Равномерная непрерывность

редактировать

Функция, ограничивающая "рост" расстояний между выходами равномерно по всей своей области

График

f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x }}}

выходит за пределы верхней и / или нижней части

высота × ширина = 2 ε × 2 δ { \ displaystyle {\ text {height}} \ times {\ text {width}} = 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}

{\ displaystyle {\ text {height}} \ times {\ text {width}} = 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}

окно, даже маленькое

δ {\ displaystyle \ delta}

\ delta

, поэтому

f (x) {\ displaystyle f (x)}

f (x)

не является не равномерно непрерывным. Функция

g (x) = x {\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}

{\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}

, с другой стороны, является равномерно непрерывной.

В математике функция f является равномерно непрерывной, если, грубо говоря, можно гарантировать, что f (x) и f (y) будут как можно ближе друг к другу, требуя только, чтобы x и y были достаточно близки друг к другу; в отличие от обычного непрерывности, где максимальное расстояние между f (x) и f (y) может зависеть от самих x и y.

Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они не ограничены в конечной области, например $f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} { x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x }}}$ на (0,1), или если их наклоны становятся неограниченными в бесконечной области, например $f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f(x)=x^{2}$ по реальной линии. Однако любое липшицево отображение между метрическими пространствами является равномерно непрерывным, в частности, любая изометрия (сохраняющая расстояние карта).

Хотя обычная непрерывность может быть определена для функций между общими топологическими пространствами, определение равномерной непрерывности требует большей структуры. Концепция основана на сравнении размеров окрестностей различных точек, поэтому для нее требуется метрическое пространство или, в более общем смысле, однородное пространство.

Содержание

1 Определение функций на метрических пространствах
2 Локальная непрерывность против глобальной однородной непрерывности
3 Примеры и контрпримеры
4 Свойства
5 Визуализация
6 История
7 Другие характеристики
- 7.1 Нестандартный анализ
- 7.2 Коши непрерывность
8 Связь с проблемой расширения
9 Обобщение на топологические векторные пространства
10 Обобщение на однородные пространства
11 Ссылки
12 Дополнительная литература

Определение функций на метрических пространствах

Дано метрические пространства $(X, d 1) {\ displaystyle (X, d_ {1})}$ ${\ displaystyle (X, d_ {1})}$ и $(Y, d 2) { \ displaystyle (Y, d_ {2})}$ ${\ displaystyle (Y, d_ {2})}$ , функция $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ называется равномерно непрерывный, если для каждого действительного числа $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует настоящий $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ такое, что для каждого $x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ с $d 1 (x, y) < δ {\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${ \ displaystyle d_ {1} (x, y) <\ delta}$ , мы имеем, что $d 2 (f (x), f (y)) < ε {\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\ displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) <\ varepsilon}$ .

Если X и Y являются подмножествами вещественной линии, d 1 и d 2 может быть стандартным одномерным евклидовым расстоянием, что дает определение: для всех $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ такой, что для всех $x, y ∈ X, | х - у | < δ ⟹ | f ( x) − f ( y) | < ε {\displaystyle x,y\in X,|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle x, y \ in X, | xy | <\ delta \ подразумевает | f (x) -f (y) | <\ varepsilon}$ .

Разница между равномерной непрерывностью и обычной непрерывностью в каждой точке заключается в том, что при равномерной непрерывности значение $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ зависит только от $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , а не на точке в домене.

Локальная непрерывность в сравнении с глобальной однородной непрерывностью

Непрерывность сама по себе является локальным свойством функции, то есть функция f является непрерывной или нет в определенной точке, и это можно определить глядя только на значения функции в (сколь угодно малой) окрестности этой точки. Когда мы говорим о непрерывности функции на интервале , мы имеем в виду только то, что она непрерывна в каждой точке интервала. Напротив, равномерная непрерывность является глобальным свойством функции f в том смысле, что стандартное определение относится к парам точек, а не к отдельным точкам. С другой стороны, можно дать определение, которое является локальным в терминах естественного расширения f * (характеристики которого в нестандартных точках определяются глобальными свойствами f), хотя невозможно дать локальное определение равномерной непрерывности для произвольной гиперреалистической функции, см. ниже.

Математические утверждения о том, что функция непрерывна на интервале I, и определение, что функция равномерно непрерывна на том же интервале, структурно очень похожи. Таким образом, непрерывность функции для каждой точки x интервала может быть выражена формулой, начинающейся с квантификации

∀ x ∈ I ∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ y ∈ I: | х - у | < δ ⇒ | f ( x) − f ( y) | < ε, {\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon>0 \; \ exists \ delta>0 \; \ forall y \ in I: \, | xy | <\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon \,,}

\forall x\in I\;\forall \varepsilon>0 \; \ exists \ delta>0 \; \ forall y \ in I: \, | xy | <\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon \,,

, тогда как для равномерной непрерывности порядок первого, второго и третьего кванторов меняется:

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ x, y ∈ I: | х - у | < δ ⇒ | f ( x) − f ( y) | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \ exists \ delta>0 \; \ forall x, y \ in I: \, | xy | <\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon }

\forall \varepsilon>0 \; \ exists \ delta>0 \; \ forall x, y \ in I: \, | xy | <\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon

Таким образом, для непрерывности в каждой точке берется произвольная точка x, и тогда должно существовать расстояние δ,

⋯ ∀ x ∃ δ ⋯, {\ displaystyle \ cdots \ forall x \, \ exists \ delta \ cdots,}

\ cdots \ forall x \, \ exists \ delta \ cdots,

в то время как для равномерной непрерывности одно δ должно работать одинаково для всех точек x (и y):

⋯ ∃ δ ∀ x ∀ y ⋯. {\ displaystyle \ cdots \ exists \ delta \, \ forall x \, \ forall y \ cdots.}

\ cdots \ exists \ delta \, \ forall x \, \ forall y \ cdots.

Примеры и контрпримеры

Каждое липшицево непрерывное отображение между двумя метрическими пространствами равномерно непрерывно. В частности, любая дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна. В более общем плане каждая непрерывная функция Гельдера является равномерно непрерывной.
Несмотря на то, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, она везде равномерно непрерывна
Каждый член равномерно равностепенно непрерывный набор функций равномерно непрерывен.
Касательная функция непрерывна на интервале (−π / 2, π / 2), но не является равномерно непрерывна на этом интервале.
Экспоненциальная функция x $↦ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mapsto}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mapsto}$ e непрерывна везде на действительной прямой, но не является равномерно непрерывной на линии.

Свойства

Каждая равномерно непрерывная функция непрерывна, но обратное неверно. Рассмотрим, например, функцию $f: R → R, x ↦ x 2 {\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, x \ mapsto x ^ {2}}$ . Учитывая произвольно малое положительное действительное число $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , равномерная непрерывность требует существования положительного числа $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такого что для всех $x 1, x 2 {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ $x_ {1}, x_ {2 }$ с $| х 1 - х 2 | < δ {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ $| x_ {1} -x_ {2} | <\ delta$ , имеем $| f (x 1) - f (x 2) | < ε {\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ ${\ displaystyle | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | <\ varepsilon}$ . Но

f (x + δ 2) - f (x) = 2 x ⋅ δ 2 + δ 2 4, {\ displaystyle f \ left (x + {\ frac {\ delta} {2}} \ right) - f (x) = 2x \ cdot {\ frac {\ delta} {2}} + {\ frac {\ delta ^ {2}} {4}},}

{\ displaystyle f \ left (x + {\ frac {\ delta} {2}} \ right) -f (x) = 2x \ cdot {\ frac {\ delta} {2}} + {\ frac {\ delta ^ {2} } {4}},}

и для всех достаточно больших x это количество больше чем $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Любая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. С другой стороны, функция Кантора равномерно непрерывна, но не абсолютно непрерывна.

Образ полностью ограниченного подмножества при равномерно непрерывной функции полностью ограничен. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывной функции не обязательно должен быть ограничен: в качестве контрпримера рассмотрим тождественную функцию от целых чисел с дискретной метрикой до целых чисел с обычная евклидова метрика.

Теорема Гейне – Кантора утверждает, что каждая непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна. В частности, если функция непрерывна на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой, она равномерно непрерывна на этом интервале. Интегрируемость по Дарбу непрерывных функций почти сразу следует из этой теоремы.

Если функция с действительным знаком $f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывна на $[0, ∞) {\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ и $lim x → ∞ f (x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x)}$ $\ lim _ {x \ to \ infty} f (x)$ существует (и конечен), тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ равномерно непрерывно. В частности, каждый элемент $C 0 (R) {\ displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R})}$ $C_ {0} ({\ mathbb {R}})$ , пространство непрерывных функций на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , исчезающие на бесконечности, равномерно непрерывны. Это обобщение упомянутой выше теоремы Гейне-Кантора, поскольку $C c (R) ⊂ C 0 (R) {\ displaystyle C_ {c} (\ mathbb {R}) \ subset C_ {0} (\ mathbb {R})}$ $C_ {c} ({\ mathbb {R}}) \ subset C_ {0} ({\ mathbb {R}})$ .

