (\mu \; N)\; \partial \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mu\; M)\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; mu\; N)\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\; \}$	Если можно найти μ (x, y): $F\; (x,\; y)\; =\; \int \; y\; \mu \; (x,\; \lambda )\; M\; (x,\; \lambda )\; d\; \lambda \; +\; \int \; x\; \mu \; (\lambda ,\; y)\; N\; (\lambda ,\; y)\; d\; \lambda \; +\; Y\; (y)\; +\; X\; (x)\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; \backslash \; mu\; (x,\; \backslash \; lambda)\; M\; (x,\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; \backslash \; mu\; (\backslash \; lambda,\; y)\; N\; (\backslash \; lambda,\; y)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \; +\; Y\; (y)\; +\; X\; (x)\; =\; C\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$
Обычный второй порядок	Второй порядок, автономный $d\; 2\; ydx\; 2\; =\; F\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; F\; (y)\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Умножьте обе части уравнения на 2dy / dx, замените $2\; dydxd\; 2\; ydx\; 2\; =\; ddx\; (dydx)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, затем проинтегрируйте дважды.	$Икс\; =\; \pm \; \int \; ярд\; \lambda \; 2\; \int \; \lambda \; F\; (\epsilon )\; d\; \epsilon \; +\; C\; 1\; +\; C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; int\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; int\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; F\; (\backslash \; varepsilon)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varepsilon\; +\; C\_\; \{1\}\}\}\}\; +\; C\_\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Линейно до n-го порядка	Первый- упорядоченные, линейные, неоднородные, функциональные коэффициенты $dydx\; +\; P\; (x)\; y\; =\; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; P\; (x)\; y\; =\; Q\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Интегрирующий множитель: $e\; \int \; x\; P\; (\lambda )\; d\; \lambda .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{\backslash \; int\; ^\; \{x\}\; P\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}.\}$	$y\; =\; e\; -\; \int \; x\; P\; (\lambda )\; d\; \lambda \; [\int \; xe\; \int \; \lambda \; P\; (\epsilon )\; d\; \epsilon \; Q\; (\lambda )\; d\; \lambda \; +\; C]\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; =\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; P\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; ^\; \{x\}\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; P\; (\backslash \; varepsilon)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varepsilon\}\; Q\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; +\; C\; \backslash \; right]\}$
	Второй порядок, линейный, неоднородный, функциональные коэффициенты $d\; 2\; ydx\; 2\; +\; 2\; p\; (x)\; dydx\; +\; (p\; (x)\; 2\; +\; p\; \text{'}(x))\; y\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; 2p\; (x)\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; (p\; (x)\; ^\; \{2\}\; +\; p\; \text{'}(x))\; y\; =\; q\; (x)\}$	Интегрирующий множитель: $e\; \int \; x\; P\; (\lambda )\; d\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; ^\; \{x\}\; P\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}\}$	$y\; =\; e\; -\; \int \; x\; P\; (\lambda )\; d\; \lambda \; [\int \; x\; (\int \; \xi \; e\; \int \; \lambda \; п\; (\epsilon )\; d\; \epsilon \; Q\; (\lambda )\; d\; \lambda )\; d\; \xi \; +\; C\; 1\; Икс\; +\; C\; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; y\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; ^\; \{x\}\; P\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; ^\; \{x\}\; (\backslash \; int\; ^\; \{\backslash \; xi\}\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; P\; (\backslash \; varepsilon)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varepsilon\}\; Q\; (\backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda)\; d\; \backslash \; xi\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; +\; C\_\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$
