Теорема Титце о расширении

редактировать

В топологии теорема о расширении Титце (также известная как теорема о расширении Титце – Урысона – Брауэра) утверждает, что непрерывные функции на замкнутом подмножестве из нормального топологического пространства может быть расширено на все пространство, сохраняя ограниченность при необходимости.

Содержание

1 Формальное утверждение
2 История
3 Эквивалентные утверждения
4 Варианты
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Формальное утверждение

Если X является нормальным топологическим пространством и

f: A → R {\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

f: A \ to {\ mathbb {R}}

является непрерывным отображение из замкнутого подмножества A из X в действительные числа, несущие стандартную топологию, тогда существует непрерывное отображение

F: X → R {\ displaystyle F: X \ to \ mathbb {R}}

F: X \ to {\ mathbb {R}}

с F (a) = f (a) для всех a из A. Более того, F можно выбрать так, что $sup {| f (а) | : a ∈ A} = sup {| F (x) | : x ∈ X} {\ displaystyle \ sup \ {| f (a) |: a \ in A \} = \ sup \ {| F (x) |: x \ in X \}}$ $\ sup \ {| f (a) |: a \ in A \} = \ sup \ {| F (x) |: x \ in X \}$ , т. е. если f ограничено, можно выбрать F ограниченным (с той же оценкой, что и f). F называется непрерывным расширением f.

История

Л. Э. Дж. Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, когда X - конечномерное вещественное векторное пространство. Генрих Титце распространил его на все метрические пространства, а Пол Урысон доказал сформулированную здесь теорему для нормальных топологических пространств.

Эквивалентные утверждения

Эта теорема эквивалентна лемме Урысона (которая также эквивалентна нормальности пространства) и широко применима, поскольку все метрические пространства и все compact Хаусдорфовы пространства нормальны. Его можно обобщить, заменив R на R для некоторого набора индексации J, любого отвода R или любого обычного абсолютного отвода вообще.

Варианты

Если X - метрическое пространство, A - непустое подмножество X и $f: A → R {\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R} }$ $f: A \ to {\ mathbb {R}}$ является непрерывной липшицевой функцией с константой Липшица K, тогда f может быть расширена до непрерывной липшицевой функции $F: X → R {\ displaystyle F: X \ to \ mathbb {R}}$ $F: X \ to {\ mathbb {R}}$ с той же константой K. Эта теорема также верна для непрерывных функций Гёльдера, то есть, если $f: A → R {\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}$ $f: A \ to {\ mathbb {R}}$ - непрерывная функция Гёльдера, f может быть расширена до непрерывной функции Гёльдера $F: X → R {\ displaystyle F: X \ to \ mathbb {R}}$ $F: X \ to {\ mathbb {R}}$ с той же константой.

Другой вариант (по сути, обобщение) теоремы Титце принадлежит З. Эркану: пусть A - замкнутое подмножество топологического пространства X. Если $f: X → R {\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to {\ mathbb {R}}$ - полунепрерывная сверху функция, $g: X → R {\ displaystyle g: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: X \ to \ mathbb {R}}$ , является полунепрерывной снизу функцией, а $h: A → R {\ d isplaystyle h: A \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle h: A \ to \ mathbb {R}}$ непрерывная функция такая, что f (x) ≤ g (x) для каждого x в X и f (a) ≤ h (a) ≤ g ( a) для каждого a в A существует непрерывное расширение $H: X → R {\ displaystyle H: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle H: X \ to \ mathbb {R}}$ h такое, что f (x) ≤ H (x) ≤ g (x) для каждого x в X. Эта теорема также верна с некоторой дополнительной гипотезой, если R заменяется общим локально твердым пространством Рисса.

См. Также

Теорема Уитни о расширении

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Теорема Титце о расширении. « Из MathWorld
» Теорема Титце о продолжении ". PlanetMath.
«Доказательство теоремы Титце о расширении». PlanetMath.
Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
Эдмонд Бонан (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet ", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 272 : 714–717.