Теорема Пикара – Линделёфа

редактировать

Существование и единственность решений уравнений первого порядка с заданными начальными условиями

В математике - в частности, в дифференциальных уравнениях - теорема Пикара – Линделёфа, теорема существования Пикара, теорема Коши – Липшица или существование и уникальность теорема дает набор условий, при которых задача с начальным значением имеет единственное решение.

Теорема названа в честь Эмиля Пикара, Эрнста Линделёфа, Рудольфа Липшица и Огюстена-Луи Коши.

. начальная задача

y ′ (t) = f (t, y (t)), y (t 0) = y 0. {\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_0)=y_0.

Предположим, что f равномерно липшицево непрерывно по y (что означает, что константа Липшица может быть выбрана независимо от t) и непрерывной по t, то для некоторого значения ε>0 существует единственное решение y (t) начальной задачи на интервале $[t 0 - ε, t 0 + ε] {\ displaystyle [t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon]}$ $[t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon]$ .

Содержание

1 Пробный набросок
2 Пример итерации Пикара
3 Пример неединственности
4 Подробное доказательство
5 Оптимизация интервала решения
6 Другие теоремы существования
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Схема доказательства

Доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении теории неподвижной точки. Путем интегрирования обеих частей любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять интегральному уравнению

y (t) - y (t 0) = ∫ t 0 t f (s, y (s)) d s. {\ displaystyle y (t) -y (t_ {0}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, y (s)) \, ds.}

y (t) -y (t_ {0}) = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} f (s, y (s)) \, ds.

Простой Доказательство существования решения получается последовательными приближениями. В этом контексте метод известен как итерация Пикара.

Установить

φ 0 (t) = y 0 {\ displaystyle \ varphi _ {0} (t) = y_ {0}}

\ varphi _ {0} (t) = y_ { 0}

φ k + 1 (t) = y 0 + ∫ t 0 tf (s, φ k (s)) ds. {\ displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi _ {k} (s)) \, ds.}

\ varphi _ {{k + 1}} (t) = y_ {0} + \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} f (s, \ varphi _ {k} (s)) \, ds.

Затем с помощью теоремы Банаха о фиксированной точке можно показать, что последовательность «итерация Пикара» φ k является сходящейся и что предел - это решение проблемы. Применение леммы Гренвалла к | φ (t) - ψ (t) |, где φ и ψ - два решения, показывает, что φ (t) = ψ (t), тем самым доказывая глобальную единственность ( локальная единственность является следствием единственности банаховой неподвижной точки).

Метод Пикара чаще всего излагается без доказательств и графиков. См. Инструкции в разделе Метод Ньютона последовательного приближения.

Пример итерации Пикара

Пусть $y (t) = tan ⁡ (t), {\ displaystyle y (t) = \ tan (t),}$ ${\ displaystyle y (t) = \ tan (t),}$ решение уравнения $y ′ (t) = 1 + y (t) 2 {\ displaystyle y '(t) = 1 + y (t) ^ {2}}$ $y'(t)=1+y(t)^{2}$ с начальное условие $y (t 0) = y 0 = 0, t 0 = 0. {\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0} = 0, t_ {0} = 0.}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0} = 0, t_ {0} = 0.}$ Начиная с $φ 0 (t) = 0, {\ displaystyle \ varphi _ {0} (t) = 0,}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0} (t) = 0,}$ мы повторяем

φ k + 1 (t) Знак равно ∫ 0 T (1 + (φ К (s)) 2) ds {\ displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + (\ varphi _ { k} (s)) ^ {2}) \, ds}

{\ displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + (\ varphi _ {k} (s)) ^ {2}) \, ds}

так, чтобы $φ n (t) → y (t) {\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ to y (t)}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ to y (t)}$ :

φ 1 (t) = ∫ 0 t (1 + 0 2) ds = t {\ displaystyle \ varphi _ {1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + 0 ^ {2}) \, ds = t}

{\ displaystyle \ varphi _ {1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + 0 ^ {2}) \, ds = t}

φ 2 (t) = ∫ 0 t (1 + s 2) ds = t + t 3 3 {\ displaystyle \ varphi _ {2} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + s ^ {2}) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}}}

{\ displaystyle \ varphi _ {2} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + s ^ {2}) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}}}