	Линейные, неоднородные, постоянные коэффициенты второго порядка $d\; 2\; ydx\; 2\; +\; bdydx\; +\; cy\; =\; r\; (x)\; \{\; \backslash \; displaysty\; le\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; b\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; cy\; =\; r\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Дополнительная функция y c : принять y c = e, подставить и решить многочлен от α, чтобы найти линейно независимые функции $e\; \alpha \; jx\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; x\}\}$. Частный интеграл y p : в общем метод изменения параметров, хотя для очень простой проверки r (x) может работать	$y\; =\; yc\; +\; yp\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{c\}\; +\; y\_\; \{p\}\}$ Если b>4c, то $yc\; =\; C\; 1\; e\; -\; x\; 2\; (b\; +\; b\; 2\; -\; 4\; с)\; +\; С\; 2\; е\; -\; Икс\; 2\; (b\; -\; b\; 2-4\; с)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{c\}\; =\; C\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\; b\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; ^\; \{2\}\; -4c\}\}\; \backslash \; right)\}\; +\; C\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (b\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{b\; ^\; \{2\}\; -4c\}\}\; \backslash \; right)\}\}$ Если b = 4c, то $yc\; =\; (C\; 1\; x\; +\; C\; 2)\; e\; -\; bx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{c\}\; =\; (C\_\; \{1\; \}\; x\; +\; C\_\; \{2\})\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{bx\}\; \{2\}\}\}\}$ Если b < 4c, then $yc\; =\; e\; -\; bx\; 2\; [C\; 1\; sin\; \; (x\; 4\; c\; -\; b\; 2\; 2)\; +\; C\; 2\; соз\; \; (Икс\; 4\; C\; -\; b\; 2\; 2)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\_\; \{C\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{bx\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [C\_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (x\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{4c-b\; ^\; \{2\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; C\_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (x\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{4c-b\; ^\; \{2\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$
	n-го порядка, линейный, неоднородный, постоянные коэффициенты $\sum \; j\; =\; 0\; nbjdjydxj\; =\; r\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; b\_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{j\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{j\}\}\}\; =\; r\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Дополнительная функция y c : принять y c = e, подставить и решить многочлен от α, чтобы найти линейно независимые функции $e\; \alpha \; jx\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; x\}\}$. Частный интеграл y p : в общем случае метод изменения параметров, хотя для очень простой проверки r (x) может работать.	$y\; =\; yc\; +\; yp\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\_\; \{c\}\; +\; y\_\; \{p\}\}$ Поскольку α j - решения полинома степени n: $\prod \; j\; =\; 1\; n\; (\alpha \; -\; \alpha \; j)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\})\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\}$, тогда: для α j все разные, $yc\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; C\; je\; \alpha \; jx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{c\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; C\_\; \{j\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; x\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ для каждого корня α j re повторяется k j раз, $yc\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (\sum \; \ell \; =\; 1\; kj\; C\; j,\; \ell \; x\; \ell \; -\; 1)\; e\; \alpha \; jx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{c\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{k\_\; \{j\}\}\; C\_\; \{j,\; \backslash \; ell\}\; x\; ^\; \{\backslash \; ell\; -1\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; x\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ для некоторого комплекса α j, затем установив α = χ j + iγ j, и использование формулы Эйлера, позволяет записать некоторые термины из предыдущих результатов в виде $C\; je\; \alpha \; jx\; =\; C\; je\; \chi \; jx\; cos\; \; (\gamma \; jx\; +\; \phi \; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{j\; \}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; x\}\; =\; C\_\; \{j\}\; e\; ^\; \{\backslash \; chi\; \_\; \{j\}\; x\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{j\}\; x\; +\; \backslash \; varphi\; \_\; \{j\})\; \backslash ,\; \backslash !\}$ где ϕ j - произвольная постоянная (фазовый сдвиг).

