Условие Гёльдера

В математике вещественная или комплекснозначная функция f на d -мерном евклидовом пространстве удовлетворяет условию Гёльдера или является непрерывной по Гёльдеру, когда существуют неотрицательные действительные константы C, αgt; 0, такие, что

${\ Displaystyle | е (х) -f (у) | \ Leq C \ | ху \ | ^ {\ альфа}}$

для всех x и y в области определения f. В более общем смысле условие может быть сформулировано для функций между любыми двумя метрическими пространствами. Число α называется показателем условия Гельдера. Функция на интервале, удовлетворяющая условию с αgt; 1, постоянна. Если α = 1, то функция удовлетворяет условию Липшица. Для любого αgt; 0 из условия следует, что функция равномерно непрерывна. Состояние названо в честь Отто Гёльдера.

Имеем следующую цепочку строгих включений для функций над замкнутым и ограниченным нетривиальным интервалом вещественной прямой

Непрерывно дифференцируемое ⊂ липшицево непрерывное ⊂ α-гёльдерово непрерывное ⊂ равномерно непрерывное ⊂ непрерывное

где 0 lt;α ≤ 1.

• 1 Пространства Гёльдера
• 2 Компактное вложение пространств Гёльдера
• 3 Примеры
• 4 свойства
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Пространства Гёльдера, состоящие из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, являются основными в областях функционального анализа, относящихся к решению уравнений с частными производными, а также в динамических системах. Пространство Гёльдера C ^{k, α} (Ω), где Ω - открытое подмножество некоторого евклидова пространства, а k ≥ 0 - целое число, состоит из тех функций на Ω, которые имеют непрерывные производные вплоть до порядка k и такие, что k- е частные производные равны Гёльдера с показателем α, где 0 lt;α ≤ 1. Это локально выпуклое топологическое векторное пространство. Если коэффициент Гельдера

${\ displaystyle | f | _ {C ^ {0, \ alpha}} = \ sup _ {x \ neq y \ in \ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {\ | xy \ | ^ {\ alpha}}},}$

конечна, то функция f называется (равномерно) гёльдеровской с показателем α в Ω. В этом случае коэффициент Гёльдера выступает в роли полунормы. Если коэффициент Гёльдера ограничен просто на компактных подмножествах Ω, то функция f называется локально непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω.

Если функция f и ее производные до порядка k ограничены на замыкании Ω, то пространству Гельдера можно присвоить норму ${\ Displaystyle С ^ {к, \ альфа} ({\ overline {\ Omega}})}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {C ^ {k, \ alpha}} = \ | f \ | _ {C ^ {k}} + \ max _ {| \ beta | = k} \ left | D ^ {\ beta} f \ right | _ {C ^ {0, \ alpha}}}$

где β пробегает мультииндексы и

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {C ^ {k}} = \ max _ {| \ beta | \ leq k} \ sup _ {x \ in \ Omega} \ left | D ^ {\ beta} f ( x) \ right |.}$

Эти полувормно и нормы часто обозначают просто и или также и для того, чтобы подчеркнуть зависимость от области е. Если Ω открыто и ограничено, то является банаховым пространством по норме. ${\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha}}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {к, \ альфа}}$${\ Displaystyle | е | _ {0, \ альфа, \ Omega} \;}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {к, \ альфа, \ Omega}}$${\ Displaystyle С ^ {к, \ альфа} ({\ overline {\ Omega}})}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {C ^ {k, \ alpha}}}$

Пусть Ω - ограниченное подмножество некоторого евклидова пространства (или, в более общем смысле, любого вполне ограниченного метрического пространства), и пусть 0 lt;α lt;β ≤ 1 два показателя Гёльдера. Тогда существует очевидное отображение включения соответствующих пространств Гёльдера:

${\ Displaystyle С ^ {0, \ бета} (\ Омега) \ к С ^ {0, \ альфа} (\ Омега),}$

которое является непрерывным, поскольку по определению норм Гёльдера имеем:

