Альфапедия

Геометрия чисел

редактировать

Геометрия чисел является частью теории чисел, в которой используется геометрия для изучения алгебраических чисел. Обычно кольцо целых алгебраических чисел рассматривается как решетка в R n, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}\ mathbb {R} ^ {n}, и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах. Геометрия чисел была начата Германом Минковским (1910).

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональным анализом и диофантовым приближением, проблемой поиска рациональных чисел, которые аппроксимируют иррациональную величину.

Содержание
  • 1 Результаты Минковского
  • 2 Более поздние исследования геометрии чисел
    • 2.1 Теорема Шмидта о подпространстве
  • 3 Влияние на функциональный анализ
  • 4 Ссылки
  • 5 Библиография
Результаты Минковского

Предположим, что Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma - это решетка в n {\ displaystyle n}n -мерное евклидово пространство R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} и K {\ displaystyle K}K- выпуклое центрально-симметричное тело. Теорема Минковского, иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если vol ⁡ (K)>2 n vol ⁡ (R n / Γ) {\ displaystyle \ operatorname {vol} (K)>2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}{\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)} , затем K {\ displaystyle K}Kсодержит ненулевой вектор в Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma .

последующий минимум λ k {\ displaystyle \ lambda _ {k}}\ lambda _ {k} определяется как inf чисел λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda таких, что λ K {\ displaystyle \ lambda K}{\ displaystyle \ lambda K} содержит k {\ displaystyle k}k линейно независимых векторов из Γ {\ displaystyle \ Gamma}\ Gamma . Теорема Минковского о последовательном Минимум, иногда называемый второй теоремой Минковского, является усилением его первой теоремы и утверждает, что

λ 1 λ 2 ⋯ λ N объем ⁡ (K) ≤ 2 n vol ⁡ (R n / Γ) {\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n } \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)} .
Более поздние исследования в геометрии чисел

В 1930-1960 годах исследования геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел (включая Луи Морделла, Гарольда Давенпорта и Карла Людвига Сигеля. ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, которые перечисляют точки решетки в некоторых выпуклых телах.

Теорема В.М. Шмидта о подпространстве

В геометрии чисел Теорема о подпространстве была получена Вольфгангом М. Шмидтом в 1972 году. В ней говорится, что если n является положительным целым числом и L 1,..., L n являются линейно независимыми линейными формами в n переменных с алгебраическими коэффициентами, и если ε>0 - любое заданное действительное число, тогда ненулевые целые точки x в n координатах с

| L 1 (x) ⋯ L n (x) | < | x | − ε {\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}| L_ {1} (x) \ cdots L_ {n} (x) | <| x | ^ {- \ varepsilon}

лежат в конечном числе собственных подпространств из Q.

Влияние на функциональный анализ

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ. Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковского была обобщена на топологические векторные пространства Колмогоровым, чья теорема утверждает, что симметричные выпуклые множества, которые являются замкнутыми и ограниченными, порождают топологию банахова пространства.

Исследователи продолжать изучать обобщения для звездных множеств и других невыпуклых множеств.

Ссылки
Библиография
Последняя правка сделана 2021-05-21 03:45:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте