Топологическое векторное пространство

редактировать
Векторное пространство с понятием близости

В математике a топологическое векторное пространство (также называемое линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или tvs ) является одной из основных структур, исследуемых в функционале. анализ.

Топологическое векторное пространство - это векторное пространство (алгебраическая структура), которое также является топологическим пространством, последнее, таким образом, допускает понятие преемственность. Более конкретно, его топологическое пространство имеет однородную топологическую структуру, что позволяет реализовать понятие равномерной сходимости.

Элементы топологических векторных пространств обычно являются функциями или линейными операторы действуют в топологических векторных пространствах, и топология часто определяется так, чтобы уловить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

Банаховы пространства, Гильбертовы пространства и пространства Соболева - хорошо известные примеры.

Если не указано иное, предполагается, что базовое поле топологического векторного пространства является либо комплексными числами ℂ, либо действительными числами ℝ.

Содержание

  • 1 Мотивация
  • 2 Определение
    • 2.1 Определение топологий с использованием окрестностей исходной точки
    • 2.2 Определение топологий с помощью строк
  • 3 Топологическая структура
    • 3.1 Инвариантность векторных топологий
    • 3.2 Локальные понятия
    • 3.3 Метризуемость
    • 3.4 Полнота и единообразная структура
  • 4 Примеры
    • 4.1 Самая точная и грубая векторная топология
    • 4.2 Пространства векторных продуктов
    • 4.3 Конечномерные пространства
    • 4.4 Не -векторные топологии
  • 5 Линейные карты
  • 6 Типы
  • 7 Двойное пространство
  • 8 Свойства
    • 8.1 Окрестности и открытые множества
    • 8.2 Нехаусдорфовы пространства и замыкание начала координат
    • 8.3 Замкнутые и компактные множества
    • 8.4 Другие свойства
    • 8.5 Свойства, сохраняемые операторами множества
  • 9 См. Также
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки
  • 12 Библиография
  • 13 Внешние ссылки

Мотивация

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику, а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что:

  1. Сложение векторов +: X + X → X совместно непрерывно относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника, подчиняющегося норме.
  2. Скалярное умножение ·: 𝕂 × X → X, где 𝕂 - лежащее в основе скалярное поле X, совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Таким образом, все банаховы пространства и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все еще представляет интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций, пространства Шварца и пространства тестовых функций. и пробелы раздач на них. Все это примеры пространств Montel. Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не нормируемо. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова.

A топологическое поле является топологическим векторным пространством над каждым из его подполей.

Определение

Семейство окрестностей начала координат с двумя указанными выше свойствами однозначно определяет топологическое векторное пространство. Система окрестностей любой другой точки в векторном пространстве получается с помощью трансляции.
Определение : топологическое векторное пространство (TVS ) X является векторное пространство над топологическим полем 𝕂 (чаще всего действительные или комплексные числа с их стандартными топологиями), наделенное топология такая, что сложение векторов +: X × X → X и скалярное умножение ·: 𝕂 × X → X являются непрерывными функциями (где области определения этих функций наделены топологиями произведения ). Такая топология называется векторной топологией или топологией TVS на X.

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой при добавлении.

допущение Хаусдорфа

Некоторые авторы (например, Вальтер Рудин ) требуют, чтобы топология на X была T1 ; из этого следует, что это пространство Хаусдорфа и даже Тихонова. Топологическое векторное пространство называется разделенным, если оно является хаусдорфовым (обратите внимание, что «разделенное» не означает разделимое ). Топологические и линейные алгебраические структуры могут быть связаны друг с другом еще более тесно с помощью дополнительных предположений, наиболее распространенные из которых перечислены ниже.

Категория и морфизмы

Категория топологических векторных пространств над данное топологическое поле 𝕂 обычно обозначается TVS 𝕂или TVect 𝕂. объекты представляют собой топологические векторные пространства над 𝕂, а морфизмы представляют собой непрерывные 𝕂-линейные отображения одного объекта в другой.