Визуализация

Для равномерно непрерывной функции существует для каждого заданного $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ a $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ такие, что два значения $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ и $f (y) {\ displaystyle f (y)}$ $е (y)$ имеют максимальное расстояние $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ всякий раз, когда $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ не отличаются более чем на $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Таким образом, мы можем нарисовать вокруг каждой точки $(x, f (x)) {\ displaystyle (x, f (x))}$ $(x, f (x))$ прямоугольник с высотой $2 ε {\ displaystyle 2 \ varepsilon}$ $2 \ varepsilon$ и шириной $2 δ {\ displaystyle 2 \ delta}$ $2 \ delta$ так, чтобы график лежал полностью внутри прямоугольника, а не непосредственно над или под ним. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно. График может лежать внутри прямоугольника для определенных средних точек на графике, но всегда есть средние точки прямоугольника на графике, где функция находится выше или ниже прямоугольника.

Для равномерно непрерывных функций для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ a $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ таким образом, что когда мы рисуем прямоугольник вокруг каждой точки графика с шириной $2 δ {\ displaystyle 2 \ delta}$ $2 \ delta$ и высотой $2 ε {\ displaystyle 2 \ varepsilon}$ $2 \ varepsilon$ график полностью лежит внутри прямоугольника.
Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, существует $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ таким образом, что независимо от $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ на графике всегда есть точки, когда мы рисуем вокруг него прямоугольник $2 ε × 2 δ {\ displaystyle 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$ ${\ displaystyle 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$ , есть значения непосредственно над или под прямоугольником. Могут быть средние точки, где график полностью находится внутри прямоугольника, но это не верно для каждой средней точки.

История

Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было сделано Гейне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязательно должна быть равномерно непрерывной. Доказательства почти дословно даны Дирихле в его лекциях по определенным интегралам в 1854 году. Определение равномерной непрерывности появляется ранее в работе Больцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом интервале не обязательно должны быть равномерно непрерывными. Кроме того, он также заявляет, что непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна, но не дает полного доказательства.

Другие характеристики

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе действительная функция f действительной переменной является микропрерывной в точке a точно, если разность f * (a + δ) - f * (a) бесконечно мал, если δ бесконечно мал. Таким образом, f непрерывен на множестве A в R в точности, если f * микропрерывен в каждой действительной точке a ∈ A. Равномерная непрерывность может быть выражена как условие, что (естественное продолжение) f является микропрерывным не только в вещественных точках в A, но во всех точках его нестандартного аналога (естественного расширения) A в R.Обратите внимание, что существуют гиперреалистичные функции, которые удовлетворяют этому критерию, но не являются равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гиперреалистичные функции, которые не удовлетворяют этому критерию. критерий, однако, такие функции не могут быть выражены в виде f * ни для какой действительной функции f. (подробнее и примеры см. нестандартное исчисление ).

Непрерывность Коши

Для функции между метрическими пространствами равномерная непрерывность подразумевает непрерывность Коши (Фитцпатрик 2006). Более конкретно, пусть A будет подмножеством R . Если функция f: A → R равномерно непрерывна, то для любой пары последовательностей x n и y n таких, что

lim n → ∞ | х п - у н | = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | x_ {n} -y_ {n} | = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | x_ {n} -y_ {n} | = 0 }

мы имеем

lim n → ∞ | f (x n) - f (y n) | = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | f (x_ {n}) - f (y_ {n}) | = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | f (x_ {n}) - f (y_ {n}) | = 0.}

Связь с проблемой расширения

Пусть X - метрическое пространство, S - подмножество X, R - полное метрическое пространство и $f: S → R {\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$ $f: S \ rightarrow R$ непрерывная функция. Когда можно продолжить f до непрерывной функции на всем X?

Если S замкнуто в X, ответ дается теоремой о расширении Титце : всегда. Таким образом, необходимо и достаточно расширить f до замыкания S в X: то есть мы можем предполагать без ограничения общности, что S плотно в X, и это имеет еще одно приятное следствие: если расширение существует, оно единственно.

Предположим, кроме того, что X завершено, так что X является завершением S. Тогда непрерывная функция $f: S → R {\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$ $f: S \ rightarrow R$ распространяется на все X тогда и только тогда, когда f непрерывно по Коши, т.е. д., образ последовательности Коши при отображении f остается Коши. (Вообще говоря, непрерывность Коши необходима и достаточна для продолжения функции f до пополнения X, поэтому она априори сильнее, чем возможность продолжения на X.)

