Кривая Пеано

Три итерации построения кривой Пеано, пределом которой является кривая, заполняющая пространство. Две итерации кривой Пеано

В геометрии, кривая Пеано является первым примером кривой заполнения пространства, обнаруженной Джузеппе Пеано в 1890. Кривая Пеано - это сюръективная, непрерывная функция из единичного интервала на единичный квадрат, однако это не инъективный. Пеано был мотивирован более ранним результатом Георга Кантора о том, что эти два набора имеют одинаковую мощность. Из-за этого примера некоторые авторы используют фразу «кривая Пеано» для более общего обозначения любой кривой, заполняющей пространство.

Кривая Пеано может быть построена с помощью последовательности шагов, где на i-м шаге создается набор S i квадратов и последовательность P i центров квадратов из набора и последовательности, построенных на предыдущем шаге. В качестве базового случая S 0 состоит из одного единичного квадрата, а P 0 представляет собой одноэлементную последовательность, состоящую из его центральной точки.

На этапе i каждый квадрат s из S i - 1 делится на девять меньших равных квадратов, а его центральная точка c заменяется непрерывной подпоследовательностью центров этих девяти меньших квадраты. Эта подпоследовательность формируется путем группирования девяти меньших квадратов в три столбца, упорядочивания центров в каждом столбце, а затем упорядочивания столбцов от одной стороны квадрата к другой таким образом, чтобы расстояние между каждой последовательной парой точек в подпоследовательности равна длине сторон маленьких квадратов. Возможны четыре таких порядка:

• три левых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три правых центра снизу вверх
• Три правых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз, и три левых центра снизу вверх
• Три левых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три правых центра сверху вниз
• Три правых центра сверху вниз, три средних центрирует снизу вверх и три левых центра сверху вниз

Среди этих четырех порядков один для s выбирается таким образом, чтобы расстояние между первой точкой порядка и его предшественником в P i также равняется длине стороны маленьких квадратов. Если c была первой точкой в ​​ее порядке, то первое из этих четырех порядков выбирается для девяти центров, которые заменяют c.

Сама кривая Пеано является пределом кривых, проходящих через последовательности квадратных центров, когда i стремится к бесконечности.

Кривая Пеано со стертой средней линией создает ковер Серпинского

В определении кривой Пеано можно выполнить некоторые или все шаги, сделав центры каждого ряда из трех квадратов должны быть смежными, а не центрами каждого столбца квадратов. Этот выбор приводит к множеству различных вариантов кривой Пеано.

Вариант этой кривой с "множественным основанием" с разным числом подразделений в разных направлениях может использоваться для заливки прямоугольников произвольной формы.

Кривая Гильберта - более простой вариант той же идеи, основанный на делении квадратов на четыре равных меньших квадрата вместо девяти равных меньших квадратов.