Определение : Гомоморфизм TVS или топологический гомоморфизм - это непрерывное линейное отображение u : X → Y между топологическими векторными пространствами (TVS) такими, что индуцированное отображение u: X → Im u является открытым отображением, когда Im u, который является диапазоном или изображением u, имеет топология подпространства, индуцированная Y.
Определение : Вложение TVS или топологический мономорфизм является инъективным топологический гомоморфизм. Эквивалентно, TVS-вложение - это линейное отображение, которое также является топологическим вложением.
Определение : TVS-изоморфизм или изоморфизм в категории TVS является биективным линейным гомеоморфизмом. Эквивалентно, это сюръективное вложение TVS.

Многие свойства TVS, которые изучаются, такие как локальная выпуклость, метризуемость, полнота и нормируемость инвариантны относительно TVS-изоморфизмов.

Необходимое условие для векторной топологии
Определение : Набор 𝒩 подмножеств векторного пространства называется аддитивным, если для любого N ∈ 𝒩 существует некоторый U ∈ 𝒩 такой что U + U ⊆ N.

Характеристика непрерывности сложения в 0 - Если (X, +) является группой (как и все векторные пространства), τ является топологией на X, а X × X наделен топологией произведения, тогда отображение сложения X × X → X (т.е. отображение (x, y) ↦ x + y) непрерывно в начале координат X × X тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в (X, τ) аддитивно. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить словом «открытое соседство».

Следовательно, все вышеперечисленные условия необходимы для формирования топологии векторной топологии.

Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

Поскольку каждая векторная топология инвариантна относительно трансляции (т.е. для всех x 0 ∈ X, отображение X → X определяется как x ↦ x 0 + x является гомеоморфизмом ), для определения векторной топологии достаточно определить базис окрестности (или подбазис) для него в начале координат.

Теорема (фильтр окрестности начала координат). Предположим, что X - вещественное или комплексное векторное пространство. Если ℬ непустой аддитивный набор сбалансированных и поглощающих подмножеств X, то ℬ является базой окрестности в 0 для векторной топологии на X. Это То есть, предполагается, что ℬ является базой фильтра, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Каждый B ∈ ℬ сбалансирован и поглощающий,
  2. ℬ является аддитивным: Для каждого B ∈ ℬ существует U ∈ ℬ такое, что U + U ⊆ B,

Если ℬ удовлетворяет двум указанным выше условиям, но не является базой фильтра, то он образует подбазис окрестности в 0 (а не базис окрестности) для векторной топологии на X.

Обратите внимание, что в общем случае множество всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базис окрестностей в начале координат для любой векторной топологии.

Определение топологий с использованием строк

Определения : Пусть X будет векторным пространством и пусть U • = (U i). i = 1 будет последовательностью подмножеств X. Каждый набор в последовательности U • называется узел для U • и для каждого индекса i, U i называется i-узлом для U •. Мы называем U 1 началом U •.

. Мы говорим, что последовательность U • является / является:

  • Суммативным, если U i + 1 + U i + 1 ⊆ U i для каждого индекса i.
  • Сбалансированный (соответственно поглощающий, закрытый, выпуклый, открытый, симметричный, ствольный, абсолютно выпуклый / дисковый и т. Д.), Если это верно для любого U i.
  • String, если U • является суммативным, поглощающим и сбалансированным.
  • Топологическая строка или соседняя строка в TVS X, если U • - это строка, и каждый из ее известных элементов является окрестностью начала координат в X.

Если U - поглощающий диск в в векторном пространстве X, тогда последовательность, определенная U i : = 2 U, образует строку, начинающуюся с U 1 = U. Это называется естественной строкой U Более того, если векторное пространство X имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку.

Суммативные последовательности наборов обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные вещественные субаддитивные функции. Затем эти функции можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Теорема (ℝ-значная функция, индуцированная строкой) - Пусть U • = (U i). i = 0 - набор подмножеств векторного пространства, такой что 0 ∈ U i и U i + 1 + U i + 1 ⊆ U i для всех i ≥ 0. Для всех u ∈ U 0, пусть

𝕊 (u): = {n • = (n 1, ⋅⋅⋅, n k): k ≥ 1, n i ≥ 0 для всех i и u ∈ U n1+ ⋅⋅⋅ + U nk}.

