Войти
В математике, относительно компактное подпространство (или относительно компактное подмножество или предкомпактное подмножество ) Y топологического пространства X - это подмножество, замыкание которого компактно.
Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно). И в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно.
Каждое компактное подмножество хаусдорфова пространства относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как особая точечная топология на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; иначе говоря, компактное подмножество нехаусдорфового пространства не обязательно относительно компактно.
В случае метрической топологии или, в более общем смысле, когда последовательности могут использоваться для проверки компактности, критерием относительной компактности становится то, что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность, сходящуюся в X.
Некоторые основные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности в функциональных пространствах. Примером может служить теорема Арцела – Асколи. Другие интересующие нас случаи относятся к равномерной интегрируемости и концепции нормального семейства в комплексном анализе. Теорема Малера о компактности в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в некоторых некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток ).
Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что переводы F являются относительно компактным множеством. Это необходимо уточнить в терминах используемой топологии в конкретной теории.
В качестве контрпримера возьмем любую окрестность конкретной точки бесконечного конкретного точечного пространства. Сама окрестность может быть компактной, но не относительно компактной, поскольку ее замыкание - это все некомпактное пространство.
Каждое компактное подмножество (возможно, не хаусдорфово) топологического векторного пространства является полным и относительно компактным.
