Теорема Гейне-Кантора

редактировать

В математике теорема Гейне-Кантора, названный в честь Эдуарда Гейне и Георга Кантора, утверждает, что если f: M → N является непрерывной функцией между двумя метрическими пространствами, и M компактный, тогда f равномерно непрерывный. Важным частным случаем является то, что каждая непрерывная функция от замкнутого ограниченного интервала до действительных чисел является равномерно непрерывной.

Доказательство

Предположим, что $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $N {\ displaystyle N}$ $N$ - два метрических пространства. с показателями $d M {\ displaystyle d_ {M}}$ $d_M$ и $d N {\ displaystyle d_ {N}}$ ${\ displaystyle d_ {N}}$ соответственно. Предположим далее, что $f: M → N {\ displaystyle f: M \ to N}$ $е: M \ к N$ непрерывно, а $M {\ displaystyle M}$ $M$ компактно. Мы хотим показать, что $f {\ displaystyle f}$ $е$ равномерно непрерывен, то есть для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $δ>0 { \ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ таким образом, что для всех точек $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ в домене $M {\ displaystyle M}$ $M$ , $d M (x, y) < δ {\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ ${\ displaystyle d_ {M} (x, y) <\ delta}$ означает, что $d N (f (x), f (y)) < ε {\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) <\ varepsilon}$ .

исправить некоторые $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ . По непрерывности, для любая точка $x {\ displaystyle x}$ $x$ в домене $M {\ displaystyle M}$ $M$ , th Существует $δ x>0 {\ displaystyle \ delta _ {x}>0}$ $\delta _{x}>0$ такой, что $d N (f (x), f (y)) < ε / 2 {\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon /2}$ ${\ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) <\ varepsilon / 2}$ когда $y {\ displaystyle y}$ $y$ находится в пределах $δ x {\ displaystyle \ delta _ {x}}$ $\ delta _ {x}$ из $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Пусть $U x {\ displaystyle U_ {x}}$ $U_x$ быть open $δ x / 2 {\ displaystyle \ delta _ {x} / 2}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x} / 2}$ -окрестность $x {\ displaystyle x}$ $x$ , то есть множество

U x = {y ∣ d M (x, y) < 1 2 δ x }. {\displaystyle U_{x}=\left\{y\mid d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x}\right\}.}

{\ displaystyle U_ {x } = \ left \ {y \ mid d_ {M} (x, y) <{\ frac {1} {2}} \ delta _ {x} \ right \}.}

Поскольку каждая точка $x {\ displaystyle x}$ $x$ содержится в собственном $U x {\ displaystyle U_ {x}}$ $U_x$ , мы обнаруживаем, что коллекция ${U x ∣ x ∈ M} {\ displaystyle \ {U_ {x} \ mid x \ in M \}}$ ${\ displaystyle \ {U_ {x} \ mid x \ in M \}}$ - открытая обложка из $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Так как $M {\ displaystyle M}$ $M$ компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие ${U x 1, U x 2,…, U xn} {\ displaystyle \ {U_ {x_ {1}}, U_ {x_ {2}}, \ ldots, U_ {x_ {n}} \}}$ ${\ displaystyle \ {U_ {x_ {1}}, U_ {x_ { 2}}, \ ldots, U_ {x_ {n}} \}}$ где $x 1, x 2,…, xn ∈ M {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ in M}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ in M}$ . Каждый из этих открытых наборов имеет связанный радиус $δ x i / 2 {\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}} / 2}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}} / 2}$ . Теперь давайте определим $δ = min 1 ≤ i ≤ n δ xi / 2 {\ displaystyle \ delta = \ min _ {1 \ leq i \ leq n} \ delta _ {x_ {i}} / 2}$ ${\ displaystyle \ delta = \ min _ {1 \ Leq i \ Leq n} \ delta _ {x_ {i}} / 2}$ , т.е. минимальный радиус этих открытых множеств. Поскольку у нас есть конечное число положительных радиусов, этот минимум $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ хорошо определен и положителен. Теперь покажем, что этот $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ работает для определения равномерной непрерывности.

Предположим, что $d M (x, y) < δ {\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ ${\ displaystyle d_ {M} (x, y) <\ delta}$ для любых двух $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ в $M {\ стиль отображения M}$ $M$ . Поскольку множества $U xi {\ displaystyle U_ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle U_ {x_ {i}}}$ образуют открытую (под) крышку нашего пространства $M {\ displaystyle M}$ $M$ , мы знаем, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ должен находиться внутри одного из них, скажем, $U xi {\ displaystyle U_ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle U_ {x_ {i}}}$ . Тогда у нас есть $d M (x, x i) < 1 2 δ x i {\displaystyle d_{M}(x,x_{i})<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}}$ ${\ displaystyle d_ {M} (x, x_ {i }) <{\ frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}}}$ . Неравенство треугольника затем подразумевает, что

d M (xi, y) ≤ d M (xi, x) + d M (x, y) < 1 2 δ x i + δ ≤ δ x i, {\displaystyle d_{M}(x_{i},y)\leq d_{M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}+\delta \leq \delta _{x_{i}},}

{\ displaystyle d_ {M} (x_ {i}, y) \ leq d_ {M} (x_ {i}, x) + d_ {M} (x, y) <{ \ frac {1} {2}} \ delta _ {x_ {i}} + \ delta \ leq \ delta _ {x_ {i}},}

, что означает, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ оба не более $δ xi {\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$ от $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ . По определению $δ xi {\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x_ {i}}}$ это означает, что $d N (f (xi), f (x)) {\ displaystyle d_ {N} (е (x_ {i}), f (x))}$ ${\ displaystyle d_ {N} (f (x_ {i}), f (x))}$ и $d N (f (xi), f (y)) {\ displaystyle d_ {N} ( f (x_ {i}), f (y))}$ ${\ displaystyle d_ { N} (е (x_ {i}), f (y))}$ оба меньше $ε / 2 {\ displaystyle \ varepsilon / 2}$ ${\ displaystyle \ varepsilon / 2}$ . Тогда применение неравенства треугольника дает желаемое

d N (f (x), f (y)) ≤ d N (f (xi), f (x)) + d N (f (xi), f (y)) < ε 2 + ε 2 = ε. {\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y))<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon.}

{\ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) \ leq d_ {N} (f (x_ {i}), f (x)) + d_ {N} (f (x_ {i}), f (y)) <{\ frac {\ varepsilon} {2}} + {\ frac {\ varepsilon} {2}} = \ varepsilon.}

Для альтернативного доказательства в случае $M = [a, b] {\ displaystyle M = [a, b]}$ ${\ displaystyle M = [ a, b]}$ , закрытый интервал, см. Статью Нестандартное исчисление.

Внешние ссылки