Определим f: X → [0, 1] как f (x) = 1, если x ∉ U 0, в противном случае пусть

f (x): = inf {2 + ⋅⋅⋅ + 2: n • = (n 1, ⋅⋅⋅, n k) ∈ 𝕊 (x)}.

Тогда f субаддитивен (т.е. f (x + y) ≤ f (x) + f ( y) для всех x, y ∈ X) и f = 0 на ∩i ≥ 0 U i, поэтому, в частности, f (0) = 0. Если все U i равны симметричные множества, тогда f (- x) = f (x) и если все U i сбалансированы, то f (sx) ≤ f (x) для всех скаляров s, таких что | s | ≤ 1 и все x ∈ X. Если X - топологическое векторное пространство и все U i являются окрестностями начала координат, то f непрерывно, где, кроме того, X хаусдорфово и U • образует основу f сбалансированных окрестностей начала координат в X, то d (x, y): = f (x - y) - метрика, определяющая векторную топологию на X.

Доказательство

Мы также предполагаем, что n • = (n 1, ⋅⋅⋅, n k) всегда обозначает конечную последовательность неотрицательных целых чисел, и мы будем использовать обозначение:

∑ 2: = 2 + ⋅⋅⋅ + 2 и ∑ U n•: = U n1+ ⋅⋅⋅ + U nk.

Обратите внимание, что для любых целых чисел n ≥ 0 и d>2

Un⊇ U n +1 + U n + 1 ⊇ U n + 1 + U n + 2 + U n + 2 ⊇ U n + 1 + U n + 2 + ⋅⋅⋅ + U n + d + U n + d + 1 + U n + d + 1.

Из этого следует, что если n • = (n 1, ⋅⋅⋅, n k) состоит из различных положительных целых чисел, то

Мы показываем индукцией по k, что если n • = (n 1, ⋅⋅⋅, n k) состоит из неотрицательных целых чисел, таких что ∑ 2 ≤ 2 для некоторого целого M ≥ 0, тогда ∑ U n•⊆ U M. Это очевидно верно для k = 1 и k = 2, поэтому предположим, что k>2, что означает, что все n i положительны. Если все n i различны, то все готово, в противном случае выбираем разные индексы i < j such that ni= n j и строим m • = (m 1, ⋅⋅⋅, m k-1) из n • путем замены n i на n i - 1 и удаление элемента j из n • (все остальные элементы из n • переносятся в m • без изменений). Заметим, что ∑ 2 = ∑ 2 и ∑ U n•⊆ ∑ U m•(поскольку U ni+ U nj⊆ U ni- 1), поэтому, обращаясь к индуктивной гипотезе, мы заключаем что U n•⊆ ∑ U m•⊆ U M, как требуется.

Ясно, что f (0) = 0 и что 0 ≤ f ≤ 1, поэтому для доказательства субаддитивности f достаточно доказать, что f (x + y) ≤ f (x) + f ( y), когда x, y ∈ X таковы, что f (x) + f (y) < 1, which implies that x, y ∈ U0. Это упражнение. Если все U i симметричны, то x ∈ ∑ U n•тогда и только тогда, когда - x ∈ ∑ U n•, откуда следует, что f (-x) ≤ f (x) и f ( -x) ≥ f (x). Если все U i сбалансированы, то неравенство f (s x) ≤ f (x) для всех единичных скаляров s доказывается аналогично. Поскольку f - неотрицательная субаддитивная функция, удовлетворяющая f (0) = 0, f равномерно непрерывна на X тогда и только тогда, когда f непрерывна в 0. Если все U i являются окрестностями начала координат, то для любого действительного r>0, выберите целое число M>1 такое, что из 2 < r so that x ∈ UMследует, что f (x) ≤ 2 < r. If all Uiобразуют базис сбалансированных окрестностей начала координат, тогда можно показать, что для любого n>0 существует некоторое 0 < r ≤ 2 such that f (x) < r implies x ∈ Un. ∎

Определения : Если U • = (U i)i ∈ ℕ и V • = (V i)i ∈ ℕ - два набора подмножеств векторного пространства X, и если s - скаляр, то определите:
  • V•содержит U•: U • ⊆ V • тогда и только тогда, когда U i ⊆ V i для каждого индекса i.
  • Набор узлов : Узлы (U •): = {U i : i ∈ ℕ}.
  • Ядро : ker U • : = ∩i ∈ ℕ U i.
  • Скалярное кратное : s U • : = (s U i)i ∈ ℕ.
  • Sum : U • + V • : = (U i + V i)i ∈ ℕ.
  • Пересечение : U • ∩ V • : = (U i ∩ V i)i ∈ ℕ.