φ 3 (t) = ∫ 0 t (1 + (s + s 3 3) 2) ds знак равно t + t 3 3 + 2 t 5 15 + t 7 63 {\ displaystyle \ varphi _ {3} (t) = \ int _ {0} ^ {t } \ left (1 + \ left (s + {\ frac {s ^ {3}} {3}} \ right) ^ {2} \ right) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}} + { \ frac {2t ^ {5}} {15}} + {\ frac {t ^ {7}} {63}}}

{\ displaystyle \ varphi _ {3} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ left (1+ \ left (s + {\ frac {s ^ {3}) } {3}} \ right) ^ {2} \ right) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}} + {\ frac {2t ^ {5}} {15}} + {\ frac {t ^ {7}} {63}}}

и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения $y = tan ⁡ (t). {\ displaystyle y = \ tan (t).}$ ${\ displaystyle y = \ tan (t).}$ Поскольку $tan {\ displaystyle \ tan}$ $\ tan$ имеет полюса в $± π 2, {\ displaystyle \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}},}$ ${\ displaystyle \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}},}$ это сходится к локальному решению только для $| т | < π 2, {\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\ displaystyle | t | <{\ tfrac {\ pi} {2}},}$ не на всех R.

Пример неединственности

Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. Дифференциальное уравнение может иметь стационарную точку. Например, для уравнения dy / dt = ay ( $a < 0 {\displaystyle a<0}$ $a <0$ ) стационарным решением будет y (t) = 0, которое получается при начальном условии y (0) = 0. Начиная с другого начального условия y (0)) = y 0 ≠ 0, решение y (t) стремится к стационарной точке, но достигает ее только в пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (за все конечные времена) гарантируется.

Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, уникальность не выполняется. Это происходит, например, для уравнения dy / dt = ay, которое имеет по крайней мере два решения, соответствующих начальному условию y (0) = 0, например: y (t) = 0 или

y (t) = {( at 3) 3 t < 0 0 t ≥ 0, {\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}t<0\\\ \ \ \ 0t\geq 0,\end{cases}}}

{\ displaystyle y (t) = {\ begin {cases} \ left ({\ tfrac {at} {3}} \ right) ^ {3} t <0 \\\ \ \ \ 0 t \ geq 0, \ end {cases}}}

, поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после t = 0. Теорема единственности не применяется, потому что функция f (y) = y имеет бесконечный наклон при y = 0. и поэтому не является липшицевым, что нарушает условия теоремы.

Подробное доказательство

Пусть

C a, b = I a (t 0) ¯ × B b (y 0) ¯ {\ displaystyle C_ {a, b} = {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} \ times {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}

C _ {{a, b}} = \ overline {I_ {a} (t_ {0})} \ times \ overline {B_ {b} (y_ {0})}

где:

I a (t 0) ¯ = [ t 0 - a, t 0 + a] B b (y 0) ¯ = [y 0 - b, y 0 + b]. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} = [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \\ {\ overline {B_ { b} (y_ {0})}} = [y_ {0} -b, y_ {0} + b]. \ end {align}}}

{\ begin {align} \ overline {I_ {a} (t_ {0})} = [ t_ {0} -a, t_ {0} + a] \\\ overline {B_ {b} (y_ {0})} = [y_ {0} -b, y_ {0} + b]. \ end {выровнено}}

Это компактный цилиндр, в котором определено f. Пусть

M = sup C a, b ‖ f ‖, {\ displaystyle M = \ sup _ {C_ {a, b}} \ | f \ |,}

M = \ sup _ {{C _ {{a, b}}}} \ | f \ |,

это максимальный наклон функции по модулю. Наконец, пусть L - константа Липшица функции f по второй переменной.

Мы приступим к применению теоремы Банаха о фиксированной точке, используя метрику на $C (I a (t 0), B b (y 0)) {\ displaystyle {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$ ${\ mathcal {C}} (I _ {{a}} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))$ индуцированный равномерной нормой

‖ φ ‖ ∞ = sup t ∈ Я | φ (t) |. {\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {\ infty} = \ sup _ {t \ in I_ {a}} | \ varphi (t) |.}

\ | \ varphi \ | _ {\ infty} = \ sup _ {{t \ in I_ {a}}} | \ varphi (t) |.