Легко видеть, что каждая равномерно непрерывная функция является функцией Коши. непрерывна и, таким образом, продолжается до X. Обратное неверно, поскольку функция $f: R → R, x ↦ x 2 {\ displaystyle f: R \ rightarrow R, x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f: R \ rightarrow R, x \ mapsto x ^ {2}}$ , как видно выше, не является равномерно непрерывным, но непрерывным и, следовательно, - поскольку R полно - непрерывно по Коши. В общем, для функций, определенных на неограниченных пространствах, таких как R, равномерная непрерывность является довольно сильным условием. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно вывести возможность расширения.

Например, предположим, что>1 - действительное число. На уровне предварительного вычисления функции $f: x ↦ ax {\ displaystyle f: x \ mapsto a ^ {x}}$ $f: x \ mapsto a ^ {x}$ можно дать точное определение только для рациональных значений x (при условии существование корней q-й степени из положительных действительных чисел, применение теоремы о промежуточном значении). Можно расширить f до функции, определенной на всем R. Тождество

f (x + δ) - f (x) = ax (a δ - 1) {\ displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = a ^ {x} (a ^ {\ delta} -1)}

{\ displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = a ^ {x} (a ^ {\ delta} -1)}

показывает, что f не является равномерно непрерывным на множестве Q всех рациональных чисел; однако для любого ограниченного интервала I ограничение f до $Q ∩ I {\ displaystyle Q \ cap I}$ $Q \ cap I$ равномерно непрерывно, следовательно, непрерывно по Коши, следовательно, f продолжается до непрерывной функции на I. Но так как это верно для каждого I, тогда существует уникальное расширение f до непрерывной функции на всем R.

В более общем смысле, непрерывная функция $f: S → R {\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$ $f: S \ rightarrow R$ , ограничение которого на каждое ограниченное подмножество S равномерно непрерывно, может быть расширено до X, и обратное верно, если X локально компактно.

Типичное применение расширяемости равномерно непрерывная функция является доказательством формулы обратного преобразования Фурье. Сначала докажем, что формула верна для пробных функций, их очень много. Затем мы расширяем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; таким образом, равномерно непрерывный.

Обобщение на топологические векторные пространства

В частном случае двух топологических векторных пространств $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $W {\ displaystyle W}$ $W$ , понятие равномерной непрерывности карты $f: V → W {\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ становится: для любого окрестность $B {\ displaystyle B}$ $B$ нуля в $W {\ displaystyle W}$ $W$ , существует окрестность $A {\ displaystyle A}$ $A$ нуля в $V {\ displaystyle V}$ $V$ так, что $v 1 - v 2 ∈ A {\ displaystyle v_ {1} -v_ {2} \ in A}$ $v_ {1} -v_ {2} \ in A$ подразумевает $f (v 1) - f (v 2) ∈ B. {\ displaystyle f (v_ {1}) - f (v_ {2}) \ in B.}$ $f (v_ {1}) - f (v_ {2}) \ in B.$

для линейных преобразований $f: V → W {\ displaystyle f: V \ до W}$ $f: V \ to W$ равномерная непрерывность эквивалентна непрерывности. Этот факт часто неявно используется в функциональном анализе для расширения линейной карты с плотного подпространства банахова пространства.

Обобщение на однородные пространства

Так же, как наиболее естественный и общая установка для непрерывности - топологические пространства, наиболее естественная и общая установка для изучения равномерной непрерывности - равномерные пространства. Функция f: X → Y между однородными пространствами называется равномерно непрерывной, если для каждого окружения V в Y существует окружение U в X такое, что для каждого (x 1, x 2) в U мы имеем (f (x 1), f (x 2)) в V.

В этой настройке также верно, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши.

Каждое компактное хаусдорфово пространство обладает ровно одной равномерной структурой, совместимой с топологией. Следствием этого является обобщение теоремы Гейне-Кантора: каждая непрерывная функция из компактного хаусдорфового пространства в равномерное пространство равномерно непрерывна.

Ссылки

Дополнительная литература

Бурбаки, Николас. Общая топология: главы 1–4 [Topologie Générale]. ISBN 0-387-19374-X. Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным пространствам.
Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа. Academic Press.
Фитцпатрик, Патрик (2006). Расширенный расчет. Брукс / Коул. ISBN 0-534-92612-6.
Келли, Джон Л. (1955). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
Rusnock, P.; Керр-Лоусон, А. (2005), «Больцано и единообразная непрерывность», Historia Mathematica, 32 (3): 303–311, doi : 10.1016 / j. hm.2004.11.003