Определение (Направленный ): Если 𝕊 представляет собой совокупность последовательностей подмножеств X, то мы говорим, что 𝕊 направлено (вниз ) при включении или просто направленный, если 𝕊 не пусто и для всех U •, V • ∈ 𝕊 существует некоторое W • ∈ 𝕊 такое, что W • ⊆ U • и W • ⊆ V • (сказано иначе, если и только если 𝕊 является предварительным фильтром относительно t защитная оболочка ⊆, определенная выше).

Обозначение : Пусть Узлы (𝕊): = ∪U • ∈ 𝕊 Узлы (U •) - это множество всех узлов всех строк в 𝕊.

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Теорема (Топология, индуцированная строками) - Если (X, 𝜏) является топологическим векторным пространством, то существует множество 𝕊 соседних строк в X, направленное вниз и такое, что множество всех узлов всех строки в 𝕊 - это базис окрестности в начале координат для (X, 𝜏). Мы говорим, что такой набор строк является 𝜏 фундаментальным .

. И наоборот, если X - векторное пространство и если 𝕊 - набор строк в X, направленный вниз, то множество Knots (𝕊) всех узлов всех строк в 𝕊 образует базис окрестности в начале координат векторной топологии на X. В этом случае мы обозначим эту топологию 𝜏 𝕊 и скажем, что это топология, сгенерированная 𝕊 .

Если 𝕊 - множество всех топологических цепочек в TVS (X, 𝜏), то 𝜏 𝕊 = 𝜏.

TVS Хаусдорфа метризуемо тогда и только тогда, когда его топология может быть вызвана единственной топологической строкой.

Топологическая структура

Векторное пространство - это абелева группа по отношению к операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (поскольку она аналогична умножению на −1). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой. Каждая TVS полностью регулярна, но TVS не обязательно должна быть нормальной.

Пусть X будет топологическим векторным пространством. Для подпространства M ⊂ X фактор-пространство X / M с обычной фактор-топологией является топологическим векторным пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда M замкнуто. Это позволяет следующую конструкцию: заданное топологическое векторное пространство X (которое, вероятно, не является хаусдорфовым), сформировать фактор-пространство X / M, где M - замыкание {0}. Тогда X / M является топологическим векторным пространством Хаусдорфа, которое можно изучать вместо X.

Инвариантность векторных топологий

Одно из наиболее часто используемых свойств векторных топологий заключается в том, что каждая векторная топология инвариант трансляции :

для всех x 0 ∈ X, отображение X → X, определенное как x ↦ x 0 + x, является гомеоморфизмом, но если x 0 ≠ 0, то он не является линейным и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом.

Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом. Это означает, что если s ≠ 0, то линейное отображение X → X, определяемое формулой x ↦ s x, является гомеоморфизмом. Использование s = -1 дает отображение отрицания X → X, определяемое x ↦ -x, которое, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом.

Если x ∈ X и любое подмножество S ⊆ X, то cl (x + S) = x + cl (S) и, более того, если 0 ∈ S, то x + S является окрестностью (соответственно открытая окрестность, замкнутая окрестность) точки x в X тогда и только тогда, когда то же самое верно для S в начале координат.

Локальные понятия

Подмножество E векторного пространства X называется

  • поглощающим (в X): если для каждого x ∈ X существует вещественное r>0 такое, что cx ∈ E для любого скаляра c, удовлетворяющего | c | ≤ r.
  • сбалансированный или обведенный : если tE ⊆ E для каждого скаляра | t | ≤ 1.
  • выпуклый : если tE + (1-t) E ⊆ E для каждого действительного 0 ≤ t ≤ 1.
  • a диск или абсолютно выпуклый : если E выпуклый и сбалансированный.
  • симметричный : если -E ⊆ E, или, что эквивалентно, если -E = E.