Мы определяем оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, Оператор Пикара следующим образом:

Γ: C (I a (t 0), B b (y 0)) ⟶ C (I a (t 0), B b (y 0)) {\ displaystyle \ Gamma : {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0})) \ longrightarrow {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

\ Gamma: {\ mathcal {C}} (I _ {{a}} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0})) \ longrightarrow {\ mathcal {C}} (I _ {{a}} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))

определяется следующим образом:

Γ φ (t) = y 0 + ∫ t 0 tf (s, φ (s)) ds. {\ displaystyle \ Gamma \ varphi (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s)) \, ds.}

\ Gamma \ varphi (t) = y_ {0} + \ int _ {{t_ {0} }} ^ {{t}} f (s, \ varphi (s)) \, ds.

Мы должны показать что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя, а также является сжатием.

. Сначала мы покажем, что при определенных ограничениях на $a, Γ {\ displaystyle a, \ Gamma}$ ${\ displaystyle a, \ Gamma}$ переводит $B b (y 0) ¯ {\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ в себя в пространстве непрерывных функций с единой нормой. Здесь $B b (y 0) ¯ {\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ - замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных) функции "сосредоточены" на постоянной функции $y 0 {\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ . Следовательно, нам нужно показать, что

‖ φ 1 ‖ ∞ ≤ b. {\ displaystyle \ | \ varphi _ {1} \ | _ {\ infty} \ leq b.}

\ | \ varphi _ {1} \ | _ {\ infty} \ leq b.

подразумевает

‖ Γ φ (t) - y 0 ‖ = ‖ ∫ t 0 tf (s, φ (s)) ds ‖ ≤ ∫ t 0 t ′ ‖ f (s, φ (s)) ‖ ds ≤ M | t ′ - t 0 | ≤ M a ≤ б {\ displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi (t) -y_ {0} \ right \ | = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s)) \, ds \ right \ | \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t '} \ left \ | f (s, \ varphi (s)) \ right \ | ds \ leq M \ left | t'-t_ {0} \ right | \ leq Ma \ leq b}

\left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b

где $t ′ {\ displaystyle t '}$ $t'$ - некоторое число в $[ t 0 - a, t 0 + a] {\ displaystyle [t_ {0} -a, t_ {0} + a]}$ ${\ displaystyle [t_ {0} -a, t_ {0} + a]}$ где достигается максимум. Последний шаг верен, если мы наложим требование a < b/M.

. Теперь попробуем доказать, что этот оператор является сжатием.

Даны две функции $φ 1, φ 2 ∈ C (I a (t 0), B b (y 0)) {\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2} \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$ $\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2} \ in {\ mathcal {C}} (I _ {{a}} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))$ , чтобы применить фиксированный Банах точечная теорема, мы хотим

‖ Γ φ 1 - Γ φ 2 ‖ ∞ ≤ q ‖ φ 1 - φ 2 ‖ ∞, {\ displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ leq q \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty},}

\ left \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ leq q \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty},

для некоторых q < 1. So let t be such that

‖ Γ φ 1 - Γ φ 2 ‖ ∞ = ‖ (Γ φ 1 - Γ φ 2) (t) ‖ {\ displaystyle \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2 } \ | _ {\ infty} = \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ |}

\ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ | _ {\ infty} = \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ |

затем с помощью определение Γ

‖ (Γ φ 1 - Γ φ 2) (t) ‖ = ‖ ∫ t 0 t (f (s, φ 1 (s)) - f (s, φ 2 (s))) ds ‖ ≤ ∫ t 0 t ‖ f (s, φ 1 (s)) - f (s, φ 2 (s)) ‖ ds ≤ L ∫ t 0 t ‖ φ 1 (s) - φ 2 (s) ‖ dsf является липшицевым. ≤ L a ‖ φ 1 - φ 2 ‖ ∞ {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ | = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left (f (s, \ varphi _ {1} (s)) -f (s, \ varphi _ {2} (s)) \ right) ds \ right \ | \\ \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \\ \ leq L \ int _ {t_ {0 }} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} (s) - \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds f {\ text {непрерывно по Липшицу}} \\ \ leq La \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ end {align}}}

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ | = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left (f (s, \ varphi _ {1} (s)) - f (s, \ varphi _ {2} (s)) \ right) ds \ right \ | \\ \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left ( s, \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \\ \ leq L \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} (s) - \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds f {\ text {непрерывно по Липшицу}} \\ \ leq La \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ end {align}}}