Метод угадывания

Когда все другие методы решения ODE терпят неудачу, или в тех случаях, когда у нас есть некоторая интуиция относительно того, как может выглядеть решение DE, иногда возможно решить DE просто угадав решение и проверив его правильность. Чтобы использовать этот метод, мы просто угадываем решение дифференциального уравнения, а затем подставляем решение в дифференциальное уравнение, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Если это так, то у нас есть конкретное решение для DE, в противном случае мы начинаем заново и пробуем другое предположение. Например, мы могли догадаться, что решение DE имеет форму: $y\; =\; A\; e\; \alpha \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; Ae\; ^\; \{\backslash \; alpha\; t\}\}$, поскольку это очень распространенное решение который физически ведет себя синусоидальным образом.

В случае неоднородного ОДУ первого порядка нам нужно сначала найти решение ДУ для однородной части ДУ, иначе известное как характеристическое уравнение, а затем найти решение для всего неоднородное уравнение догадками. Наконец, мы складываем оба этих решения вместе, чтобы получить общее решение ОДУ, то есть:

$общее\; решение\; =\; однородное\; решение\; +\; частное\; решение\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{полное\; решение\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{однородное\; решение\; \}\}\; +\; \{\backslash \; text\; \{особое\; решение\}\}\}$

Программное обеспечение для решения ODE

• Maxima, система компьютерной алгебры с открытым исходным кодом.
• COPASI, бесплатная (Artistic License 2.0 ) программный пакет для интеграции и анализа ODE.
• MATLAB, приложение для технических вычислений (MATrix LABoratory)
• GNU Octave, язык высокого уровня, в первую очередь предназначен для численных вычислений.
• Scilab, приложение с открытым исходным кодом для численных вычислений.
• Maple, проприетарное приложение для символьных вычислений.
• Mathematica, проприетарное приложение, в первую очередь предназначенное для символьные вычисления.
• Julia (язык программирования), язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• SageMath, ope Приложение n-source, использующее синтаксис, подобный Python, с широким спектром возможностей, охватывающих несколько областей математики.
• SciPy, пакет Python, включающий модуль интеграции ODE.
• Chebfun, пакет с открытым исходным кодом, написанный на MATLAB, для вычислений с функциями с точностью до 15 цифр.
• GNU R, вычислительная среда с открытым исходным кодом, в первую очередь предназначенная для статистики, которая включает пакеты для решения ODE.

См. Также

• Краевая задача
• Примеры дифференциальных уравнений
• Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям
• Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
• Матричное дифференциальное уравнение
• Метод неопределенных коэффициентов
• Соотношение повторяемости

Примечания

Ссылки

• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт (1977), Physics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-71716-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-487538-9
• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• Полянин, А.Д. и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) », Chapman Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1- 58488-297-2
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями, Нью-Йорк: McGraw-Hill, LCCN 75173716
• Типлер, Пол А. (1991), Физика для ученых и инженеров: Расширенная версия (3-е изд.), Нью-Йорк: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PD F) (на французском языке)
• Дреснер, Лоуренс (1999), Приложения теории обыкновенных и дифференциальных уравнений с частными производными Ли, Бристоль и Филадельфия: Издательский институт физики, ISBN 978-0750305303

Библиография

• Коддингтон, Earl A.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• Hartman, Philip (2002) [1964], Обычные дифференциальные уравнения, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: Общество промышленной и прикладной математики, doi : 10.1137 / 1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• W. Джонсон, Трактат об обыкновенных и дифференциальных уравнениях с частными производными, John Wiley and Sons, 1913, в Собрании исторических математиков Мичиганского университета
• Инс, Эдвард Л. (1944) [1926 ], Обычные дифференциальные уравнения, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Витольд Гуревич, Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993). CRC Справочник по анализу групп Ли дифференциальных уравнений Vol. 1-3. Провиденс: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• А. Д. Полянин, В.Ф. Зайцев и А. Муссио, Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, Taylor Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267- X
• D. Цвиллинджер, Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е издание), Academic Press, Boston, 1997.

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Исчисление / обыкновенные дифференциальные уравнения

Викимедиа У Commons есть материалы, связанные с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Differential Equations at Curlie (включает список программного обеспечения для решения дифференциальных уравнений).
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, содержащий список обыкновенных дифференциальных уравнений с их решениями.
• Online Notes / Differential Equations Пол Докинз, Университет Ламара.
• Дифференциальные уравнения, SOS Математика.
• Букварь по аналитическому решению дифференциальных уравнений от Института целостных численных методов Университета Южной Флориды.
• Обычные дифференциальные уравнения и динамические системы конспект лекций Джеральда Тешла.
• Заметки о Diffy Qs: дифференциальные уравнения для инженеров Вводное пособие по дифференциальным уравнениям, написанное Иржи Леблом из UIUC.
• Моделирование с помощью ODE с использованием Scilab Учебное пособие по моделированию физической системы, описанной ODE с использованием стандартного языка программирования Scilab от команды Openeering.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения в Wolfram | Alpha