Каждая окрестность 0 является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность нуля, поэтому каждоетопологическое пространство имеет локальную базу из поглощающих и сбалансированных множеств. Начало координат даже базис наборов, состоящий из замкнутых уравновешенных наборов 0; если пространство локально выпукло , то оно также имеет базис наборов, состоящий из замкнутых выпуклых разнообразных наборов 0.

Ограниченные подмножества
Определение : подмножество E топологического пространства X является ограниченным, если для любой окрестности V точки 0, то E ⊆ tV, когда t достаточно велико.

Определение ограниченности можно немного ослабить; E ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая из его подпоследовательностей является ограниченным множеством. Кроме того, E ограничено тогда и только тогда, когда для каждой сбалансированной окрестности V точки 0 существует t такое, что E ⊆ tV. Более, когда X локально выпукло, ограниченность может быть охарактеризована полунормами : подмножество E ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма p ограничена на E.

каждое вполне ограниченное множество ограничено. Если M является векторным подпространством TVS X, то подмножество M ограничено в M тогда и только тогда, когда оно ограничено в X.

Метризуемость

Теорема Биркгофа - Какутани - Если (X, τ) является топологическим векторным пространством, то есть следующие три условия эквивалентны:

  1. Начало координат {0} замкнуто в X, и существует счетный базис добавлений для 0 в X.
  2. (X, τ) является метризуемым (как топологическое пространство).
  3. Имеется трансляционно-инвариантная метрика на X, которая индуцирует X-топологию τ, которая является данной топологией на X.
  4. (X, τ) метризуемым топологическим векторным пространством.

По теореме Биркгофа - Какутани, отсюда следует, что существует эквивалентная метрика, которая инвариантна к трансляции.

TVS является псевдометризуемым тогда и только тогда, когда он имеет счетный базис соседства в начале координат, или эквивалент, тогда и только тогда, когда его топология порождается F-полунормой. TVS метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое новое пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную переменную 0.

Пусть 𝕂 не- дискретный локально компактный топологический поле, например действительные или комплексные числа. Топологическое пространство Хаусдорфа над локально компактно, если и только если оно конечно, то есть изоморфно 𝕂 для некоторого натурального числа n.

Полнота и единообразная структура

Определение : каноническое единообразие на TVS (X, τ) является уникальным инвариантом трансляции однородность, которая индуцирует топологию τ на X.

Предполагается, что каждая TVS наделена этой канонической однородностью, которая превращает все TVS в однородные пространства. Это позволяет говорить о связанных понятиях, таких как полнота, равномерная сходимость, сети Коши и равномерная непрерывность. и т. д., которые всегда предполагаются в отношении этого единообразия (если не указано иное). Это означает, что каждое топологическое пространство Хаусдорфа - это Тихонов. Подмножество TVS является компактным тогда и только тогда, когда оно является полным и полностью ограниченным (для TVS полностью ограниченный набор эквивалентным тому, что он является прекомпактным ). Но если TVS не хаусдорфова, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова является компактным (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

Что касается этой однородности, сеть (или последовательность) x • = (x i)i ∈ I равна Коши тогда и только тогда, когда для каждой окрестности V точки 0 некоторый индекс i такой, что x m - x n ∈ V всякий раз, когда j ≥ i и k ≥ i.

каждая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши не могут быть ограниченными. Топологическое новое пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно завершенным ;

Операция сложения в векторном равномерно непрерывном режиме в векторном равномерно непрерывном режиме, а скалярное умножение - непрерывно по Коши, но в целом оно Из-за этого любое топологическое пространство может быть завершено плотным линейным подпространством полного топологического обеспечения пространства.

  • Каждое TVS имеет завершение и каждая TVS Хаусдорфа имеет завершение Хаусдорфа. Каждая ТВС (даже та, которая является хаусдорфовой и / или полной) имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
  • Компактное подмножество TVS (не обязательно по Хаусдорфу) полно. Полное подмножество TVS Хаусдорфа является замкнутым.
  • Если C является полным подмножеством TVS, то любое подмножество C, которое замкнуто в C, является полным.
  • Последовательность Коши в Хаусдорфе TVS X не обязательно относительно компактно (т.е. его замыкание в X не обязательно компактно).
  • Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления x, то он сходится к x.
  • Если ряд ∑. i = 1 xiсходится в TVS X, то x i → 0 в X.