${\ displaystyle \ forall f \ in C ^ {0, \ beta} (\ Omega): \ qquad | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \ leq \ mathrm {diam} (\ Omega) ^ {\ бета - \ alpha} | f | _ {0, \ beta, \ Omega}.}$

Более того, это включение компактно, что означает, что ограниченные множества в норме ‖ 0, β относительно компактны в норме ‖ 0, α. Это прямое следствие теоремы Асколи-Арцела. Действительно, пусть ( u n) - ограниченная последовательность в C ^{0, β} (Ω). Благодаря теореме Асколи-Арцела без ограничения общности можно считать, что u n → u равномерно, а также можно считать u = 0. Тогда

${\ displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, \ alpha} = | u_ {n} | _ {0, \ alpha} \ to 0,}$

потому что

${\ displaystyle {\ frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ alpha}}} = \ left ({\ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ beta}}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left | u_ {n} (x) - u_ {n} (y) \ right | ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} \ leq | u_ {n} | _ {0, \ beta} ^ {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left (2 \ | u_ {n} \ | _ {\ infty} \ right) ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} = o (1).}$

• Если 0 lt;α ≤ β ≤ 1, то все функции, непрерывные по Гёльдеру на ограниченном множестве Ω, также непрерывны по Гёльдеру. Это также включает β = 1, и поэтому все липшицевы функции на ограниченном множестве также C ^{0, α-} Гёльдеровы.${\ displaystyle C ^ {0, \ beta} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ displaystyle C ^ {0, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$
• Функция f ( x) = x ^β (с β ≤ 1), определенная на [0, 1], служит прототипом функции, которая является непрерывной по Гельдеру C ^{0, α} для 0 lt;α ≤ β, но не для αgt; β. Далее, если бы мы определили f аналогичным образом на, то оно было бы C ^{0, α} Гельдерово непрерывным только при α = β.${\ displaystyle [0, \ infty)}$
• При αgt; 1 любая непрерывная функция α – Гёльдера на [0, 1] (или любом интервале) является константой.
• Существуют примеры равномерно непрерывных функций, не являющихся непрерывными по α – Гёльдеру ни при каком α. Например, функция, определенная на [0, 1/2] формулой f (0) = 0 и f ( x) = 1 / log ( x) в противном случае, является непрерывной и, следовательно, равномерно непрерывной по теореме Гейне-Кантора. Однако он не удовлетворяет условию Гельдера любого порядка.
• Функция Вейерштрасса определяется следующим образом:

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos \ left (b ^ {n} \ pi x \ right),}$

где - целое число и является непрерывным по Гёльдеру с ${\ displaystyle 0 lt;a lt;1, b}$${\ displaystyle b \ geq 2}$${\ displaystyle abgt; 1 + {\ tfrac {3 \ pi} {2}},}$

${\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ log (a)} {\ log (b)}}.}$

• Функция Кантора непрерывна по Гёльдеру для любого показателя и не больше. В первом случае неравенство определения выполняется с константой C  : = 2.${\ displaystyle \ alpha \ leq {\ tfrac {\ log 2} {\ log 3}},}$
• Кривые Пеано из [0, 1] на квадрат [0, 1] ² могут быть построены так, чтобы быть 1/2 –гельдеровскими. Можно доказать, что когда изображение непрерывной функции α – Гёльдера из единичного интервала в квадрат не может заполнить квадрат.${\ displaystyle \ alphagt; {\ tfrac {1} {2}}}$
• Примерные траектории броуновского движения почти наверняка всюду локально α-Гёльдеровы для каждого${\ displaystyle \ alpha lt;{\ tfrac {1} {2}}.}$
• Функции, которые являются локально интегрируемыми и интегралы которых удовлетворяют подходящему условию роста, также являются непрерывными по Гёльдеру. Например, если мы позволим

${\ displaystyle u_ {x, r} = {\ frac {1} {| B_ {r} |}} \ int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}$

и ты удовлетворяет

${\ Displaystyle \ int _ {B_ {r} (x)} \ left | u (y) -u_ {x, r} \ right | ^ {2} dy \ leq Cr ^ {n + 2 \ alpha},}$

тогда u непрерывно по Гёльдеру с показателем α.

• Функции, колебания которых затухают с фиксированной скоростью относительно расстояния, являются непрерывными по Гёльдеру с показателем степени, который определяется скоростью затухания. Например, если

${\ displaystyle w (u, x_ {0}, r) = \ sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- \ inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}$

для некоторой функции u ( x) удовлетворяет

${\ displaystyle w \ left (u, x_ {0}, {\ tfrac {r} {2}} \ right) \ leq \ lambda w \ left (u, x_ {0}, r \ right)}$

для фиксированного λ, 0 lt;λ lt;1 и всех достаточно малых значений r, то u непрерывно по Гёльдеру.

• Функции из пространства Соболева могут быть вложены в соответствующее пространство Гёльдера с помощью неравенства Морри, если размерность пространства меньше показателя пространства Соболева. Чтобы быть точным, если тогда существует постоянная C, зависящая только от p и n, такая, что:${\ Displaystyle п lt;п \ leq \ infty}$

${\ displaystyle \ forall u \ in C ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ cap L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {n}): \ qquad \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) },}$

где Таким образом, если u ∈ W ^1,p ( R ⁿ), то u фактически непрерывно по Гёльдеру показателя γ после возможного переопределения на множестве меры 0.${\ displaystyle \ gamma = 1 - {\ tfrac {n} {p}}.}$

• Замкнутая аддитивная подгруппа бесконечномерного гильбертова пространства H, связанная α – гельдеровскими дугами с αgt; 1/2, является линейным подпространством. В H существуют замкнутые аддитивные подгруппы, а не линейные подпространства, соединенные 1/2 – гельдеровскими дугами. Примером может служить аддитивная подгруппа L ² ( R, Z) гильбертова пространства L ² ( R, R).
• Любая α-гельдерово функция F на метрическом пространстве X допускает приближение Липшицы с помощью последовательности функций ( F K), такие, что F K есть к -Lipschitz и

${\ displaystyle \ | е-е_ {k} \ | _ {\ infty, X} = O \ left (k ^ {- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}} \ right).}$

Наоборот, любая такая последовательность ( f k) липшицевых функций сходится к α – гёльдеровскому непрерывному равномерному пределу f.

• Любая α – функция Гельдера f на подмножестве X нормированного пространства E допускает равномерно непрерывное расширение на все пространство, которое является непрерывным по Гельдеру с той же константой C и тем же показателем α. Самое большое такое расширение:

${\ displaystyle f ^ {*} (x): = \ inf _ {y \ in X} \ left \ {f (y) + C | xy | ^ {\ alpha} \ right \}.}$

• Образ любой под функцией α – Гёльдера имеет размерность Хаусдорфа не более, где - размерность Хаусдорфа функции.${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ dim _ {H} (U)} {\ alpha}}}$${\ displaystyle \ dim _ {H} (U)}$${\ displaystyle U}$
• Пространство неразделимое.${\ Displaystyle С ^ {0, \ альфа} (\ Омега), 0 lt;\ альфа \ Leq 1}$
• Вложение не плотное.${\ displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ subset C ^ {0, \ alpha} (\ Omega), 0 lt;\ alpha lt;\ beta \ leq 1}$

• Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения с частными производными. Американское математическое общество, Провиденс. ISBN   0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Трудингер, Нил (1983). Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN   3-540-41160-7. .
• Хан, Цин; Линь, Fanghua (1997). Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта. ISBN   0-9658703-0-8. OCLC   38168365. Руководство по ремонту 1669352