Это сокращение, если $a < 1 L. {\displaystyle a<{\tfrac {1}{L}}.}$ ${\ displaystyle a <{\ tfrac {1} {L}}.}$

Мы установили, что оператор является сжатием на банаховых пространствах с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке, чтобы сделать вывод о том, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, существует уникальная функция

φ ∈ C (I a (t 0), B b (y 0)) {\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

\ varphi \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0})))

такие, что Γφ = φ. Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I a, где a удовлетворяет условию

a < min { b M, 1 L }. {\displaystyle a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.}

{\ displaystyle a <\ min \ left \ {{\ tfrac {b} {M}}, {\ tfrac {1} {L}} \ right \}.}

Оптимизация интервала решения

Тем не менее, существует следствие Теорема Банаха о неподвижной точке: если оператор T является сжатием для некоторого n в N, то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:

Лемма: $‖ Γ m φ 1 - Γ m φ 2 ‖ ≤ L m α m m! ‖ Φ 1 - φ 2 ‖ {\ displaystyle \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |}$ $\ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ Left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |$

Доказательство. Индукция по м. Для базы индукции (m = 1) мы уже видели это, поэтому предположим, что неравенство выполняется для m - 1, тогда имеем:

‖ Γ m φ 1 - Γ m φ 2 ‖ = ‖ Γ Γ m - 1 φ 1 - Γ Γ m - 1 φ 2 ‖ ≤ | T 0 t ‖ f (s, Γ m - 1 φ 1 (s)) - f (s, Γ m - 1 φ 2 (s)) ‖ d s | ≤ L | T 0 t ‖ Γ m - 1 φ 1 (s) - Γ m - 1 φ 2 (s) ‖ d s | ≤ L м α м м! ‖ Φ 1 - φ 2 ‖. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | = \ left \ | \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} - \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} \ right \ | \\ \ leq \ left | \ int _ {t_ {0 }} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1 } \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \ right | \\ \ leq L \ left | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) - \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds \ right | \\ \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |. \ end {align}}}

{\ begin {align} \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | = \ left \ | \ Gamma \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {1} - \ Gamma \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {2} \ right \ | \\ \ leq \ left | \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \ right | \\ \ leq L \ left | \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} \ left \ | \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {1} (s) - \ Gamma ^ {{m-1}} \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds \ right | \\ \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |. \ end {выровнено}}

Это неравенство гарантирует, что для некоторого большого m

L m α мм! < 1, {\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}

{\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!} } <1,

и, следовательно, Γ будет сжатием. Итак, по предыдущему следствию Γ будет иметь единственную неподвижную точку. Наконец, мы смогли оптимизировать интервал решения, взяв α = min {a, b / M}.

В конце концов, этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.

Другие теоремы существования

Теорема Пикара – Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. Теорема существования Пеано показывает только существование, а не единственность, но предполагает только, что f непрерывна по y, а не липшицево. Например, правая часть уравнения dy / dt = y с начальным условием y (0) = 0 непрерывна, но не липшицева. В самом деле, это уравнение не является уникальным, а имеет три решения:

y (t) = 0, y (t) = ± (2 3 t) 3 2 {\ displaystyle y (t) = 0, \ qquad y ( t) = \ pm \ left ({\ tfrac {2} {3}} t \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}

{\ displaystyle y (t) = 0, \ qquad y (t) = \ pm \ left ({\ tfrac {2} {3}} t \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}

Еще более общим является теорема существования Каратеодори, что доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на f. Хотя этих условий достаточно, существуют также необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение задачи начального значения было уникальным, например, теорема Окамуры.

См. Также

Математический портал

Примечания

Ссылки

Коддингтон, Эрл А. ; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл..
Линделёф, Э. (1894). "Применение метода приближений, последовательных aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 116 : 454–457. (В этой статье Линделёф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикарда.)
Тешл, Джеральд (2012). «2.2. Основной результат существования и уникальности» (PDF). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.

Внешние ссылки

Теорема Коши-Липшица в Энциклопедия математики.
Неподвижные точки и алгоритм Пикара, восстановлено из http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html.
Доказательство теоремы Пикара – Линделёфа