Примеры

Самая точная и грубая топология

Пусть X - вещественное или комплексное пространство.

Тривиальная топология

Тривиальная топология (или недискретная топология ) {X, ∅} всегда является топологией TVS в любом векторном качестве X, так что это, очевидно, самая грубая топология TVS. Это простое наблюдение позволяет нам заключить любой набор топологий TVS на X всегда содержит топологию TVS. Любое номерное пространство (в том числе бесконечное) с тривиальной топологией является компактным (и таким локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклое топологическое новое пространство. Это Хаусдорф тогда и только тогда, когда dim X = 0.

Наилучшая такая топология

Существует топология TVS τ f на X, более тонкая, чем любая другая TVS- топология на X (то есть есть любая TVS-топология на X обязательно является подмножеством 𝜏 f). Любое линейное отображение из (X, τ f) в другую TVS постоянно непрерывно. Если X имеет несчетный базис Гамеля, то 𝜏 f не локально выпуклым и не метризуемым.

Пространства векторных произведений

A Декартово продукт семейства топологических векторных пространств, наделенных топологией произведений, является топологическим векторным пространством. Например, множество X всех функций f: ℝ → ℝ: это множество X может быть отождествлено с пространством произведения ℝ и несет топологию произведения . С этой топологией X становится топологическим векторным пространством, наделенным топологией, называемой топологией точечной сходимости. Причина этого названия заключается в следующем: если (f n) - последовательность элементов в X, то f n имеет предел f ∈ X, если и только если f n (x) имеет предел f (x) для каждого действительного числа x. Это пространство является полным, но не нормируемым: действительно, количество 0 в топологии произведения содержит прямые, т. Е. Множества 𝕂 f для f 0.

Конечномерные пространства

Пусть 𝔽им ℝ или ℂ и снабдим его обычной хаусдорфовой нормированной нормированной нормой евклидовой топологией. Пусть X - пространство над конечной размерности n: = dim X, и заметим, что X - пространство, изоморфное 𝔽. X имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа, которая имеет обычную евклидову топологию (или топологию произведений), но имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда dim X = 0. Этот Хаусдорф также является лучшей векторной топологией на X.

  • Если dim X = 0, то X = {0} имеет одну векторную топологию: тривиальную топологию.
    • Тривиальная топология тогда пространства является хаусдорфовой и только тогда, когда пространство имеет размерность 0.
  • Если dim X = 1, то X две используются топологии: обычная евклидова топология и тривиальная топология.
    • Временное устройство для использования в качестве одного из лучших векторных пространств для использования в качестве средства передвижения. Поглощающий набор и оно имеет последствия. которые отражаются во всем функциональном исследовании.
    Схема доказательства

    Доказательство этой дихотомии несложно, и мы даем только схему с важными наблюдениями. Как обычно, что 𝔽 имеет (нормированную) евклидову топологию. Пусть X - 1-мерное векторное пространство над 𝔽. Заметим, что если B ⊆ 𝔽 - шар с центром в 0 и если S ⊆ X - подмножество, содержащее «неограниченную последовательность», то B ⋅ S = X, где «неограниченная последовательность» означает последовательность вида (s ix). i = 1, где 0 ≠ x ∈ X и (s i). i = 1 𝔽 не ограничено в нормированном изображении. Любая практика топология на X будет инвариантной относительно ненулевого скалярного умножения, и для любого 0 ≠ x ∈ X отображение M x : 𝔽 → X, заданное формулой M x (s): = sx является непрерывной линейной биекцией. X = 𝔽 x, поэтому под каждоемножество X можно записать как F x = M x (F) для некоторого уникального подмножества F ⊆ 𝔽. X, то непрерывность скалярного умножения 𝔽 × X → X в начале координат вынуждает наличие открытой границы начала координат в X, которая не содержит ник акой «неограниченной последовательности». Отсюда следует вывод, что если X не несет тривиальной топологии и 0 ≠ x ∈ X, то для любого шара B ⊆ 𝔽 cente r в 0 в, M x (B) = B x содержит открытую новность начала координат в X, так что M x, таким образом, является линейным гомеоморфизмом. ∎

  • Если dim X = n ≥ 2, то X имеет бесконечно много различных векторных топологий:
    • Теперь опишем некоторые из этих топологий: каждый линейный функционал f на X, который является векторным пространством, изоморфным 𝔽, индуцирует a полунорма | f | : X → ℝ определяется как | f | (x): = | f (x) | где ker f = ker | f |, Каждую полунорма индуцирует (псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на X, а полунормы с разными ядрами индуцируют различные топологии, так что, в частности, полунормы на X, индуцированные линейными функционалами с разными ядрами будет индуцировать различные топологии на X.
    • Однако существует бесконечно векторных топологий на X, когда dim X ≥ 2, с точностью до TVS-изоморфизма существует только 1 + dim X векторных топологий на X. если n: = dim X = 2, то топологии X состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, и тогда бесконечное количество оставшихся нетривиальных неевклидовых векторных топологий на X все TVS-изоморфны одной другой.

Невекторные топологии

Дискретные и конфинитные топологии

Если X - нетривиальное пространство (т.е. не нулевой размерности), то дискретная топология на X (которая всегда метризу ) не является топологией TVS, потому что несмотря на это, несмотря на добавление его в топологическую группу ), он не может сделать скалярное умножение непрерывным.

кофинитная топология на X (где подмножество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение конечно) также не является топологией TVS на X.

Линейные изображения

Линейный оператор двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Более того, линейный оператор f является непрерывным, если f (X) ограничен (как определено ниже) для некоторой области X точки 0.

A гиперплоскость на топологическом векторном пространстве X либо плотна, либо замкнута. Линейный функционал для топологического векторном космического X имеет либо плотное, либо замкнутое ядро. Более того, когда его ядро ​​ закрыто.

Типы

в зависимости от приложения, на топологическую структуру пространства обычно накладываются дополнительные ограничения. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа в целом не выполняются для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике, теорема об открытом отображении и тот факт, что двойное пространство пробел разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые общие топологические данные пространства, примерно упорядоченные по их привлекательности.

Двойственное пространство

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство - множество X * всех линейных непрерывных функционалов, т.е. непрерывных линейных отображений из пространства в базовое поле 𝕂. Топология на двойственном может быть определена как самая грубая топология, такая, что двойственное спаривание каждой точки оценки X * → 𝕂 является непрерывным. Это превращает двойственное в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется слабой * топологией. Возможно, это не единственная естественная топология двойственного пространства; например, двойственное к нормированному пространству имеет определенную естественную норму. Однако он очень важен для приложений из-за его свойств компактности (см. теорема Банаха – Алаоглу ). Предостережение: если X - ненормируемое локально выпуклое пространство, то отображение пар X * × X → 𝕂 никогда не будет непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства выбрать на V *.

Свойства

Пусть X - TVS (не обязательно хаусдорфова или локально выпуклая).

Определение : Для любого S ⊆ X, выпуклый (соответственно сбалансированный, дисковый, замкнутая выпуклая, замкнутая сбалансированная, замкнутая дисковая ) оболочка множества S - это наименьшее подмножество X, которое обладает этим свойством и содержит S.

Мы обозначаем замыкание (соответственно внутреннее, выпуклая оболочка, сбалансированная оболочка, дисковая оболочка) множества S посредством cl S (соответственно Int S, co S, bal S, cobal S).

Окрестности и открытые множества

Свойства окрестностей и открытых множеств
  • Открытые выпуклые подмножества TVS X (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) - это в точности те, которые имеют форму z + {x ∈ X: p (x) < 1 } = { x ∈ X : p(x - z) < 1 } for some z ∈ X and some positive continuous сублинейный функционал p на X.
  • Если S ⊆ X и U - открытое подмножество X, то S + U - открытое множество в X.
  • Если S ⊆ X h
Последняя правка сделана 2021-06-11 07:26:51
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru